2021年上海市浦東新區(qū)華師大二附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）

2021年上海市浦東新區(qū)華師大二附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）

一、填空題

1.（3分）（1+2x）6展開(kāi)式中Y項(xiàng)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

2.（3分）若復(fù)數(shù)z滿足2z+5=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，則2=.

3.（3分）已知數(shù)列｛見(jiàn)｝的前〃項(xiàng)和為S“=2"-l,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

4.（3分）已知|而|=8,|而|=5,則|配|的取值范圍是.

5.（3分）橢圓Y+3y2=l的短軸長(zhǎng)為.

y?0

6.（3分）若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組2x-y-4,,0,則x+y的最大值是—.

x-y+L.0

7.（3分）集合A=｛x|y=777T｝,?=｛yly=log2（x+l）｝,則4nB=.

8.（3分）方程/+V一4戊—20+3/—4=0Q為參數(shù)）所表示的圓的圓心軌跡方程是

（結(jié)果化為普通方程）

9.（3分）若｛”“｝是等比數(shù)列，且limCo,+a,+…+a“）=limq+/+…+“：）=2,則q=__.

〃一?00"“->8

10.（3分）定義“規(guī)范01數(shù)列”｛4｝如下：｛4｝共有2帆項(xiàng)，其中加項(xiàng)為0,加項(xiàng)為1,

且對(duì)任意鼠2a，q,出…4中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若，"=4,則不同的''規(guī)范

01數(shù)列”共有個(gè).

11.（3分）在三棱錐D—A8C中，已知AB=4）=2,BC=l,ACBD=-3,則8=.

12.（3分）在A48C中，ZA=150°,D,,D2,…，名⑶依次為邊8c上的點(diǎn)，且

BDX=Z）,D,—D2Dy=...=D2（mD^20=D2m）C）設(shè)NBAD、=a、,ZD.AZ）,=a,,...,

N。刈9股⑼=%2。，ZD2O2QAC=a2O2l,則包絲皿吆L的值為_(kāi).

sina2sina4sma2O2O

二、選擇題

13.（3分）已知平面直角坐標(biāo)系中不垂直于x軸的直線/,則“/的斜率等于人”是“/的傾

斜角等于arctanA”的（）

A.充要條件B.充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分又不必要條件

14.(3分)函數(shù)g(x)=4x3,的圖象可看成將函數(shù)f(x)=3'的圖象()

A.向左平移log,4個(gè)單位得到

B.各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)的原來(lái)的4倍得到

C.向右平移logs4個(gè)單位得到

D.各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短的原來(lái)的2倍得到

4

15.(3分)設(shè)拋物線。:》="必+勿，+2330),若對(duì)于任意實(shí)數(shù)y,總有|x|..2(等號(hào)可以

取到)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(—+2,0)B.(2-—,0)C.(0,0)D.(--2,0)

4。4a2a

16.(3分)若/(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論：

①y=lf(x)l是偶函數(shù)；

②對(duì)任意的xeR都有/(-x)+|/(x)|=0；

③y=/(-x)在(_oo,0］上單調(diào)遞增；

④y=f(x)/(-x)在(-00，0］上單調(diào)遞增?

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

三、解答題

17.已知向量4=(1+cos0x,l),6=(1,。+百sin0x)(。為常數(shù)且@>0),函數(shù)=

在R上的最大值為2.

(1)求實(shí)數(shù)4的值；

(2)把函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移二個(gè)單位，可得函數(shù)y=g(x)的圖象，若y=g(x)在

6ty

［0,上為增函數(shù)，求0的最大值.

18.國(guó)際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉，已知某鉆石的價(jià)值丫(美元)與其重量W(克拉)

的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價(jià)值為54000美元.

(1)若把一顆鉆石切割成重量比為1:3的兩顆鉆石，求價(jià)值損失的百分率；

(2)把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為M克拉和N克拉，證明：當(dāng)

M=N時(shí);價(jià)值損失的百分率最大.

(注：價(jià)值損失的百分率=(原有價(jià)值-現(xiàn)有價(jià)值)/原有價(jià)值xlOO%,在切割過(guò)程中的重

量損耗忽略不計(jì))

19.如圖，在四棱錐，平面小￡)_!_平面A8CZ),PALPD,PA=PD,ABA.AD,

AB=\,A￡>=2,AC=CD=y/5.

