新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題3.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（講）解析版

專題3.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)新課程考試要求1.了解指數(shù)冪的含義，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算。2．理解指數(shù)函數(shù)的概念，掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.3.了解指數(shù)函數(shù)的變化特征.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象（例5）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（多例）、邏輯推理（例8）、直觀想象（例6.7.9）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測1.指數(shù)冪的運(yùn)算；2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用；3．與指數(shù)函數(shù)相關(guān)，考查視圖用圖能力、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、運(yùn)算能力等，常與的對數(shù)函數(shù)等結(jié)合考查，如比較函數(shù)值的大?。弧局R清單】1．根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1．n次方根定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*個數(shù)n是奇數(shù)a＞0x＞0x僅有一個值，記為eq\r(n,a)a＜0x＜0n是偶數(shù)a＞0x有兩個值，且互為相反數(shù)，記為±eq\r(n,a)a＜0x不存在2.根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：①(eq\r(n,a))n＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|，n為偶數(shù).))3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x<0時，y>1；當(dāng)x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)【考點分類剖析】考點一根式、指數(shù)冪的化簡與求值【典例1】（2021·湖南長沙市·高三其他模擬）鏡片的厚度是由鏡片的折射率決定，鏡片的折射率越高，鏡片越薄，同時鏡片越輕，也就會帶來更為舒適的佩戴體驗．某次社會實踐活動中，甲、乙、丙三位同學(xué)分別制作了三種不同的樹脂鏡片，折射率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則這三種鏡片中，制作出最薄鏡片和最厚鏡片的同學(xué)分別為（）A．甲同學(xué)和乙同學(xué) B．丙同學(xué)和乙同學(xué)C．乙同學(xué)和甲同學(xué) D．丙同學(xué)和甲同學(xué)【答案】C【解析】判斷出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系即可得出答案.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴有SKIPIF1<0．又因為鏡片折射率越高，鏡片越薄，故甲同學(xué)創(chuàng)作的鏡片最厚，乙同學(xué)創(chuàng)作的鏡片最薄．故選：C.【典例2】計算：21【答案】QUOTE=12.【解析】分析：直接利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可,求解過程注意避免計算錯誤.詳解：2===1【規(guī)律方法】化簡原則：①化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；②化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪；③化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；④注意運(yùn)算的先后順序．【變式探究】1.計算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－【答案】【解析】原式＝.2.計算：×0＋×－＝________.【答案】【解析】原式＝×1＋×－.【易錯提醒】1.根式：（1）任何實數(shù)均有奇次方根，僅有非負(fù)數(shù)才有偶次方根，負(fù)數(shù)沒有偶次方根．（2）eq\r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．（3）有限制條件的根式化簡的步驟2.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中，其底數(shù)都大于零，否則不能用性質(zhì)來運(yùn)算．3.把根式eq\r(n,am)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式時，不要輕易對eq\f(m,n)進(jìn)行約分，否則，有時會改變a的取值范圍而導(dǎo)致出錯，如eq\r(8,a2)，a∈R，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪應(yīng)為aeq\s\up4(\f(2,8))，a∈R，而aeq\s\up4(\f(1,4))＝eq\r(4,a)，則有a≥0，所以化簡時，必須先確定a的取值范圍．4.結(jié)果要求：①若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；②若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示；③結(jié)果不能同時含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．考點二：根式、指數(shù)冪的條件求值【典例3】已知x+x?1=3?【答案】2【解析】題意(x12∴x3故答案為25【典例4】設(shè)，求的值．【答案】7【解析】,.【總結(jié)提升】根式、指數(shù)冪的條件求值，是代數(shù)式求值問題的常見題型，一般步驟是：(1)審題：從整體上把握已知條件和所求代數(shù)式的形式和特點；(2)化簡：①化簡已知條件；②化簡所求代數(shù)式；（3）求值：往往通過整體代入，簡化解題過程.如本題求值問題實質(zhì)上考查整體思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的應(yīng)用，如(x12+x【變式探究】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）【答案】【解析】（1）將兩邊平方得，所以.（2）將兩邊平方得，所以.（3）由（1）（2）可得考點三：指數(shù)函數(shù)的概念【典例5】（2021·四川涼山彝族自治州·高三三模（文））函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B【規(guī)律方法】判斷一個函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)，關(guān)鍵是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)這一結(jié)構(gòu)形式．【變式探究】若y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有()A．a(chǎn)＝1或2 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)>0且a≠1【答案】C【解析】由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1,a>0,a≠1))，解得a＝2，故選C.考點四：指數(shù)函數(shù)的圖象

