高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第36講橢圓 課件

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第36講橢圓2023-12-07目錄contents橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的焦點(diǎn)和離心率橢圓的切線方程橢圓的弦長公式及其應(yīng)用橢圓的交點(diǎn)與方程組解的關(guān)系CHAPTER橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程01橢圓的定義焦點(diǎn)位置頂點(diǎn)和焦點(diǎn)面積和周長離心率橢圓的幾何性質(zhì)一個平面內(nèi)，與兩個定點(diǎn)$F_{1}$、$F_{2}$的距離之和等于常數(shù)，且這個常數(shù)大于$|F_{1}F_{2}|$的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，橢圓被對稱軸所分成的兩個部分叫做橢圓的半焦距。橢圓是一種圓錐曲線，它具有以下幾何性質(zhì)橢圓的離心率定義為焦距與長軸長度的比值，即$e=\frac{c}{a}$，其中$c$為焦距，$a$為長軸長度。橢圓的離心率在$0$和$1$之間變化，離心率越小，橢圓越接近于圓，反之則越扁平。橢圓的焦點(diǎn)位于長軸上，且相對于橢圓中心的位置取決于橢圓的長軸和短軸的長度關(guān)系。如果$a>b$，焦點(diǎn)位于長軸上；如果$a<b$，焦點(diǎn)位于短軸上。橢圓有四個頂點(diǎn)，分別位于長軸和短軸的端點(diǎn)上。橢圓的兩個焦點(diǎn)位于長軸的端點(diǎn)上。橢圓的面積計(jì)算公式為$S=\piab$，其中$a$和$b$分別為橢圓的長半軸和短半軸長度。橢圓的周長沒有精確的公式，但可以通過積分或近似計(jì)算得到近似值。橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的方程通常表示為$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$(其中$a>b>0$)，這個方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。一般方程如果橢圓的長軸和短軸長度不同，則方程可以寫為$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$(其中$a\neqb$且$a>0$，$b>0$)。參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程是用來表示橢圓的一種常用方法。參數(shù)方程為$\left\{\begin{matrix}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{matrix}\right.$(其中$\theta$為參數(shù))。橢圓的方程焦點(diǎn)位置01橢圓的焦點(diǎn)位于長軸上，且相對于橢圓中心的位置取決于橢圓的長軸和短軸的長度關(guān)系。如果$a>b$，焦點(diǎn)位于長軸上；如果$a<b$，焦點(diǎn)位于短軸上。頂點(diǎn)和焦點(diǎn)02橢圓有四個頂點(diǎn)，分別位于長軸和短軸的端點(diǎn)上。橢圓的兩個焦點(diǎn)位于長軸的端點(diǎn)上。面積和周長03橢圓的面積計(jì)算公式為$S=\piab$，其中$a$和$b$分別為橢圓的長半軸和短半軸長度。橢圓的周長沒有精確的公式，但可以通過積分或近似計(jì)算得到近似值。橢圓的性質(zhì)CHAPTER橢圓的焦點(diǎn)和離心率02橢圓的焦點(diǎn)是兩個點(diǎn)，它們分別位于橢圓兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等。定義位置對稱性焦點(diǎn)位于橢圓的長軸上，距離原點(diǎn)的位置與長軸和短軸的比值有關(guān)。橢圓關(guān)于兩焦點(diǎn)對稱，且關(guān)于長軸和短軸的交點(diǎn)對稱。030201橢圓的焦點(diǎn)橢圓的離心率是焦點(diǎn)到橢圓中心的距離與長軸半徑的比值。定義離心率取值范圍為0到1之間，越接近0表示橢圓越扁平，越接近1表示橢圓越接近圓。取值范圍離心率會影響橢圓的形狀，離心率越小，橢圓越扁平；離心率越大，橢圓越接近圓。與形狀的關(guān)系橢圓的離心率橢圓的幾何性質(zhì)是指其形狀、大小和位置關(guān)系等特征。定義橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)，其中a表示長軸半徑，b表示短軸半徑。標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的面積為πab，其中a和b分別為長軸和短軸的半徑。面積橢圓的周長為2π(a+b)，其中a和b分別為長軸和短軸的半徑。周長橢圓的幾何性質(zhì)CHAPTER橢圓的切線方程03設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為$(x_{0},y_{0})$，則橢圓的切線方程為$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$。