專題12 相似三角形的性質(zhì)有關問題(解析版)（重點突圍）

專題12相似三角形的性質(zhì)有關問題考點一利用相似三角形的性質(zhì)求解考點二相似三角形實際應用考點三利用相似求坐標考點四在網(wǎng)格中畫已知三角形相似的三角形考點五相似三角形的綜合問題考點一利用相似三角形的性質(zhì)求解例題：（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級期中）若，且周長比為4：9，則其對應邊上的高的比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，周長比為4：9，∴兩個三角形的相似比為4：9，∵對應邊上的高的比等于相似比，∴對應邊上的高的比為4：9．故選B．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)．熟記相似三角形的周長比，對應邊上的三線比都等于相似比是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2021·湖南·永州柳子中學九年級期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，則∠F的度數(shù)為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的對應角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵△ABC~△DEF，∴∠A＝∠D＝50°，∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°，故選：B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對應角相等，對應邊成比例．2．（2022·全國·九年級專題練習）兩個相似三角形的面積之比為3：4，則這兩個三角形的周長之比為_______．【答案】：2【分析】相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結論．【詳解】解：∵兩個相似三角形的面積之比為3：4，∴相似比是：2，∵相似三角形的周長比等于相似比，∴這兩個三角形的周長之比為：：2，故答案為：：2．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵．3．（2021·廣西·北師大平果附屬學校九年級階段練習）如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，且DE//BC，AD=CE，DB=1cm，AE=4cm．(1)求CE的長；(2)若△ABC的面積為，求△ADE的面積．【答案】(1)CE=2cm(2)△ADE的面積為．【分析】（1）設CE=xcm，根據(jù)平行線分線段成比例定理得代入可得結論；（2）根據(jù)平行得相似，則面積比等于相似比的平方，可得結論．（1）解：設cm，則cm，∵，∴，∵cm，cm，∴，∴，∴，∴cm，（2）解：∵，∴，∴，∵的面積為，∴的面積為．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定及平行線分線段成比例定理，在三角形相似的判定中常用平行相似的判定方法；還要熟練掌握相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積比等于相似比的平方．考點二相似三角形實際應用例題：（2021·湖北·武漢二中廣雅中學九年級階段練習）如圖，已知零件的外徑為，現(xiàn)用個交叉卡鉗（兩條尺長和相等，）測量零件的內(nèi)孔直徑．若，且量得，則零件的厚度（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】A【分析】先根據(jù)題意證明△AOB∽△COD，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出AB，問題得解．【詳解】解：∵兩條尺長AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB，∵OC：OA＝1：2，∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，∵∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD，∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，∵CD＝12mm，∴AB＝24mm，∴零件的厚度為mm．故選：A．【點睛】本題主要考查相似三角形的應用，把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，求出零件的內(nèi)孔直徑AB是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·山東青島·九年級期末）如圖，路燈A與地面的距離米，身高1.6米小明與路燈底部的距離米，則小明影子長_______米．【答案】5【分析】根據(jù)題意可得CDAB，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得CDAB，∴?EDC~?EBA，∴，∴，∴DE=5米，故答案為：5．【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關鍵．2．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，為了測量一棟樓的高度，小王在他的腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到樓的頂部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同時量得BC＝0.3m，CE＝2m，則樓高DE為______m．【答案】10【分析】如圖，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△DEC，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角，它們的余角相等），∴△ABC∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝10（m）故答案為：10．【點睛】本題考查了相似三角形的應用．應用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運用相似三角形對應邊成比例即可解答．考點三利用相似求坐標例題：（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，則點坐標為___________．【答案】【分析】過點B作BC⊥OA于點C，由題意易得OA=10，然后由勾股定理可得，進而可得△BOC∽△AOB，設OC=x，則有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．【詳解】解：過點B作BC⊥OA于點C，如圖所示：∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵點，∴OA=10，∵，∴，∴AB=2OB，∴BC=2OC，∴在Rt△BOC中，，即，∴，∴BC=4，∴點B的坐標為；故答案為．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2020·江蘇·景山中學九年級階段練習）在方格紙中，每個小格的頂點稱為格點，以格點連線為邊的三角形叫格點三角形．在如圖的方格中，作格點和相似（相似比不為1），則點的坐標是_________．【答案】或【分析】要求△ABC與△OAB相似，因為相似比不為1，由三邊對應相等的兩三角形全等，知△OAB的邊AB不能與△ABC的邊AB對應，則AB與AC對應或者AB與BC對應并且此時AC或者BC是斜邊，分兩種情況分析即可．【詳解】根據(jù)題意：OA=2，OB=1，AB=，△ABC和△OAB相似應分兩種情況討論，當∠BAC=90°時，如圖，△ABC即為所作∵△ABC∽△OBA，

AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶，解得BC=5，∴OC=4，∴C點坐標為(4，0)，當∠ABC=90°時，AB∶OB=∶BA，=，=5，此時C點坐標為(3，2)，綜上所述，C點坐標為(4，0)或(3，2)，故答案為：（4，0）或（3，2）．【點睛】本題考查了作圖-相似變換：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進行簡單的相似變換作圖．2．（2020·江蘇泰州·九年級階段練習）已知點A(2，0)，點B(b，0)(b＞2)，點P是第一象限內(nèi)的動點，且點P的縱坐標為，若△POA和△PAB相似，則符合條件的點P坐標為_________．【答案】【分析】如圖，分類討論：（1）；（2），根據(jù)相似三角形的相似比列式計算出b的值，寫出點P的坐標即可．【詳解】由題意可得：OA=2，OB=b，AP=，如圖：（1）當時，，OA=AB=2，b=4，P(2，)；（2）當時，，，解得：b=9±，P(2，3±)；綜上：P的坐標為：(2，)，(2，3±)．故答案為：(2，)，(2，3±)．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，分類討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出對應邊的長度進而寫出點的坐標是解題關鍵．考點四在網(wǎng)格中畫已知三角形相似的三角形例題：（2022·四川·渠縣崇德實驗學校九年級期末）如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，△ABC是格點三角形，請按以下要求作圖．(1)在圖1中畫出格點△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面積比為；(2)在圖2中將△ABC繞著某格點逆向時針旋轉90°得到格點△PFG，其中C與P對應．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接利用位似圖形的性質(zhì)，結合位似中心得出答案；（2）直接利用旋轉的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案．（1）如圖，（案不唯一）（2）如圖，【點睛】此題主要考查了位似變換以及旋轉變換，根據(jù)題意得出對應點位置是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022·河南洛陽·九年級期末）如圖，在5×5的邊長為1小的正方形的網(wǎng)格中，如圖1△ABC和△DEF都是格點三角形（即三角形的各頂點都在小正方形的頂點上）．(1)判斷：△ABC與△DEF是否相似？并說明理由；(2)在如圖2的正方形網(wǎng)格中，畫出與△DEF相似且面積最大的格點三角形，并直接寫出其面積．【答案】(1)相似，見解析(2)圖見解析，面積為5【分析】（1）相似，分別求出每個三角形的三條邊長，根據(jù)三邊對應成比例的兩個三角形相似判斷即可；（2）根據(jù)勾股定理得出三角形各邊長，利用邊長之比相等，作出面積最大的格點三角形即可．(1)△ABC∽△DEF，理由如下：在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，∴，∴△ABC∽△DEF；(2)如圖，△MNP即為所求，．【點睛】此題考查了作圖—相似變換，三角形的面積等知識，解題的關鍵是掌握相似變換的性質(zhì)，靈活運用所學知識解決問題．2．（2022·山東淄博·八年級期末）如圖，在方格紙中，點A，B，C都在格點上（△ABC稱為格點三角形，即格點△ABC），用無刻度直尺作圖．(1)在圖1中的線段AC上找一個點D，使；(2)在圖2中作一個格點△CEF，使△CEF與△ABC相似．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，從而得出點D的位置；（2）根據(jù)∠ACB=90°，AC=2BC，即可畫出△CEF．（1）解：如圖1所示，點D即為所求，（2）如圖2所示，△CEF即為所求，【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．考點五相似三角形的綜合問題例題：（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點E，點F分別在線段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．（1）求證：△AFE∽△ADC．（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之間的數(shù)量關系．【答案】（1）證明見解析；（2）EB=2FD．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得出∠BAD=∠DAC，再根據(jù)∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，進而根據(jù)兩角分別相等的三角形相似可證；（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，進而根據(jù)等角對等邊得出AE=AF，再根據(jù)及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到結果．【詳解】解：（1）∵AD為∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠BDF，∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，∴∠AFE=∠ADC，又∵∠BAD=∠DAC，∴△AFE∽△ADC；（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，∴∠AEF=∠C，∵∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵，∴，∴，∵，∴，∴EB=2FD．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定．第（1）問能根據(jù)角的等量代換得出角相等及熟練掌握相似三角形的判定是解題關鍵；第（2）問根據(jù)相似得出比例式及根據(jù)比例式得出線段的關系是解的關鍵．【變式訓練】1．（2021·安徽·九年級專題練習）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）求證EG2＝GF?AF；（3）若AG＝3，EG＝，求BE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；（2）連接DE，交AF于點O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關系；（3）過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可．【詳解】（1）證明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四邊形EFDG為菱形．（2）證明：如圖1所示：連接DE，交AF于點O．∵四邊形EFDG為菱形，∴GF⊥DE，，∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO?AF．∵，∴；（3）如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．∵，∴，整理得：FG2+3FG-10=0．解得：FG=2，F(xiàn)G=-5（舍去）．∵∴∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即，∴．∴．【點睛】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應用，利用相似三角形的性質(zhì)得到DF2=FO?AF是解題答問題（2）的關鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GH的長是解答問題（3）的關鍵．2．（2021·福建省詔安第一中學九年級期中）如圖，已知正方形ABCD，點E為AB上的一點，，交BD于點F．(1)如圖1，直按寫出的值_______；(2)將△EBF繞點B順時針旋轉到如圖2所示的位置，連接AE、DF，猜想DF與AE的數(shù)量關系，并證明你的結論；(3)如圖3，當BE=BA時，其他條件不變，△EBF繞點B順時針旋轉，設旋轉角為，當為何值時EA=ED?請在圖3或備用圖中畫出圖形并求出的值．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)畫圖見解析，α的值為30°或150°，【分析】由是正方形ABCD的對角線，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，則可求出邊相等，進而可知，根據(jù)邊之間的等量關系可知，故可知；由（1）知，，，，進而可知邊之間的比例關系，由旋轉知，，故可證明，根據(jù)相似比可證明邊之間的等量關系；（3）連接DE，CE根據(jù)邊相等的條件，以及角相等的條件可知AE=DE，BE=CE，由四邊形ABCD是正方形，可知，AB=BC，進而可得△BCE是等邊三角形，，進而可證，即：，同理，也可證明△BCE是等邊三角形，，即：．(1)是正方形ABCD的對角線，∴∠ABD=45°，，，，，，，，，故答案為：；(2)，理由：由（1）知，，，，，由旋轉知，，，，；(3)如圖3，連接DE，CE∵EA=ED，∴點E在AD的中垂線上，∴AE=DE，BE=CE，∵四邊形ABCD是正方形，，AB=BC，，∴△BCE是等邊三角形，，，即：，如圖4，同理，△BCE是等邊三角形，，即：，故答案為：30°或150°．【點睛】本題考查圖形的旋轉變換，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，能夠根據(jù)題意將變換后的圖像畫出來并構造適合的輔助線是解決本題的關鍵．一、選擇題1．（上海市嘉定區(qū)部分學校聯(lián)考2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試卷）已知兩個相似三角形的相似比為，那么它們的面積比為（）A．2 B．8 C．4 D．1【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得到答案．【詳解】解：兩個相似三角形的相似比為，它們的面積比故選D．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關鍵．2．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，畫2個相似三角形，在下列各圖中，正確的畫法有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷即可．【詳解】解：第1個網(wǎng)格中兩個三角形對應邊的比例滿足，所以這兩個三角形相似；第2個網(wǎng)格中兩個三角形對應邊的比例，所以這兩個三角形相似；第3個網(wǎng)格中兩個三角形對應邊的比例滿足，所以這兩個三角形相似；第4個網(wǎng)格中兩個三角形對應邊的比例，所以這兩個三角形相似；故選：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握三角形相似的判定并根據(jù)網(wǎng)格結構判斷出三角形的三邊的比例是解題的關鍵．3．（2022·福建省大田縣教師進修學校九年級期中）如圖，在中，點，，分別是，，的中點．若的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，再根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：∵點，，分別是，，的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握三邊對應成比例的三角形相似以及相似三角形的面積比等于相似比的平方．4．（2022·海南·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC在x軸上，頂點A，B的坐標分別為（－2，6）和（7，0）．將正方形OCDE沿x軸向右平移，當點E落在AB邊上時，平移的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BO′=3，于是得到結論．【詳解】解：如圖，設正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x軸向右平移后的正方形，∵頂點A，B的坐標分別為（-2，6）和（7，0），∴AC=6，OC=2，OB=7，∴BC=9，∵四邊形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=2，∴O′E′=O′C′=2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴，∴，∴BO′=3，∴OO′=7-3=4，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關鍵．5．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，點O在邊AB上，且BO＝2OA．以點O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點，那么下列各值中，半徑r不可以取的是（