(I)求證：PDL平面

(II)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

(HI)在棱上4上是否存在點(diǎn)M,使得〃平面PCD?若存在，求處的值，若不存在,

AP

說(shuō)明理由.

20.在雙曲線C：3-q=l中，耳、心分別為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上

且在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，△尸片鳥(niǎo)的重心為G,內(nèi)心為1.

(1)求內(nèi)心/的橫坐標(biāo)；

(2)己知A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，直線/過(guò)右焦點(diǎn)心與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，若AM、

4V的斜率勺、自滿足匕+他=-3，求直線/的方程；

21.設(shè)數(shù)列{%}(〃..3,”eN*)是公差為4的等差數(shù)列.

（1）若d=2,awR,討論方程|x-q|+|%-。31=。的根的個(gè)數(shù)；

（2）若q=l,d=1,求函數(shù)，（幻=|4%-1|+|。2%-11+…+140（）%-11的最小值；

（3）若數(shù)列[atl]滿足：

|q|+1。）|+…+14〃|=|ciy+11+1/+11+..?+1+11=1%—21+14—21+…+1a”—21=507,試求

該數(shù)列項(xiàng)數(shù)〃的最大值.

2021年上海市浦東新區(qū)華師大二附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）

參考答案與試題解析

一、填空題

1.（3分）（1+2x）6展開(kāi)式中V項(xiàng)的系數(shù)為的0（用數(shù)字作答）

【解答】解:通項(xiàng)公式&=覆2幻，=2審,令r=3,

可得：（l+2x）6展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù)=23年=160.

故答案為：160.

2.（3分）若復(fù)數(shù)z滿足2z+5=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，貝

【解答】解：設(shè)2=々+〃，（。、Z?是實(shí)數(shù)），則5=

■.?2z+z=3-2i,

2a+2Z?z+a—bi=3—2i,

3a=3,b=—2，

解得a=1,b=—2,

則z=l-2i

故答案為：1-2Z.

3.（3分）己知數(shù)列｛a,,｝的前w項(xiàng)和為S,=2"-l,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)a“=2"T_.

[解答]解：當(dāng)〃=1時(shí)，q=S[=2-1=1,

當(dāng)〃..2時(shí)，an=S?-S,-=2"-1-（2"T_1）=2'-',

又2一=1,所以a“=2"T,

故答案為：an=2"-'.

4.（3分）已知|而|=8,|衣|=5,貝”而|的取值范圍是_[3-

【解答】解：；BC=AC-AB

|fiC|=|AC-ABI

\AB\-\AC\^\BC\|ABI+IAC|

即3剜配|13

故答案為：[3,13]

5.（3分）橢圓V+3y2=l的短軸長(zhǎng)為—半_.

【解答】解：橢圓V+3/=1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/+[=],

3

所以橢圓Y+3/=1的短軸長(zhǎng)為2b=苧.

故答案為：口3.

3

y?0

6.（3分）若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組「x-y-4,,0,則x+v的最大侑是2

x-y+1..0

y?o

【解答】解：如圖即為滿足不等式組花-）」4,,0的可行域,

x-y+1..0

由；：；-4=0得420?

由圖易得：當(dāng)x=2,y=0時(shí)

x+y有最大值2.

7.(3分)集合A={x|y=?7T},B={j|y=log2(x+1)},則=_[-12_+s)_?

【解答】解：?.?A={x|x..-1},B=R,

峭8=[-1,+00).

故答案為：[-1,+00）.

8.（3分）方程x?+y2-4a-23+3/-4=0。為參數(shù)）所表示的圓的圓心軌跡方程是

x-2y=0_（結(jié)果化為普通方程）

【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x-2f）2+（y-f>=2/+4,圓心⑵,f）

（Y=2t

則圓心坐標(biāo)為",所以消去/可得x=2y,即x-2y=0.

[y=f

故答案為：x-2y=0

9.（3分）若｛〃"｝是等比數(shù)列，且lim（q+4+…+a〃）=lim（a：+域+…+4）=2,則勾=

n-x?M—>cc

4

3~

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛?！ǎ墓葹閝,0<|^|<1,

由lim（4+o,+...+=lim（a；+a：+...+a；）=2,

〃一>8M—>OC

可得1而4（1一0‘）=lim"「（‘y”）=2,

“e1—q-1—q

則有，L=￡=2,

\-q\-q

由q=1一代入a；=2一Zq?,

解得q=g,

故答案為：

3

10.（3分）定義“規(guī)范01數(shù)列”｛4｝如下：｛可｝共有2根項(xiàng)，其中機(jī)項(xiàng)為0,項(xiàng)為1,

且對(duì)任意鼠2機(jī)，％,小…%中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若優(yōu)=4,則不同的“規(guī)范

01數(shù)列”共有14個(gè).

