考點21 一次函數(shù)與反比例函數(shù)5大題型方法歸類-解析版

考點21一次函數(shù)與反比例函數(shù)5大題型方法歸類1一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷的方法根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式確定一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，關鍵是熟練掌握兩類函數(shù)的性質。對于同一個字母或者比例系數(shù)符號要求要相同或者對于各函數(shù)形式中，對應的字母意義分析。2一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．3一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質、待定系數(shù)法等綜合知識。二元一次方程組的應用。平面直角坐標系中點坐標和特殊角的結合應用，數(shù)形結合，根據(jù)點坐標的特點，找到等量關系是解題的關鍵．4一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合（1）掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，一般用點的坐標表示圖形面積；．（2）解題時，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，同時要注意運用數(shù)形結合的思想；（3）涉及到平行四邊形性質及應用等，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分列方程組解決問題；（4）反比例函數(shù)的性質、的意義，兩點間距離公式、三角形的面積、解方程，都是運用的關鍵；（5）作圖要根據(jù)步驟做規(guī)范作圖。5一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應用考點1一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷考點2一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點問題考點3一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用考點4一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合考點5一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應用考點1一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷1．（2023秋·重慶·九年級重慶實驗外國語學校?？奸_學考試）一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限得出的正負，由此即可得出反比例函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，再與函數(shù)圖象進行對比即可得出結論．【詳解】A、由一次函數(shù)圖象得，所以，所以反比例函數(shù)圖象應在一、三象限，故本選項符合題意；B、由一次函數(shù)圖象得，所以，所以反比例函數(shù)圖象應在二、四象限，故本選項不符合題意；C、由一次函數(shù)圖象得，所以，所以反比例函數(shù)圖象應在一、三象限，故本選項不符合題意；D、由一次函數(shù)圖象得，所以，所以反比例函數(shù)圖象應在一、三象限，故本選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握根據(jù)待定系數(shù)判斷圖象在坐標系中的位置是解題的關鍵．2．（2023·湖北恩施·?？寄M預測）若，則在同一直角坐標系內，函數(shù)和的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由參數(shù)值，判斷函數(shù)圖象所在的象限：時，圖象在第一，三象限；時，圖象在第二，四象限，判斷求解．【詳解】解：∵，∴在第二，四象限，在第一，三象限．故選：A．【點睛】本題考查正比例函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象，掌握函數(shù)圖象的特征是解題的關鍵．3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，下列結論正確的是（

）

A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】B【分析】結合一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，逐項判斷即可得．【詳解】解：A、當時，，則此項錯誤，不符合題意；B、當時，，則此項正確，符合題意；C、當時，，則此項錯誤，不符合題意；D、當時，，則此項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關鍵．4．（2023·山東濱州·統(tǒng)考二模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的圖象，判斷出c，，的符號，進而判斷一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象的位置即可得出答案．【詳解】解：由拋物線的圖象可知：橫坐標為的點，即在第一象限，因此，所以反比例函數(shù)的圖象分布在一、三象限；由于拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，因此，拋物線開口向下，與x軸有兩個交點，，因此一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限；故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象與解析式的系數(shù)關系，熟練掌握函數(shù)解析式的系數(shù)對圖像的影響是解題的關鍵．考點2一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交點問題5．（2022·河北衡水·?？寄M預測）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點A，過點作軸，垂足為，連接，已知四邊形是平行四邊形，且其面積是．