）A．6 B．10 C．15 D．16【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得到，求得OA＝10，OB＝20，過O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，∴，∵BO＝2OA，∴OA＝10，OB＝20，過O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，∴，，∴，，∴OE＝16，OD＝6，當⊙O過點C時，連接OC，根據(jù)勾股定理得，如圖，∵以點O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點，∴r＝6或10或16或，故選：C．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關鍵．二、填空題6．（2022·湖南岳陽·九年級期中）已知，的周長為3，的周長為1，則與的面積之比為_____．【答案】【分析】先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出其相似比，再根據(jù)面積的比等于相似比的平方進行解答即可．【詳解】解：的周長為3，的周長為1，∴三角形的相似比是，∴與的面積之比為．故答案為：．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．7．（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院九年級期中）如圖，在平行四邊形中，點是邊上一點，連接交于點，若，，，則的長是___________．【答案】【分析】利用平行四邊形對邊平行，得到，再根據(jù)，得，然后列比例式，代數(shù)求值即可．【詳解】解：平行四邊形，，，，，，又，，，，，即，，解得，故答案為：【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)應用，如何找到相似三角形是解題的關鍵．8．（2022·上?！ぞ拍昙墕卧獪y試）在網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為“格點三角形”．如圖，在的網(wǎng)格中，是一個格點三角形，如果也是該網(wǎng)格中的一個格點三角形，它與相似且面積最大，那么與相似比的值是______．【答案】【分析】根據(jù)表格求出的三邊長，作出，求出的三邊長，然后對應的邊作比可得比值相等，兩個三角形相似，相似比即為對應邊的比，此時面積是最大的．【詳解】解：由表格可得：，，，如圖所示：作，，，∵，∴與的相似比為，由于表格的限制，可得且此時面積最大，故答案為：．【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，在表格中作出相似三角形是解題關鍵．9．（2020·浙江省義烏市稠江中學九年級階段練習）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知AD平分∠BAC交⊙O于點D，交BC于點E，若BD＝6，AE＝5，AB＝7，則AC＝_______．【答案】【分析】根據(jù)AD平分∠BAC，可得∠BAD＝∠DAC，再利用同弧所對的圓周角相等，求證△ABD∽△BED、△ACE∽△ADB，利用其對應邊成比例可得，然后將已知數(shù)值代入即可求出AC的長．【詳解】∵AD平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAD，∵，∴∠C＝∠D，∴△ACE∽△ADB，∴，即：，∵AD平分∠BAC，∴，∴∠BAD＝∠EBD，∵∠BDA＝∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴，即：，解得：DE＝4或－9（舍去），∴AD＝AE＋DE＝5＋4＝9，∴，AC＝，故填：．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理等知識點的理解和掌握，難度不大，屬于基礎題，要求學生應熟練掌握．10．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為、，連接．動點P從點A開始在折線段上以每秒2個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段上以每秒3個單位長度的速度向點A移動．設點P、Q移動的時間為t秒，當與相似時，點P的坐標是___．【答案】或【分析】由題意易得，然后可分情況進行討論：①當時，有；②當時，有；進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：∵點A，B的坐標分別為、，∴，，∴，當與相似時，則可分：①當時，有，如圖所示：∴，即，解得：，∴，∴，∴；②當時，有，如圖所示：∴，即，解得：，∴，∴，∴；綜上所述：當與相似時，或；故答案為或．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．三、解答題11．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，△ABC中，點D，E分別是BC，AB上的點，CE，AD交于點F，BD＝AD，BE＝EC．(1)求證：△ABD∽△CBE；(2)若CD＝CF，試求∠ABC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，結合∠B＝∠B，可以得到；（2）設∠B＝x，則由（1）和已知條件可以得到關于x的方程，解方程即可得到問題解答．（1）證明：∵BD＝AD，BE＝EC∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE

