福建省廈門(mén)海滄重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

廈門(mén)海滄重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中考試姓名：__________班級(jí)：__________座號(hào)：__________考場(chǎng)考號(hào)：__________.考試時(shí)間：120分鐘；總分150分.注意事項(xiàng)：1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名?班級(jí)?考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知空間四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（）A.2B.-2C.1D.-1

2.在數(shù)列中，，且，則（）A.2B.-1C.D.1

3.直線平分圓，則（）A.B.1C.-1D.-3

4.三棱錐中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則（）A.B.C.D.5.一束光線自點(diǎn)發(fā)出，被平面反射，到達(dá)點(diǎn)被吸收，那么光線自點(diǎn)到點(diǎn)所走的距離是（）A.B.12C.D.57

6.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作（圓錐曲線論）是古代世界的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡為圓.后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知.動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含B.相離C.內(nèi)切D.相交7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為，若，則的面積為（）A.B.4C.D.2

8.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.對(duì)于直線，有以下說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的有（）A.傾斜角為B.在軸上的截距為4C.原點(diǎn)到直線的距離為2D.直線的一個(gè)方向向量為10.已知空間中三點(diǎn)則下列說(shuō)法正確的有（）A.B.C.D.在上投影向量的長(zhǎng)度為11.記是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則下列說(shuō)法正確的有（）A.數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)列是遞減數(shù)列C.D.當(dāng)時(shí)，取得最大值12.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)芬奇方磚是在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案（如圖1）.把三片這樣的達(dá)芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（）A.B.若為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為2C.點(diǎn)到直線的距離是D.異面直線與所成角的正切值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.其中，16題第一空2分，第二空3分.13.寫(xiě)出一個(gè)漸近線方程為的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程__________.14.在等差數(shù)列中，如果前5項(xiàng)的和為，那么等于__________.15.若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.16.在數(shù)學(xué)史上，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形（Cassinioval）.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積等于2，化簡(jiǎn)得曲線，則的最大值為_(kāi)_________.三?解答題：本題共6小題共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明步驟或演算步驟.17.已知直線.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.18.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，前項(xiàng)和為，且.（1）求及的值；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求的前項(xiàng)和.19.已知直線，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線右上方.（1）求圓的方程；（2）問(wèn)題：是否存在__________的直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于？若存在，則求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.請(qǐng)從下面給出的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答.①過(guò)點(diǎn)；②在軸上的截距和在軸上的截距相等；③方程為.20.已知一條曲線在軸右邊，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是1.（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，，求直線的方程.21.如圖，在三棱臺(tái)中，，，側(cè)棱平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面（2）求平面與平面的夾角的余弦值.22.設(shè)橢圓的離心率為，直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)；若垂直于軸，則.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn).求證：點(diǎn)在定直線上.參考答案：1.D【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件代入即可解決【詳解】由四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線可得，解之得2.A【分析】根據(jù)給定條件推導(dǎo)出數(shù)列的周期，再借助周期性計(jì)算得解.【詳解】在數(shù)列中，，，則，于是得數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3，，所以.故選：3.D【分析】求出圓心，結(jié)合圓心在直線上，代入求值即可.【詳解】變形為，故圓心為，由題意得圓心在上，故，解得.故選：D4.D【分析】利用給定的空間向量的基底，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算表示作答.【詳解】三棱錐中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，如圖，.故選：D5.C【分析】求出關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接求出距離，就是光線所行走的路程，計(jì)算可得答案.【詳解】由題意，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為則故答案為：C【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的求法，考查空間兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象推理能力.（2）空間點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.6.D【分析】設(shè)，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式和已知條件求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，再由圓心距與半徑的關(guān)系判斷位置關(guān)系即可.【詳解】設(shè)，則，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，而的圓心為，半徑為，由于和的距離，則，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是相交.7.A【分析】利用拋物線的定義結(jié)合條件可得，進(jìn)而可得.【詳解】法一：由題意可知，，則，拋物線的準(zhǔn)線方程為直線，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?因?yàn)椋?，解得，所以，點(diǎn)到的距離為，所以.法二：因?yàn)?，所以，所以，?連接，又，所以為等邊三角形.易得，所以.故選：A.

8.C【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出橢圓的圖像，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用得到離心率.【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限的點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，于是.又，則由，得，即，于是.所以橢圓的離心率.故選：C.