(1)求點A的坐標及和的值；(2)求一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的另一個交點坐標；(3)若直線與四邊形和反比例函數(shù)圖象均無公共點，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】令，則，解得，得到，根據(jù)平行四邊形的性質求出，設，再根據(jù)平行四邊形的面積是，列出方程得到，把分別代入，，即可求出m、k的值；聯(lián)立直線和雙曲線的解析式，求解，即可得到答案；找出鄰界點直線經(jīng)過點時的值，直線與雙曲線在第四象限相切時的值，即可得出t的取值范圍．【詳解】（1）令，則，，，，四邊形為平行四邊形，，軸，設，平行四邊形的面積是，，，，，，點在直線上，，即，，；（2）由知，，直線的解析式為，由知，，反比例函數(shù)的解析式為，聯(lián)立解得，（點的坐標）或，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的另一個交點坐標為；（3）當直線過點時，，，當直線與第四象限的雙曲線相切時，，，，（舍），或，直線與四邊形和反比例函數(shù)圖象均無公共點時，．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，平行四邊形．熟練掌握待定系數(shù)法，平行四邊形的性質，函數(shù)與方程的關系，是解決問題的關鍵．6．（浙江省杭十五中教育集團2022-2023學年九年級下學期5月階段檢測數(shù)學試題）已知：一次函數(shù)與反比例函數(shù)．其中的圖象過．(1)求出兩個函數(shù)圖象的交點坐標；(2)根據(jù)圖象直接回答：取何值時，．【答案】(1)，．(2)或【分析】（1）依據(jù)題意，把，代入反比例函數(shù)解析式求出再將與聯(lián)列方程組，進而可以求出交點的坐標；（2）依據(jù)題意，根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)下方時對應的自變量作答即可．【詳解】（1）解：由題意，將代入反比例函數(shù)解析式得，，．聯(lián)立方程組解得：或．兩個函數(shù)圖象的交點坐標為，．（2）由題意，作圖如下，，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)下方時對應的自變量為：或，即滿足題意的為：或．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應用，掌握反比例函數(shù)的性質，數(shù)形結合是解題的關鍵．7．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級?？茧A段練習）已知反比例函數(shù)過第二象限內的點，軸于B，面積為3，若直線經(jīng)過點A，并經(jīng)過反比例函數(shù)的圖象上另一點，

(1)______，______，______；(2)求直線的解析式；(3)在y軸上是否存在一點P，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出P點坐標，若不存在，說明理由．【答案】(1)，3，4(2)；(3)點坐標分別為：；；；．【分析】（1）根據(jù)的幾何意義得到，解得或，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象的位置得到，則反比例函數(shù)的解析式為，然后分別把、代入可計算出、的值；（2）由和，利用待定系數(shù)法可確定一次函數(shù)的解析式；（3）先利用勾股定理求得，再分、、三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：面積為3，，解得或，而，，即反比例函數(shù)的解析式為，把代入得，解得，把代入得，解得；故答案為：，3，4；（2）解：把和代入得，解得，所以一次函數(shù)的解析式為；（3）解：∵，，

當時，∴∴；；當時，作于點D，則，∴，∴；當時，設，∴，解得，∴；答：存在點使為等腰三角形；點坐標分別為：；；；．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了觀察函數(shù)圖象的能力以及用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．8．（2023春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）如圖，已知線段，，，現(xiàn)將線段沿y軸方向向下平移得到線段．直線過M、N兩點，且M、N兩點恰好也落在雙曲線的一條分支上，

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)①直接寫出不等式的解集；②若點P是y軸上一點，且的面積為8.5，請直接寫出點P的坐標；(3)若點，在雙曲線上，試比較和的大?。敬鸢浮?1)y，；(2)①或；②或；(3)當或時，；當時，．【分析】（1）設線段沿y軸方向向下平移t個單位得到線段，則點M、N的坐標分別為、，將點M、N的坐標代入，得：，解得，再將點M、N的坐標代入一次函數(shù)表達式，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）①觀察函數(shù)圖象，結合點M、N的坐標，即可求解；②設直線MN與y軸的交點為C，先求出，再根據(jù)，求出的長，即可得到點P的坐標；（3）將點C、D的坐標分別代入反比例函數(shù)表達式得：，，則，根據(jù)a的取值分情況討論即可求解．【詳解】（1）設線段沿y軸方向向下平移t個單位得到線段，點M、N的坐標分別為、，將點M、N的坐標代入得：，解得：，點M、N的坐標分別為、，，反比例函數(shù)的解析式為：y，將點M、N的坐標代入一次函數(shù)解析式，得，解得：，一次函數(shù)解析式為：；（2）①觀察函數(shù)圖象可知，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方部分即為不等式解集，不等式的解集為或；②設直線與y軸的交點為C，令，則，∴如圖，當點P在點C上方時，,的面積為8.5，∴解得，；如圖，當點在點C下方時，同理可得，，，綜上可知，點P的坐標為或；

（3）將點，分別代入反比例函數(shù)，得：，，則，當時，即或時，；當時，即時，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質等知識點，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強，利用數(shù)形結合思想解決問題是解題關鍵．考點3一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際應用9．（2023春·福建泉州·八年級?？计谥校榱俗龊眯@疫情防控工作，校醫(yī)每天早上對全校辦公室和教室進行藥物熏蒸消毒消毒藥物在一間教室內空氣中的濃度（單位：）與時間（單位：）的函數(shù)關系如圖所示：校醫(yī)進行藥物熏蒸時與的函數(shù)關系式為，藥物熏蒸完成后與成反比例函數(shù)關系，兩個函數(shù)圖象的交點為．