∴∠BAD＝∠BCE而∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE（2）解：設∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，∴∠ADC＝又∵CD＝CF∴∠ADC＝∠DFC＝

∴

∴即【點睛】本題考查相似三角形的綜合問題，熟練掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及方程思想方法的應用是解題關鍵．法的應用是解題關鍵．12．（2022·陜西西安·九年級期中）如圖，在四邊形中，，，點E在上，．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先得出，再根據(jù)已知得到，利用兩角對應相等的兩個三角形相似即可得證；（2）利用相似三角形的性質(zhì)得出的長，由代數(shù)得出答案即可．【詳解】（1）∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積問題，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．13．（2022·吉林長春·九年級期中）如圖，，且，點D在內(nèi)部，連接．(1)求證：．(2)若，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)可得，則，即可證明；（2）根據(jù)，先求出的長度，在根據(jù)相似三角形對應角相等，得出，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定定理，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形對應角相等，對應邊成比例；以及兩邊成比例且夾角相等的三角形相似．14．（2022·湖南常德·一模）如圖，矩形的頂點、分別在軸和軸上，點的坐標為，雙曲線的圖象經(jīng)過BC的中點，且與交于點，連接(1)求的面積(2)若點是邊上一點，且∽，求點坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用D點為BC的中點得到D（1，3），再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式為y＝，接著利用E點的橫坐標為2得到E（2，），然后根據(jù)三角形面積公式求解；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比可求出CF，然后計算出OF的長，從而得到點F坐標．（1）點為的中點，，，把代入得，反比例函數(shù)解析式為，，

點的橫坐標為，當時，，即，的面積；（2）∽，，即，解得，，點坐標為．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．也考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征．15．（2022·福建·將樂縣教師進修學校九年級期中）已知：E是矩形的邊上一個動點，直線交于點F，(1)求證