9.ABD【分析】A.根據(jù)直線求得斜率即可；B.根據(jù)直線，令求解判斷；C.根據(jù)直線，利用點(diǎn)到直線的距離求解判斷；D.根據(jù)直線，求得斜率判斷；【詳解】A.因?yàn)橹本€，所以，因?yàn)閮A斜角的范圍是，所以傾斜角為，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)橹本€，令，得，所以在軸上的截距為-4，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)橹本€，所以原點(diǎn)到直線的距離為，故正確；D.因?yàn)橹本€，所以，則直線的一個(gè)方向向量為，故錯(cuò)誤.10.ACD【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案.【詳解】對(duì)于，由，則，故A正確；對(duì)于，由，因?yàn)?，所以兩向量顯然不平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則，故C正確；對(duì)于在上投影向量的長(zhǎng)度為，故D正確.故選：ACD.11.ACD【分析】由等差數(shù)列的定義可判斷A；求出可判斷B?C；根據(jù)的表達(dá)式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，故A正確；，從而，可知數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D正確.12.BCD【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則判斷，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，對(duì)于：因?yàn)闉榫€段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，故B正確；對(duì)于C：，所以點(diǎn)到直線的距離，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，所以，即異面直線與所成角的正切值為，故D正確；13.【分析】不妨設(shè)雙曲線方程焦點(diǎn)在軸上，根據(jù)漸近線方程以及的關(guān)系，得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】不妨設(shè)雙曲線方程焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，則故答案為：14.4【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)求解即可.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列前5項(xiàng)的和，所以，所以故答案為：4.15.【分析】根據(jù)題意分析可得曲線是以為圓心，1為半徑的右半圓，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因?yàn)?，可得，且，所以曲線是以為圓心，1為半徑的右半圓，直線過(guò)定點(diǎn)，斜率為，如圖所示：當(dāng)直線過(guò)時(shí)，可得；當(dāng)直線與曲線相切，則，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.【分析】根據(jù)軌跡方程求出的取值范圍，再求最值即可得解.【詳解】由動(dòng)點(diǎn)滿足的方程為，所以，即，解得，故，故，即的最大值為.17.（1）（2）或.【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積為-1，可求得直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可寫(xiě)出直線方程；（2）先根據(jù)兩直線平行，斜率相等，設(shè)出直線的方程為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式即可求出.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.18.（1）；（2）.【解析】（1）利用等差中項(xiàng)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.（2）由（1）可得，從而可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)該等差數(shù)列為，首項(xiàng)為，公差為，則.由已知得，得，由，得（負(fù)值舍去）..（2）由（1）得，則，又，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，19.（1）（2）選①，存在，直線的方程為或；選②，存在，直線的方程為；選③，不存在直線，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，由圓心到切線距離等于半徑求得得圓方程；（2）由弦長(zhǎng)得圓心到直線的距離，選①，檢驗(yàn)斜率不存在的直線符合要求，斜率存在的直線設(shè)出直線方程后由點(diǎn)到直線距離公式求解；選②，分類討論，截距為0，直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)檢驗(yàn)可得，截距不為0時(shí)設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式求解；選③，直接由點(diǎn)到直線距離公式求解.【詳解】（1）直線與軸交點(diǎn)為，依題意設(shè)所求圓的圓心的坐標(biāo)為，則，解得或（舍去）.故所求圓的方程為；（2）由題意易得圓心到直線的距離為選①：直線過(guò)點(diǎn).若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知符合題意；若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時(shí)直線的方程為.綜上，存在符合題設(shè)的直線且其方程為或選②：直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.若直線的截距都為0，則直線過(guò)原點(diǎn)即圓心，不合題意；若直線的截距都不為0，不妨設(shè)直線的方程為，即.則有，解得.綜上，存在符合題設(shè)的直線且其方程為.選③：直線方程為.由題意，得整理，得因?yàn)椋苑匠虩o(wú)解，所以不存在符合題設(shè)的直線.20.（1）；（2）或.【分析】（1）根據(jù)條件有化簡(jiǎn)得答案.（2）有拋物線過(guò)交點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式有，然后設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出代入，可計(jì)算出，得到直線方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)滿足：.化簡(jiǎn)得曲線的方程為.（2）由題意得，直線的方程為，設(shè).由得.因?yàn)?，故，所?由題設(shè)知，解得或.因此直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線與方程?直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.21.（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理，可得，再結(jié)合線面垂直判定定理，可得答案.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)面面角與法向量夾角的關(guān)系，可得答案.【詳解】（1）在平面內(nèi)，過(guò)作，且，則，在中，，易知，即，平面平面，，且平面平面，平面平面，平面.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，則在平面中，取，設(shè)該平面的法向量，則，即，今，解得，故平面的一個(gè)法向量，在平面中，取，設(shè)該平面的法