(1)求的值；(2)當時，求與的函數(shù)關系式；(3)當教室空氣中的藥物濃度不低于時，對殺滅病毒有效問：本次消毒中有效殺滅病毒的時間持續(xù)多長時間？【答案】(1)6(2)(3)8min【分析】（1）依據(jù)題意，將代入可以得解；（2）由（1）得坐標，再設反比例函數(shù)解析式，從而將代入反比例函數(shù)解析式可以得解；（3）依據(jù)題意，令，結合函數(shù)的性質可得有效時間．【詳解】（1）解：由題意，，即為，．（2）解：由（1）可得．設熏蒸完后函數(shù)的關系式為：，．熏蒸完后函數(shù)的關系式為：．（3）解：藥物濃度不低于，當時，，當時，，有效時長為，答：有效殺滅病毒的時間持續(xù)．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的應用，解題的關鍵是能夠從實際問題中抽象出反比例函數(shù)和正比例函數(shù)模型，難度不大．10．（2023春·浙江·八年級專題練習）某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度微克毫升與服藥時間小時之間函數(shù)關系如圖所示當時，與成反比例．(1)根據(jù)圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段與之間的函數(shù)關系式．(2)問血液中藥物濃度不低于微克毫升的持續(xù)時間多少小時？【答案】(1)血液中藥物濃度上升階段的函數(shù)關系式為，下降階段的函數(shù)關系式為(2)血液中藥物濃度不低于微克毫升的持續(xù)時間小時【分析】（1）分別利用待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)解析式即可；（2）利用分別得出的值，進而得出答案．【詳解】（1）解：當時，設直線解析式為：，將代入得：，解得：，故直線解析式為：，當時，設反比例函數(shù)解析式為：，將代入得：，解得：，故反比例函數(shù)解析式為：；因此血液中藥物濃度上升階段的函數(shù)關系式為，下降階段的函數(shù)關系式為．（2）解：當，則，解得：，當，則，解得：，小時，血液中藥物濃度不低于微克毫升的持續(xù)時間小時．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的應用，根據(jù)題意得出函數(shù)解析式是解題關鍵．11．（2023春·全國·八年級專題練習）某超市在40天內試銷一種成本為40元/件的新商品．在前19天，每天的銷售單價都是80元/件；后21天改變了銷售措施，規(guī)定“每天的銷售單價（元）由基礎價格、浮動價格兩部分構成，其中基礎價格保持不變，浮動價格與（第天）成反比”．試銷完畢后，通過統(tǒng)計整理還發(fā)現(xiàn)．試銷售期間日銷量（件）是天數(shù)（天）的一次函數(shù)，并且得到了如下表中的數(shù)據(jù)．第天2530日銷量（件）7060日銷售單價（元）8577.5(1)求試銷售期間日銷量（件）與（天）的函數(shù)關系式；(2)求后21天每天的銷售單價（元）與（天）的函數(shù)關系式；(3)設第天的利潤為（元），則這40天中第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)(3)這40天中第1天獲得的利潤最大；最大利潤是多少元【分析】（1）根據(jù)題意，設，由表中數(shù)據(jù)，將代入表達式，解二元一次方程組即可得到試銷售期間日銷量（件）與（天）的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)題意，設，由表中數(shù)據(jù)，將代入表達式，解方程組即可得到后21天每天的銷售單價（元）與（天）的函數(shù)關系式；（3）對于前19天，每件的利潤是元；對于后21天，每件的利潤是元；再根據(jù)試銷售期間日銷量（件）與（天）的函數(shù)關系式為，從而得到第天的利潤為（元）的表達式為，根據(jù)一次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖像與性質求最值即可得到答案．