【解答】解：由題意可知，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項(xiàng)2機(jī)項(xiàng)，且所含0與1的個(gè)數(shù)相等，首

項(xiàng)為0,末項(xiàng)為1,若m=4,說(shuō)明數(shù)列有8項(xiàng)，滿足條件的數(shù)列有：

0,0,0,0,1,1,1,1；0,0,0,1,0,1,1,1；0,0,0,1,1,0,1,1；0,

0,0,1,1,1,0,1；0,0,1,0,0,1,1,1；

0,0,1,0,1,0,1,1；0,0,1,0,1,1,0,1；0,0,1,1,0,1,0,1；0,

0,1,1,0,0,1,1；0,1,0,0,0,1,1,1；

0,1,0,0,1,0,1,1；0,1,0,0,1,1,0,1；0,1,0,1,0,0,1,1；0,

1,0,1,0,1,0,1.共14個(gè).

故答案為14

11.(3分)在三棱錐。一ABC中，已知Afi=AT>=2,BC=1,元?而=-3,則8=

【解答】解：設(shè)44C=c,ND4c=￡,

-.jAC-AB\=BC=1,

AC1+AB1-2AC-ABcosa=1,即AC2-4ACcos?=-3.

ACBD=--i,

AC(AD-AB)=ACAD-ACAB=-3,

2ACcosp-2ACcosa=-3，

2ACcos(3=2ACcosa-3,

.-.CD2=(AD-AC)-=AD+AC-2ACAD

=4+AC2-2ACcos/3

=4+AC2-4ACcosa+6=7,

CD=77.

故答案為：y/l-

12.(3分)在AA8C中，ZA=150°,R,D2,…，/^而依次為邊8c上的點(diǎn)，且

BD、=D、D,=D,Ds=...=?^^>o2o="2020C，設(shè)NBAD〔=a：,=a,?,

N4儲(chǔ)為。=%02。，ZD2(120AC=a2021,則包42嗎L的值為一

sina2sma4sma2O2O4042

【解答】解：注意到%+%+...+%020=150°,

在AB明中，'=AB=也,

sina{sinN3nAsin8

DDAD,AD

在△RAD2中}22

sin%sinZAD2BsinZAD^C

sinasinB

??x—,

sin%sinZA￡)2B

同理可得=smNA”sina5_sinZADABsina2019_sinZ.AD^B

sin%sinsina6sinZAD6Bsina2020sinZAD2O2QB

02()2i

又--------。-----------A--C--------，

sina2021sinZAD2020C

.ccci02O21C?sin/^^2(p()C

sina2021=----------

AC

sintZjsinasina_￡)CsinB_BCsinBsin15001

320212O21-----x-------

sina2sinaAsina2()2()AC2021AC20214042

故答案為：血

二、選擇題

13.（3分）已知平面直角坐標(biāo)系中不垂直于x軸的直線/,貝卜'/的斜率等于%”“I的傾

斜角等于arctanA”的（）

A.充要條件B,充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分又不必要條件

【解答】解：當(dāng)火..0時(shí)，由/的斜率等于％,可得/的傾斜角等于arctan%,

當(dāng)％<0時(shí)，由/的斜率等于k,可得/的傾斜角等于arctanz,

反之，/的傾斜角等于arctank,則直線/的斜率為tan（arctank）=k.

：.ul的斜率等于k”是“I的傾斜角等于arctanA”的必要非充分條件.

故選：C.

14.（3分）函數(shù)g（x）=4x3、的圖象可看成將函數(shù)f（x）=3"的圖象（）

A.向左平移log,4個(gè)單位得到

B.各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)的原來(lái)的4倍得到

C.向右平移log,4個(gè)單位得到

D.各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短的原來(lái)的1倍得到

4

【解答】解：設(shè)直線y=f與函數(shù)f(x)=3'及函數(shù)g(x)=<T的圖象分別相交于A、8兩點(diǎn)，

令3'=1,可得x=log3，4x3、=r可得x=/og3；，

故A、B兩點(diǎn)之間的距離為logst-logy:=log3f一(log?t-log,4)=log,4,

故函數(shù)g(x)=4x3'的圖象可看成將函數(shù)f(x)=3'的圖象，向左平移k)g34個(gè)單位得到的，

故選：A.

