新高考數(shù)學一輪復習講練測專題3.8函數(shù)與方程（講）解析版

專題3.8函數(shù)與方程新課程考試要求理解函數(shù)零點的概念.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學生數(shù)學抽象（例1）、數(shù)學運算（例3.4.5等）、邏輯推理（例5.6）、數(shù)據(jù)分析（例3.4）、直觀想象（例2.7--11）等核心數(shù)學素養(yǎng).考向預測1．分段函數(shù)與函數(shù)方程結合；2.二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與方程結合.3.常常以基本初等函數(shù)為載體，結合函數(shù)的圖象，判斷方程根的存在性及根的個數(shù)，或利用函數(shù)零點確定參數(shù)的取值范圍等．也可與導數(shù)結合考查.題目的難度起伏較大.【知識清單】1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的概念對于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.(2)函數(shù)零點與方程根的關系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點.2．零點存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)滿足：①在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0；則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上存在零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根.特別提醒兩個易錯點：(1)函數(shù)的零點不是點,是方程f(x)=0的實根.(2)函數(shù)零點的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點,而不能判斷函數(shù)的不變號零點,而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.【考點分類剖析】考點一：求函數(shù)的零點【典例1】（2021·全國高三其他模擬）設SKIPIF1<0，定義符號函數(shù)SKIPIF1<0，則方程SKIPIF1<0的解是（）A．1 B．SKIPIF1<0C．1或SKIPIF1<0 D．1或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據(jù)符號函數(shù)的定義，分三種情況討論化簡方程，然后解方程即可.【詳解】解：當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，無解；當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0；綜上，方程SKIPIF1<0的解是1或SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2020·上海高三三模）函數(shù)，如果方程有四個不同的實數(shù)解、、、，則．【答案】4【解析】作出函數(shù)的圖象，方程有四個不同的實數(shù)解，等價為和的圖象有4個交點，不妨設它們交點的橫坐標為、、、，且，由、關于原點對稱，、關于對稱，可得，，則．故答案為：4．【總結提升】1.正確理解函數(shù)的零點：(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當自變量取該值時，其函數(shù)值等于零．(2)根據(jù)函數(shù)零點定義可知，函數(shù)f(x)的零點就是f(x)＝0的根，因此判斷一個函數(shù)是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)＝0是否有實根，有幾個實根．即函數(shù)y＝f(x)的零點?方程f(x)＝0的實根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．2．函數(shù)零點的求法：(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點．,【變式探究】1.（2019·四川高考模擬（理））已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，fx=xA．4+3【答案】C【解析】∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x（x?4）∴當x＜0時，?x＞0則f（?x）=?x（?x?4）=?f（x）即f（x）=?x（x+4），x＜0則f(x)=x(x?4),作出f（x）的圖象如圖：∵y=f（2?x）的圖象與y=f（x）的圖象關于x=1對稱∴作出y=f（2?x）的圖象，由圖象知y=f（2?x）與y=f（x）的圖象有三個交點即f（x）=f（2?x）有三個根，其中一個根為1，另外兩個根a，b關于x=1對稱即a+b=2則所有解的和為a+b+1=2+1=3故選：C．【思路點撥】根據(jù)函數(shù)奇偶性，求出函數(shù)f（x）的解析式，結合y=f（2?x）的圖象與y=f（x）的圖象關于x=1對稱，畫出函數(shù)圖象，結合函數(shù)的對稱性，求得方程fx2.（2021·福建高三二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0則函數(shù)SKIPIF1<0的所有零點之和為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】利用分段函數(shù)，分類討論，即可求出函數(shù)SKIPIF1<0的所有零點，從而得解．【詳解】解：SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的所有零點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以所有零點的和為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0．考點二：判斷函數(shù)零點所在區(qū)間【典例3】（2021·北京清華附中高三其他模擬）函數(shù)SKIPIF1<0的零點一定位于區(qū)間（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據(jù)零點存在性定理，若在區(qū)間SKIPIF1<0有零點，則SKIPIF1<0，逐一檢驗選項，即可得答案.【詳解】由題意得SKIPIF1<0為連續(xù)函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)零點存在性定理，SKIPIF1<0，所以零點一定位于區(qū)間SKIPIF1<0.故選：C【典例4】（2020·海豐縣彭湃中學高一期末）函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)在R上單調遞減,,,所以零點所在的大致區(qū)間為故選:D【規(guī)律方法】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間有三種方法：①解方程，直接求出零點；②利用零點存在定理，判斷零點所在區(qū)間；③圖象法，觀察交點所在區(qū)間.特別提醒：在判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上不存在零點時，不能完全依賴函數(shù)的零點存在性定理，要綜合函數(shù)性質進行分析判斷．【特別提醒】二分法只能求出連續(xù)函數(shù)變號零點，另外應注意初始區(qū)間的選擇，依據(jù)給出的精確度，計算時及時檢驗．【變式探究】1．（2021·寧夏高三其他模擬（文））函數(shù)SKIPIF1<0的零點所在的區(qū)間為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據(jù)零點存在性定理，由SKIPIF1<0為增函數(shù)，帶入相關數(shù)值判斷即可得解.