【詳解】（1）解：試銷售期間日銷量（件）是天數(shù)（天）的一次函數(shù)，設，將代入表達式，則，解得，試銷售期間日銷量（件）與（天）的函數(shù)關系式為；（2）解：后21天改變了銷售措施，規(guī)定“每天的銷售單價（元）由基礎價格、浮動價格兩部分構成，其中基礎價格保持不變，浮動價格與（第天）成反比”，設，將代入表達式，則，解得，后21天每天的銷售單價（元）與（天）的函數(shù)關系式為；（3）解：根據(jù)題意，分兩種情況：前19天，每件的利潤是元，則；后21天，每件的利潤是元，則；綜上所述，第天的利潤為（元）的表達式為，當時，，由得到隨著值的增大而減小，故當時，有最大利潤為元；當時，，由得到隨著值的增大而減小，故當時，有最大利潤為元；，這40天中第1天獲得的利潤最大；最大利潤是多少元．【點睛】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)解決實際應用題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)及反比例函數(shù)圖像與性質求最大利潤等，讀懂題意，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)表達式，掌握利潤單件商品利潤銷售量是解決問題的關鍵．12．（2022秋·廣東河源·九年級統(tǒng)考期末）為應對全球爆發(fā)的新冠疫情，某疫苗生產企業(yè)于2021年1月份開始了技術改造，其月生產數(shù)量（萬支）與月份x之間的變化如圖所示，技術改造完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，技術改造完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)解答下列問題：(1)該疫苗生產企業(yè)4月份的生產數(shù)量為多少萬支？(2)該疫苗生產企業(yè)有個月的月生產數(shù)量不超過60萬支．【答案】(1)45萬支(2)6【分析】（1）根據(jù)題意和圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出技術改造完成前對應的函數(shù)解析式，然后將代入求出相應的y的值即可；（2）根據(jù)題意和圖象中的數(shù)據(jù)，可以技術改造完成后y與x的函數(shù)解析式，然后即可列出相應的不等式組，求解即可，注意x為正整數(shù)．【詳解】（1）解：當時，設y與x的函數(shù)關系式為，∵點在該函數(shù)圖象上，∴，得，∴，當時，，即該疫苗生產企業(yè)4月份的生產數(shù)量為45萬支；（2）解：設技術改造完成后對應的函數(shù)解析式為，∵點，在該函數(shù)圖象上，∴，解得，∴技術改造完成后對應的函數(shù)解析式為，，解得∵x為正整數(shù)，∴，3，4，5，6，7，答：該疫苗生產企業(yè)有6個月的月生產數(shù)量不超過90萬支．故答案為：6．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應用、一次函數(shù)的應用、一元一次不等式組的應用，利用數(shù)形結合的思想解答是解答本題的關鍵．考點4一次函數(shù)與反比例函數(shù)的幾何綜合13．（2022·重慶·?？级＃┤鐖D，一次函數(shù)的圖像交x軸于點，交y軸于點，與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點，點A的橫坐標為6(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，并在平面直角坐標系中畫出反比例函數(shù)的圖像；(2)請寫出反比例函數(shù)圖象的一條性質：______．(3)在y軸上是否存在一點M，使得的面積是面積的2倍？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1)，，圖像見解析(2)答案不唯一，見解析(3)存在，或【分析】（1），將點A，C的坐標代入關系式求出解即可，進而求出點A的坐標，再代入反比例函數(shù)關系式得出答案，最后畫出圖象；（2），根據(jù)圖象的特點寫出性質；（3），先求出，再求出交點B的坐標，最后根據(jù)求出DM，進而得出答案．【詳解】（1）解：將，代入中，得解得：，∴一次函數(shù)解析式是．∵，∴，

