冪函數(shù)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第一冊(cè)

第6章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)6.1冪函數(shù)試考察下列問(wèn)題：(1)正方體的邊長(zhǎng)為x，體積為y，則y＝x3.(2)若某放射性物質(zhì)每經(jīng)過(guò)1年,其剩留量是原來(lái)的x倍，則質(zhì)量為1的這種物質(zhì)經(jīng)過(guò)100年后，其剩留量應(yīng)為C＝x100.

(3)如果某人駕車在ts內(nèi)行進(jìn)了1km，那么該車的平均速度為v＝t－1km/s.●函數(shù)y＝x3，C＝x100，v＝t－1具有什么共同特征?這些函數(shù)的表達(dá)式是一個(gè)指數(shù)冪的形式，底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)，這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù).一、冪函數(shù)的概念一般地，我們把形如__________的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中______是自變量，________是常數(shù).y＝xαxα下面我們結(jié)合第5章討論的函數(shù)的基本內(nèi)容，如函數(shù)的定義域值域、圖象、單調(diào)性、奇偶性等，來(lái)認(rèn)識(shí)一些冪函數(shù)的性質(zhì).二、常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)＝xy＝x2y＝x3y＝x

圖象

定義域RRR______________值域R_______R______________奇偶性___函數(shù)___函數(shù)___函數(shù)___函數(shù)_______函數(shù)

{x|x≠0}[0，+∞)[0，+∞){y|y≠0}[0，+∞)奇偶奇奇非奇非偶解析式y(tǒng)＝xy＝x2y＝x3y＝x

增區(qū)間____________無(wú)________減區(qū)間無(wú)________無(wú)________________無(wú)定點(diǎn)______

R[0，+∞)R[0，+∞)(－∞，0)(－∞，0)，(0，+∞)(1，1)(1)本質(zhì)：冪函數(shù)的圖象是函數(shù)的圖形表示，冪函數(shù)的性質(zhì)是根據(jù)函數(shù)圖象總結(jié)得到的.(2)應(yīng)用：①求定義域；②求值域；③比較大小；④求單調(diào)區(qū)間.【思考】在區(qū)間(0，＋∞)上，冪函數(shù)有怎樣的單調(diào)性?提示：冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)α＞0時(shí)，y＝xα

是增函數(shù)；當(dāng)α＜0時(shí)，y＝xα是減函數(shù).例1寫出下列函數(shù)的定義域，并分別指出它們的奇偶性：解：函數(shù)y＝x3的定義城是R.因?yàn)閷?duì)任意的x∈R，－x∈R，

且都有(－x)3＝(－1)3x3＝－x3，

所以由奇函數(shù)的定義知，函數(shù)y＝x3是奇函數(shù).(1)y＝x3；(2)y＝x；

(3)y＝x－2.

思考函數(shù)y＝x3，y＝x，y＝x－2的單調(diào)性如何?

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出冪函數(shù)y＝x2，y＝x3，y＝x的圖象，如圖6-1-1所示

觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)這3個(gè)函數(shù)有如下共同特性：(1)函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(0，0)和(1，1)；(2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù).一般地，對(duì)于函數(shù)y＝xα，當(dāng)α＞0時(shí)，也具有上述兩條性質(zhì).例2試比較下列各組數(shù)的大?。?1)1.13，0.893；解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，

又1.1＞0.89，所以1.13＞0.893.(2)2.1，2，1.8；

解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝x

在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，

又2.1＞2＞1.8，所以2.1＞2＞1.8.

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出冪函數(shù)y＝x－1，y＝x－3，y＝x的圖象，如圖6-1-2所示.

觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)，這3個(gè)函數(shù)有如下共同特性：(1)函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)；(2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨的增大而下降函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù).一般地，對(duì)于函數(shù)y＝xα，當(dāng)α＜0時(shí)，也具有上述兩條性質(zhì).1.辨析記憶(對(duì)的打“?”，錯(cuò)的打“?”)(1)冪函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)(0，0)和(1，1). (

)(2)冪函數(shù)的圖象都不過(guò)第二、四象限. (

)(3)y＝x

與y＝x

定義域相同. (

)

【基礎(chǔ)小測(cè)】???