根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和切線方程可以求得切線的斜率$k=\frac{y_{0}}{x_{0}}$。橢圓的切線方程是過橢圓上某一點(diǎn)的直線與橢圓相切的直線方程。橢圓的切線方程設(shè)切線方程為$y=kx+b$，與橢圓方程聯(lián)立可以求得交點(diǎn)坐標(biāo)。將切線方程和橢圓方程聯(lián)立得$\left{\begin{matrix}y=kx+b\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{matrix}\right.$，消去$y$得$(b^{2}+a^{2}k^{2})x^{2}+2a^{2}kbx+a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}=0$，根據(jù)韋達(dá)定理有$x{1}+x{2}=-\frac{2a^{2}kb}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$，將$x{1}+x{2}$代入直線方程得$y{1}+y{2}=k(x{1}+x{2})+2b=\frac{2b^{2}}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$，則交點(diǎn)坐標(biāo)為$(-\frac{a^{2}kb}{b^{2}+a^{2}k^{2}},\frac{b^{2}}{b^{2}+a^{2}k^{2}})$。切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)切線與直線的斜率關(guān)系切線與直線的斜率關(guān)系取決于切點(diǎn)在橢圓上的位置和直線的斜率。如果切點(diǎn)在橢圓的最長軸上，則切線的斜率最大；如果切點(diǎn)在最短軸上，則切線的斜率最??；如果切點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)之間，則切線的斜率等于零。CHAPTER橢圓的弦長公式及其應(yīng)用04若已知橢圓上兩點(diǎn)$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，則AB的弦長為$\sqrt{(1+\frac{y_{2}^{2}}{k^{2}});{(x_{1}-x_{2})}^{2}}$$-4k^{2}\sqrt{\frac{y_{1}^{2}y_{2}^{2}}{k^{4}}-(\frac{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}}{k^{2}})^{2}}$。兩點(diǎn)式公式若已知橢圓上兩點(diǎn)$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，則AB的弦長為$\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}}|y_{1}-y_{2}|$。端點(diǎn)式公式橢圓的弦長公式判斷直線與橢圓的位置關(guān)系利用弦長公式可以計(jì)算出直線與橢圓相交的弦長，從而判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，如相交、相切、相離等。求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離利用弦長公式可以求出橢圓上任意點(diǎn)到直線的距離。弦長公式的應(yīng)用兩點(diǎn)式公式表示的是已知兩點(diǎn)在橢圓上的弦長，其幾何意義為以兩點(diǎn)為直徑的圓與橢圓相交的弦長。端點(diǎn)式公式表示的是已知兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)在橢圓上的弦長，其幾何意義為以兩點(diǎn)縱坐標(biāo)為直徑的圓與橢圓相交的弦長。弦長公式的幾何意義端點(diǎn)式公式的幾何意義兩點(diǎn)式公式的幾何意義CHAPTER橢圓的交點(diǎn)與方程組解的關(guān)系05當(dāng)直線與橢圓相交時，兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于橢圓的長軸長，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和等于橢圓的短軸長。橢圓與直線的交點(diǎn)當(dāng)橢圓與圓相交時，兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于橢圓的長軸長，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和等于橢圓的短軸長。橢圓與圓的交點(diǎn)橢圓與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可以由方程組$\{\begin{matrix}y=kx+b\x^{2}+4y^{2}=4\end{matrix}$的解得到。方程組的解與交點(diǎn)橢圓的交點(diǎn)與方程組解的關(guān)系利用坐標(biāo)變換求解對于一些復(fù)雜的橢圓方程，可以利用坐標(biāo)變換將其化簡，從而求解。利用定義求解根據(jù)橢圓的定義，可以知道橢圓的長軸長為$2a$，短軸長為$2b$，焦距為$c$，根據(jù)這些信息可以求解橢圓的方程。利用數(shù)值計(jì)算求解對于一些難以