∴，將代入中，得

∴，∴反比例函數(shù)的解析式為．反比例函數(shù)的圖像如圖所示．（2）在每個象限內，y隨x的增大而減小或該圖象位于一，三象限，答案不唯一；故答案為：在每個象限內，y隨x的增大而減小或該圖象位于一，三象限，答案不唯一；（3）過點A作軸于點N，∵，，∴，，∴．又∵，

解得，

∴∴，

∴．∵，

∴或．【點睛】這是一道反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)關系式，求兩函數(shù)圖象的交點，反比例函數(shù)圖像的性質等，將求不規(guī)則三角形的面積轉化為求規(guī)則三角形的面積是解題的關鍵．14．（2023春·江蘇南京·八年級南師附中新城初中?？计谀┤鐖D①，有一塊邊角料，其中，，，是線段，曲線可以看成反比例函數(shù)圖象的一部分．測量發(fā)現(xiàn)：，，，點C到，所在直線的距離分別為2，4．

(1)小寧把A，B，C，D，E這5個點先描到平面直角坐標系上，記點A的坐標為；點B的坐標為．請你在圖②中補全平面直角坐標系并畫出圖形；(2)求直線，曲線的函數(shù)表達式；(3)小寧想利用這塊邊角料截取一個矩形，其中M，N在上（點M在點N左側），點P在線段上，點Q在曲線上．若矩形的面積是，則PM=________________．【答案】(1)見解析(2)直線的函數(shù)表達式，曲線的函數(shù)表達式(3)【分析】（1）根據(jù)A的坐標為，點B的坐標為補全平面直角坐標系，根據(jù)，，，點C到，所在直線的距離分別為2，4，，，，是線段，曲線是反比例函數(shù)圖象的一部分畫圖；（2）設線段的解析式為，把，代入，得到k、b的方程組，解方程組得到k、b的值，即得線段的解析式；再設曲線的解析式為，把代入，得到方程，解方程得到的值，即得曲線的解析式；（3）設，根據(jù)軸，，點P在上，點Q在上，用m的表達式寫出點P、Q的坐標，得到線段、的長的表達式，根據(jù)建立方程，解方程得到m的值，即可求出的長．【詳解】（1）根據(jù)點A的坐標為，點B的坐標為，補全x軸和y軸，∵，，，點C到，所在直線的距離分別為2，4，∴，，根據(jù)，，，是線段，曲線是反比例函數(shù)圖象的一部分，畫出圖形ABCDE，如圖所示，

（2）設線段的解析式為，把，代入得，，解得，，∴，設曲線的解析式為，把代入得，，，∴；（3）設，則，，∴，，∵∴，∴，∴，或（舍去），∴．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了補全平面直角坐標系，畫圖形，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，矩形面積，解決問題的關鍵是熟練掌握依照點的坐標補全平面直角坐標系，畫出坐標系中的圖形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)性質，根據(jù)點坐標寫線段長的表達式，運用矩形面積公式列方程解方程．15．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標系中，雙曲線與直線交于點．已知點，過點P作垂直于x軸的直線，交直線于點B，交函數(shù)于點C．

(1)求，的值；(2)當時，求出線段與的長度；(3)直接寫出當時，的面積的最大值﹒【答案】(1)，；(2)，；(3)【分析】（1）把點代入一次函數(shù)解析式即可求出m的值，再把點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式即可求出k的值；（2）分別把代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，求出點B、C的坐標，然后可得線段與的長度；（3）首先求出時，點B、C的坐標，進而可得的值，然后根據(jù)三角形面積公式列出函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質求出最值即可．【詳解】（1）解：將代入得：，所以，將代入得：；（2）解：當時，即，把代入，得：，所以，將代入，得：，所以，所以當時，，；（3）解：當時，，，∴，，∵當時，點C在點B上方，∴，∴，∵，∴當時，有最大值．【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法以及二次函數(shù)的應用，熟練掌握求二次函數(shù)最值的方法是解題的關鍵．16．（2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行于軸的直尺（一部分）與雙曲線交于點和，與軸交于點和，直尺的寬度為，，．

(1)求反比例函數(shù)解析式；(2)若經(jīng)過兩點的直線關系式為，請直接寫出不等式的解集；(3)連接、，求的面積．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）由與的長，及A位于第一象限，確定出A的坐標，將A坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出k的值；（2）由圖象直接可得；（3）根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得，再計算，然后利用進行計算即可．【詳解】（1）解：由題意知，將點A坐標代入（）中，得：，，雙曲線的解析式為（）；（2）由圖象可知，點D橫坐標為4，則關于x的不等式的解集是或；（3）點坐標為，軸，點坐標為；，，而，．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，函數(shù)與不等式的關系，反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練運用幾何圖形的面積的和差計算不規(guī)則圖形的面積是解題關鍵．17．（2023秋·河南許昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A，與y軸交于點B，與x軸交于點．

(1)求b與m的值；(2)為x軸上一點，連接AP，當?shù)拿娣e為9時，求a的值．【答案】(1)的值為2，的值為6(2)=2或【分析】（1）把代入可得的值，進而可求出一次函數(shù)解析式，得到點A的坐標，再將點A的坐標代入反比例解析式即可求得的值；（2）確定與點的坐標之間的等量關系即可求解．【詳解】（1）解：把代入得：解得，∴．把A代入得：解得，∴．把代入得=6．故的值為2，的值為6．（2）解：由（1）可知，．∵為軸上一動點，∴，∴，解得或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題．掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式、用點的坐標表示圖形面積是解題關鍵．18．（2023秋·九年級課時練習）如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第二象限的圖象交于、兩點．