【詳解】由SKIPIF1<0為增函數(shù)，SKIPIF1<0為增函數(shù)，故SKIPIF1<0為增函數(shù)，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)零點存在性定理可得SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，故選：B.2.（2020·鄲城縣實驗高中高一月考）如圖是函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸有4個不同的公共點.給出的下列四個區(qū)間之中，存在不能用二分法求出的零點，該零點所在的區(qū)間是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]【答案】C【解析】結合圖象可得：ABD選項每個區(qū)間的兩個端點函數(shù)值異號，可以用二分法求出零點，C選項區(qū)間兩個端點函數(shù)值同號，不能用二分法求零點.故選：C考點三：判斷函數(shù)零點的個數(shù)【典例5】（天津高考真題）已知函數(shù),函數(shù),則函數(shù)的零點的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】當x<0時2?x>2,所以f(x)=2?|x|=2+x,f(2?x)=x2,此時函數(shù)f(x)?g(x)=f(x)+f(2?x)?3=x2+x?1的小于零的零點為x=?1+52;當0≤x≤2時f(x)=2?|x|=2?x,f(2?x)=2?|2?x|=x,函數(shù)f(x)?g(x)=2?x+x?3=?1無零點;當x>2時,f(x)=(x?2)【典例6】（2020·山東省高三二模）已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)的定義域為R，是周期為2的奇函數(shù)，在區(qū)間上恰有5個零點，則在區(qū)間上的零點個數(shù)為（）A．5050 B．4041 C．4040 D．2020【答案】B【解析】由函數(shù)的定義域為R上的奇函數(shù)，可得，又由在區(qū)間上恰有5個零點，可得函數(shù)在區(qū)間和內各有2個零點，因為是周期為2，所以區(qū)間內有兩個零點，且，即函數(shù)在區(qū)間內有4個零點，所以在區(qū)間上的零點個數(shù)為個零點.故選：B.【規(guī)律方法】判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：1.直接法：即直接求零點，令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點；2.定理法：利用零點存在性定理，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點3.圖象法：即利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；將函數(shù)f(x)拆成兩個函數(shù)h(x)和g(x)的差，根據(jù)f(x)＝0?h(x)＝g(x)，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)就是函數(shù)y＝h(x)和y＝g(x)的圖象的交點個數(shù).4.性質法：即利用函數(shù)性質，若能確定函數(shù)的單調性，則其零點個數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內的零點的個數(shù).【變式探究】1.（2020·開原市第二高級中學高三月考）函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的零點個數(shù)是（）.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)定義域，結合零點定義，即可容易判斷和求解.【詳解】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，因此函數(shù)沒有零點.故選：SKIPIF1<0.2.（2020·江蘇省高三其他）設表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)(如，)，則函數(shù)的零點個數(shù)為_______.【答案】2【解析】函數(shù)的零點即方程的根，函數(shù)的零點個數(shù)，即方程的根的個數(shù)..當時，.當時，或或（舍）.當時，，方程無解.綜上，方程的根為，1.所以方程有2個根，即函數(shù)有2個零點.故答案為：2.考點四：函數(shù)零點的應用【典例7】（2020·雞澤縣第一中學高二開學考試）已知函數(shù)，若恰好有2個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，因為方程的兩根為，所以在同一直角坐標系下作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖可知，當時，函數(shù)恰有兩個零點，圖象如圖所示：當時，函數(shù)恰有兩個零點，圖象如圖所示：綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍為.故選：C【典例8】（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三三模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0.若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有兩個不同的實根，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】首先討論SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0時，利用分離參數(shù)的思想，畫出SKIPIF1<0的圖像，利用數(shù)形結合判斷出答案.【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是方程SKIPIF1<0的根，當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0恰有兩個不同的實根等價于直線y=a與函數(shù)SKIPIF1<0的圖像有兩個不同的交點，作出函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖像如圖所示，由圖可知，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：C.【典例9】（2021·全國高三其他模擬）若函數(shù)SKIPIF1<0存在2個零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】分段函數(shù)f(x)在(1，+∞)上單調遞增，且有一個零點，在(-∞，1]上用數(shù)形結合法探討有一個零點即可得解.【詳解】因函數(shù)f(x)在(1，+∞)上單調遞增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一個零點，函數(shù)SKIPIF1<0存在2個零點，當且僅當f(x)在(-∞，1]有一個零點，x≤1時，SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0在(-∞，1]上的圖象與直線y=m有一個公共點，在同一坐標系內作出直線y=m和函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，如圖：而SKIPIF1<0在(-∞，1]上單調遞減，且有SKIPIF1<0，則直線y=m和函數(shù)SKIPIF1<0的圖象有一個公共點，SKIPIF1<0.