15.(3分)設(shè)拋物線C:x=ay2+b)，+2(ax0),若對(duì)于任意實(shí)數(shù)y,總有|x|..2(等號(hào)可以

取到)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(—+2,0)B.(2-—,0)C.(0,0)D.(--2,0)

4。4a2a

hh1

［解答］解：x=ay2+by+2=a(y+—)2----+2,

2a4a

因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)y,總有|x|..2,

所以Z?=0,

所以x=ay?+2,

由于拋物線x=@2+2是拋物線工=沖2的圖象向右平移兩個(gè)單位得到的，而工二砂2的焦點(diǎn)

為!(—,0),

4a

所以拋物線x=ay?+2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(工+2,0).

4a

故選：A.

16.(3分)若/(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論：

①y=l7(X)1是偶函數(shù)；

②對(duì)任意的尤€H都有/(-X)+I/U)|=0；

③y=/(-x)在(-00，0］上單調(diào)遞增；

④y=/(x)/(_x)在(Y0,0］上單調(diào)遞增.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：?.?/(X)是R上的奇函數(shù)，且/(X)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，

.?.)，=|/(x)|是偶函數(shù)，故①正確；

對(duì)任意的xeR,不一定有.f(-x)+|/(x)|=0,故②不正確：

y=/（-x）在（-8,0］上單調(diào)遞減，故③不正確；

y=/（x）/（-x）=4/（x）］2it（^o,0］上單調(diào)遞增，故④正確.

故選：8.

三、解答題

17.已知向量M=（l+cos0x,l）,5=（1,a+>/5sin<yx）（0為常數(shù)且。>0）,函數(shù)=

在/?上的最大值為2.

（1）求實(shí)數(shù)“的值；

（2）把函數(shù)），=/（幻的圖象向右平移二個(gè)單位，可得函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在

6G

10,余上為增函數(shù)，求公的最大值.

【解答】解：（1）f（x）=1+coscox+a+yfisincox=2sin（tyx+—）+?+1.

6

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上的最大值為2,

所以3+a=2,故a=—1.

JT

（2）由（1）知：/（x）=2sin（G%+—）,

6

把函數(shù)/（x）=2sin3x+馬的圖象向右平移二個(gè)單位，可得函數(shù)

66①

y=g（x）=2sin5.

又丁丁=8。）在［。，土）上為增函數(shù)，

4

.?.g（x）的周期7=空.."，即德,2,

0）

.?.0的最大值為2.

18.國(guó)際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉，已知某鉆石的價(jià)值丫（美元）與其重量W（克拉）

的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價(jià)值為54000美元.

（1）若把一顆鉆石切割成重量比為1:3的兩顆鉆石，求價(jià)值損失的百分率；

（2）把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為M克拉和N克拉，證明：當(dāng)

M=N時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大.

（注：價(jià)值損失的百分率=（原有價(jià)值-現(xiàn)有價(jià)值）/原有價(jià)值xlOO%,在切割過(guò)程中的重

量損耗忽略不計(jì)）

【解答】解：（1）有題意可得54000=4x3?,

.4=6000,

，把一顆3克拉的鉆石切割成重量比為1:3的兩顆鉆石后價(jià)值損失的百分率為:

54000-[6000x(-)2+6000x

-----------------------------x100%=37.5%；

54000

(2)由(1)知,

把一顆3克拉的鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為M克拉和N克拉,

人也=八*+，，X2+N2口_

則價(jià)值損失百分率為：(1--6-O-O--O--M----+-6-O-O-O--7V)\xl00%=l----------且A7+N=3,

540009

M2+N2_M2+(3-M)2_2M2-6M+9_2(M-2^+2

...———,

9999

.?.M=N=3時(shí)，+M取最小,此時(shí)1_"+N2最大,

299

即，當(dāng)M=N時(shí)損失百分率最大.

19.如圖，在四棱錐尸-A3CD中，平面P4D_L平面?WCD,PArPD,PA=PD,ABVAD,

AB=\,AD=2,AC=CD=>/5.