(1)求、的值；(2)根據(jù)圖象回答：在第二象限內，當取何值時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值？(3)的面積是多少？【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】（1）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，將點代入反比例函數(shù)解析式求得的值；然后將點的坐標代入反比例函數(shù)解析式，列出關于的方程，解方程求出的值；（2）在第二象限內，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方的部分對應的的取值范圍即為所求；（3）過、分別作軸于，軸于，根據(jù)圖形計算即可．【詳解】（1）解∶∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴反比例函數(shù)，又∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，解得；（2）解：∵，，∴，∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第二象限的圖象交于、兩點，∴當時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值；（3）解：過、分別作軸于，軸于，

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題時，利用了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式．同時要注意運用數(shù)形結合的思想．19．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如右圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點．

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關系式：(2)設直線AB交軸于點，點M，N分別在反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上，，點在點的上方，且，求點的坐標．【答案】(1)反比例函數(shù)關系式為，一次函數(shù)的關系式為(2)，或，【分析】（1）把代入可得，即得反比例函數(shù)關系式為，從而，將，代入即可得一次函數(shù)的關系式為；（2）在中得，設，，而，由、中點重合列方程組可得，或，．【詳解】（1）解：把代入得：，，反比例函數(shù)關系式為；把代入得：，，將，代入得：，解得，一次函數(shù)的關系式為；∴反比例函數(shù)關系式為，一次函數(shù)的關系式為；（2）解：在中，令得，，設，，而，，且，四邊形是平行四邊形，、為對角線，它們的中點重合，，解得或，，或，；【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，平行四邊形性質及應用等，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，能根據(jù)平行四邊形對角線互相平分列方程組解決問題．20．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）已知點在雙曲線上，將點A向右平移5個單位得到點B．(1)當點B在直線上時，求直線的表達式；(2)當線段被直線分成兩部分，且這兩部分長度的比為時，求b的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)點在雙曲線上，求出點A坐標，根據(jù)點平移得到點B的坐標，將點B的坐標代入直線解析式即可得到答案；（2）根據(jù)，，得到，根據(jù)線段被分得的兩段的長度比為，得到分割點坐標分類討論即可得到答案.【詳解】（1）解：∵點在雙曲線上，∴，即，又∵將點A向右平移5個單位得到點B，∴，當點B在直線上時，有，解得，∴直線的表達式為；（2）解：∵，，∴，∵線段被分得的兩段的長度比為，故分割點為或，當分割點為時，，得，當分割點為時，，得，綜上，或；【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，解題的關鍵是根據(jù)反比例函數(shù)求出點的坐標，代入直線解出直線解析式．考點5一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應用21．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點、點P是一次函數(shù)的圖象與該反比例函數(shù)圖象的一個公共點．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)當點P的縱坐標為1時，①求的面積：②方程的解為______；當x滿足______：(3)對于一次函數(shù)．當y隨x的增大而增大時，則點P橫坐標a的取值范圍為______．【答案】(1)(2)①；②，(3)【分析】（1）把代入即可得到，從而可確定反比例函數(shù)的解析式；（2）過點作平行于軸，交軸于點，過點作平行于軸，交軸于點和交于點，利用割補法即可得出面積；再根據(jù)圖像可得出②；（3）設點的橫坐標為，由于一次函數(shù)過點，并且隨的增大而增大時，則點的縱坐標要小于3，橫坐標要小于3，當縱坐標小于3時，由得到，于是得到的取值范圍．【詳解】（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴∴．∴反比例函數(shù)的解析式為（2）當時，，，∴，①過點作平行于軸，交軸于點，過點作平行于軸，交軸于點和交于點

∴∴，，∴．②∵點P是反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象的一個公共點，∴方程的解為，由圖可知當時，故答案為：，（3）當時，，即一次函數(shù)一定經(jīng)過，設點的橫坐標為，一次函數(shù)過點，并且隨的增大而增大時，，點的縱坐標要小于3，橫坐標要小于3，當縱坐標小于3時，，，解得：，則的范圍為．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點在函數(shù)圖象上，則點的橫縱坐標滿足圖象的解析式；掌握一次函數(shù)的增減性．22．（2023·云南西雙版納·統(tǒng)考一模）已知點、是反比例函數(shù)圖象上的兩個點，且，，．(1)求證：；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)1(3)8【分析】（1）根據(jù)題意將點點、代入反比例函數(shù)，整理即可得出得出．（2）勾股定理表示出，由（1）知．得出，進而即可求解．（3）點、根據(jù)得出直線的解析式為：，則，，根據(jù)已知條件即可得出的值【詳解】（1）證明：點、是反比例函數(shù)圖象上的兩個點；，