C解析：只有y＝3x不符合冪函數(shù)y＝xα的形式.解析

D解析：由于f(x)為冪函數(shù)，所以m2－3＝1，m＝±2，

當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上為減函數(shù)，

不符合題意，

當(dāng)m＝－2時(shí)，f(x)＝x2

在(0，＋∞)上為增函數(shù)，

符合題意.解析【跟蹤訓(xùn)練】

B

解析

C解析

3.判斷大?。?.3________2.4.(填“＞”或“＜”)

＜解析解析：因?yàn)閥＝x

為[0，+∞)上的增函數(shù)，

且2.3＜2.4，所以2.3＜2.4.

4.已知冪函數(shù)f(x)＝xm2＋m＋1(m∈N*)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，8).(1)試確定m的值；

(2)求滿足條件f(2－a)＞f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由題得2m2＋m＋1＝8?m＝1或m＝－2(舍).

信息技術(shù)GeoGebra(簡(jiǎn)稱GGB)是一款用于大中小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的免費(fèi)開(kāi)源軟件，主界面包括代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)、3D繪圖區(qū)、表格區(qū)等.代數(shù)區(qū)除了可以進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，還可以進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算(如因式分解、求方程的根等)；繪圖區(qū)可以作出各種平面幾何圖形或函數(shù)的圖象；3D繪圖區(qū)能夠作出空間三維圖形；表格區(qū)具有類似Excel的功能，可以像Excel那樣進(jìn)行操作.用GGB作函數(shù)y＝xa

的圖象，可以直接在“輸入”框中鍵入“y＝x^a”后，確認(rèn)“創(chuàng)建滑動(dòng)條：a”.拖動(dòng)滑動(dòng)條就能直觀地觀察函數(shù)y＝xa的圖象變化情況(圖6-1-3).練習(xí)1.分別寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性：(1)y＝x4；解令f(x)＝x4，它的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以函數(shù)y＝x4為偶函數(shù)；

(2)y＝x；

(3)y＝x－3；

(4)y＝x.

3.畫出函數(shù)y＝x

的圖象，并指出其單調(diào)區(qū)間.

解：函數(shù)圖象如圖，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞).4.試比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)2.2，2.3；

解：由冪函數(shù)的性質(zhì)，y＝xa(x＞1，0＜a＜1)單調(diào)遞增，

故2.2＜2.3.

(3)1.2，1.3；

解：由冪函數(shù)的性質(zhì)，y＝xa(x＞1，a＜0)單調(diào)遞減，

故1.2＜1.3.

(4)0.25，0.35.解：由冪函數(shù)的性質(zhì)，y＝xa(0＜x＜1，a＞0)單調(diào)遞增，

故(0.2)5＜(0.3)5.習(xí)題6.1感受·理解1.分別寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性：(1)y＝x5；解令f(x)＝x5，則f(x)的定義域?yàn)镽，

且f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，

∴f(x)是奇函數(shù)；(2)y＝x；

(3)y＝x；

(4)y＝x.

2.比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小：(1)5.23，5.24；

解∵y＝x

在[0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，5.23＜5.24，∴5.23＜5.24.

(2)0.26－1，0.27－1；解∵y＝x－1在[0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，0.26＜0.27，∴0.26－1＜0.27－1.(3)1.4，1.7；

解∵y＝x

在[0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，1.4＜1.7，∴1.4＞1.7.

(4)(－0.72)3，(－0.75)3.解∵y＝x3在R內(nèi)是增函數(shù)，

－0.72＞－0.75，∴(－0.72)3＞(－0.75)3.3.畫出函數(shù)y＝x

的圖象，并指出其奇偶性、單調(diào)性.

解

函數(shù)圖象如圖.函數(shù)是偶函數(shù)，在[0，＋∞)上為增函數(shù)，在(－∞，0]上為減函數(shù).4.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖象，并加以比較：(1)y＝x，y＝x；

解

y＝x

在定義區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，

y＝x在定義區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數(shù)和奇函數(shù)，

它們圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)，在區(qū)間(0，1)上，y＝x的圖象在y＝x

的圖象上方；

在區(qū)間(1，＋∞)上，y＝x

的圖象在y＝x

的圖象下方；

(2)y＝x－1，y＝x－2.解

y＝x－1

在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上是減函數(shù)，且圖象過(guò)點(diǎn)(1，1)，函數(shù)的圖象在第一象限和第三象限，函數(shù)是奇函數(shù)；y＝x－2在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，圖象過(guò)點(diǎn)(1，1)，且圖象在第一象限和第二象限函數(shù)是偶函數(shù)；在區(qū)間(0，1)上，y＝x－2

的圖象在y＝x－1的圖