(I)求證：PD_L平面抬B；

(II)求直線尸3與平面PCD所成角的正弦值；

(HI)在棱R4上是否存在點(diǎn)M,使得3M〃平面PCD?若存在，求4”的值，若不存在,

AP

說(shuō)明理由.

【解答】(I)證明：?.?平面皿)_L平面A8C￡>,且平面以DC平面A3C￡)=Ar),

且4?_L4),ABu平面

平面BAD,

?rP￡)u平面

:.ABYPD,

又「D_L以，且以口鉆=4,

.?.P￡＞_L平面

(II)解：取4)中點(diǎn)為O,連接CO,PO,

-.■CD=AC=-j5,

:.COYAD,

又?.?P4=PD,

:.POA.AD.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖:

則P(0,0,1),8(1,1,0),L>(0,-1,0),C(2,0,0),

貝U麗而=(0,-1,-1),PC=(2,0,-l),CD=(-2,-l,0),

設(shè)后=為平面PCD的法向量,

nVPD=Q?-%T=0._J.

則由—，得,nil1

2x()-l=0則”(/TA

元DPC=0

--1-1

2

設(shè)P8與平面PCD的夾角為6,則sin。■cos＜爪方＞|=|“竺1=1

|利|P8|哼

%1+1x73

(HD解：假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM//平面PCD,設(shè)史幺=2,M(0,

必，4),

AP

由(II)知，A(0,1,0),尸(0,0,1),而=(0,-1,1),8(1,1,0),AM=(0,%-l,zj,

則有麗7=力而，可得"(0,1-2,2),

BM=(—1,—4,2),

?/BMH平面PCD,n=(g，T，l)為平面PCD的法向量,

二麗萬(wàn)=0,即」+4+4=0,解得X=L

24

綜上，存在點(diǎn)即當(dāng)四=J■時(shí)，M點(diǎn)即為所求.

AP4

耳、尸2分別為雙曲線c的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上

45

且在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，心的重心為G,內(nèi)心為/.

(1)求內(nèi)心/的橫坐標(biāo);

(2)已知A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，直線/過(guò)右焦點(diǎn)5與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，若AM、

AN的斜率K、&2滿足4+&=-g，求直線/的方程:

=1的。=2,b=#>,c=3,

45

設(shè)|P4|=相，|PKI=〃，△/>/=；"的內(nèi)切圓與邊尸片切于S,與邊尸鳥(niǎo)切于K,與邊行片切

于T,

可得1Psi=|PK|,|耳5|=167|,|瑪7|=|瑪K|,

由雙曲線的定義可得利―〃=%，即有|65|-|口K|=f；T|-|=2|=2a,

又|?|+|巴7>2°,解得|67|=c-a,則7的橫坐標(biāo)為a,

由/與T的橫坐標(biāo)相同，可得/的橫坐標(biāo)為。=2；

(2)由A(-2,0),6(3,0),設(shè)直線MN的方程為y=Z(x-3),

2

與雙曲線的方程5x2-49=20聯(lián)立，可得（5-4無(wú)2）X+24&2》_36k2-20=0,

24k236*+20

設(shè)A/(Xi，%),N?,y),可得王+工2=一

25_必2，5-4k2

11

-工+上=+=-5K----+-----)

x,+2々+2苔+2馬+2玉+2%+2

%+占+4-24k2+20-16k2

=2k-5k--------!-----=-----------=2K-5K-

XyX2+4+2(玉+x2)-36/_20+20-16抬_48%22

解得k=—2f

所以直線/的方程為y=-2x+6；

(3)設(shè)P(x0,y0)(x0>0,%>。)，

則G（￡,比），

設(shè)^尸耳鳥(niǎo)的內(nèi)切圓的半徑為r，則S岬2=g|「居|%=g(機(jī)+〃+2c)r,

于是cy=-(m+n+2c)r,可得r=————，

02m+n+2c

由/G//耳瑪,

知得2勺。=&,

〃7+〃+2。3

即加+〃=4c=12,

又加一〃=勿=4,解得〃=4.

fcC-2016-解得……

因此

即有點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,而）.

21.設(shè)數(shù)歹IJ｛《,｝（〃..3,〃eN*）是公差為d的等差數(shù)歹U.

（1）若d=2,awR,討論方程|x-4|+|x-?|=。的根的個(gè)數(shù);

(2)若％=1,d=\,求函數(shù)/(幻=|/%一1|+|。2%-11+…+1%()0%-1|的最小值;

3)