故選：A【典例10】（2021·奉新縣第一中學高三三模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0若方程SKIPIF1<0的實根之和為6，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】作出SKIPIF1<0圖象，求方程SKIPIF1<0的實根之和為6，即求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象交點橫坐標之和為6，分別討論a=1、SKIPIF1<0、a=2、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和a=4時SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象交點個數(shù)及性質，數(shù)形結合，即可得答案.【詳解】作出SKIPIF1<0圖象，如圖所示求方程SKIPIF1<0的實根之和為6，即求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象交點橫坐標之和為6，當a=1時，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象只有一個交點（3,1），不滿足題意；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象有2個交點，且從左至右設為SKIPIF1<0，由圖象可得SKIPIF1<0關于x=3對稱，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，滿足題意；當a=2時，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象有3個交點，且（0,2）為最左側交點，設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象另外兩個交點為SKIPIF1<0，由圖象可得SKIPIF1<0關于x=3對稱，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，滿足題意；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象有4個交點，從左至右設為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圖象可得SKIPIF1<0關于x=0對稱，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關于x=3對稱，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，滿足題意；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象有3個交點，由圖象可得不滿足題意；當a=4時，SKIPIF1<0圖象與SKIPIF1<0圖象有2個交點，由圖象可得不滿足題意；綜上：SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：A【典例11】【多選題】（2021·江蘇泰州市·高三其他模擬）已知SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，則下列選項正確的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【解析】由已知分析得選項A正確，利用基本不等式證明選項B正確；利用不等式性質得到選項C錯誤，利用作差法得到選出D錯誤.【詳解】因為函數(shù)SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0=0，所SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以選項A正確；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以選項B正確；因為SKIPIF1<0，所以選項C錯誤；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以選項D錯誤.故選：AB【規(guī)律方法】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．【變式探究】1.（2021·廣東茂名市·高三二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0若函數(shù)SKIPIF1<0有且只有兩個不同的零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如下圖所示，將原問題轉化為函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0有兩個不同的交點，根據(jù)圖示可得實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如下圖所示，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以要使函數(shù)SKIPIF1<0有且只有兩個不同的零點，則需函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0有兩個不同的交點，根據(jù)圖示可得實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，故選：B.2.（2021·黑龍江大慶市·鐵人中學高三其他模擬（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，給出下列命題：①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；②函數(shù)SKIPIF1<0有2個零點；③SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.其中正確的命題是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】A【解析】對于①，利用奇偶性求SKIPIF1<0時的解析式即可判斷；對于②，直接求出零點即可判斷；對于③，直接解不等式，得到解集即可判斷；對于④，用導數(shù)判斷單調性，結合圖象求出SKIPIF1<0的值域即可判斷.【詳解】解：函數(shù)SKIPIF1<0定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，下面逐一判斷：對于①，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故①正確；對于②，當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處有定義，故SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0有3個零點，故②錯誤；對于③，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立.故SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，故③錯誤；對于④，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0時SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可作大致圖象如下，再根據(jù)對稱性作SKIPIF1<0時的大致圖象，綜上SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0值域為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0值域為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即④正確.故選：A.3.【多選題】（2021·湖南雅禮中學高三二模）關于函數(shù)SKIPIF1<0，下列描述正確的有（）A．函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞增B．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱C．若SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．函數(shù)SKIPIF1<0有且僅有兩個零點【答案】ABD【解析】畫出函