【典例6】（2021·吉林長春市·高三其他模擬（文））如圖，①②③④中不屬于函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一個是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對稱，可知①④正確，函數(shù)SKIPIF1<0為單調(diào)遞增函數(shù)，故③正確.所以②不是已知函數(shù)圖象.故選：B【典例7】（2020·浙江紹興市陽明中學(xué)高三期中）函數(shù)y＝ax－SKIPIF1<0(a>0，且a≠1)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】就SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分類討論可得正確的選項.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為增函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故A,B不符合.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為減函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故C不符合，D符合.故選：D.【總結(jié)提升】1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較．3.識圖的三種常用方法（1）抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：=1\*GB3①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；=2\*GB3②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；=3\*GB3③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；=4\*GB3④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．=5\*GB3⑤從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.(2)抓住函數(shù)的特征，定量計算：從函數(shù)的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題．（3）根據(jù)實際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的方法：=1\*GB3①根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象(定量分析)；=2\*GB3②根據(jù)自變量取不同值時函數(shù)值的變化、增減速度等判斷函數(shù)圖象(定性分析)．4.過定點的圖象(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(0,1)，(1，a)，.特別注意，指數(shù)函數(shù)的圖象過定點（0，1）；(2)與的圖象關(guān)于y軸對稱；(3)當(dāng)a＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢，當(dāng)0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢；簡記：撇增捺減．【變式探究】1.（2020·上海高一課時練習(xí)）函數(shù)和（其中且）的大致圖象只可能是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由于過點，故D選項錯誤.當(dāng)時，過且單調(diào)遞增；過點且單調(diào)遞增，過且.所以A選項錯誤.當(dāng)時，過且單調(diào)遞減，過點且單調(diào)遞增，過且.所以B選項錯誤.綜上所述，正確的選項為C.故選：C2.如圖所示是下列指數(shù)函數(shù)的圖象：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a(chǎn)<b<1<d<c【答案】B【解析】可先分為兩類，(3)(4)的底數(shù)一定大于1，(1)(2)的底數(shù)一定小于1，然后再由(3)(4)比較，c，d的大小，由(1)(2)比較a，b的大小．當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時，圖象上升，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖象向上越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時，圖象下降，且當(dāng)?shù)讛?shù)越小，圖象向下越靠近x軸，故選B.【特別提醒】指數(shù)函數(shù)的圖象隨底數(shù)變化的規(guī)律可歸納為：在第一象限內(nèi)，圖象自下而上對應(yīng)的底數(shù)依次增大．高頻考點五：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【典例8】（2020·浙江高三月考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】作差，對SKIPIF1<0分類討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.綜上所述：SKIPIF1<0故選：A【典例9】（2021·北京高三其他模擬）已知函數(shù)SKIPIF1<0則不等式SKIPIF1<0的解集是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】作出函數(shù)SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0的大致圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0的大致圖象，觀察SKIPIF1<0的區(qū)域，由圖象可知，在區(qū)間SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，由此SKIPIF1<0的解集SKIPIF1<0.故選：A【典例10】（2020·上海高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_________.【答案】【解析】設(shè)

當(dāng)時，有最大值是9；當(dāng)時，有最小值是-9，，由函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，

∴原函數(shù)的值域是故答案為【典例11】（2019·黑龍江省大慶四中高一月考（文））已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點，（1）求值；（2）求函數(shù)的值域；【答案】（1）（2）【解析】（1）函數(shù)的圖像經(jīng)過點（2）由（1）可知在上單調(diào)遞減，則在時有最大值又函數(shù)的值域為【規(guī)律方法】1.比較冪值大小時，要注意區(qū)分底數(shù)相同還是指數(shù)相同．是用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，還是用冪函數(shù)的單調(diào)性或指數(shù)函數(shù)的圖象解決．要注意圖象的應(yīng)用，還應(yīng)注意中間量0、1等的運(yùn)用．2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)．當(dāng)冪的底數(shù)不確定時，要注意討論底數(shù)的不同取值情況.3.根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進(jìn)行判斷．如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c＞d＞1＞a＞b.規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．4.簡單的指數(shù)不等式的求解問題．解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進(jìn)行分類討論．5.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及單調(diào)性問題時，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．6.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合求解．【變式探究】1.（2018年新課標(biāo)I卷文）設(shè)函數(shù)fx=2?x?，A.?∞?，???1B.0【答案】D【解析】將函數(shù)f(x)的圖象畫出來，觀察圖象可知會有2x<02x<x+1，解得x<0，所以滿足fx+1<f2x的x的取值范圍是2.