頻率的穩(wěn)定性高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

10.3.1頻率的穩(wěn)定性

第十章概率一、提出問題，尋找方法拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面朝上”的概率為多少？

（試驗(yàn)樣本點(diǎn)是等可能的，可用古典概型公式計(jì)算有關(guān)事件的概率）問題1：（試驗(yàn)樣本點(diǎn)不是等可能的，此時(shí)無法通過古典概型公式計(jì)算有關(guān)事件的概率。）拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率為多少？問題2：0.5我們需要尋求新的求概率的方法.一、提出問題，尋找方法問題3：同學(xué)們對頻率和概率有怎樣的認(rèn)識？

事件的概率越大，意味著事件發(fā)生的可能性越大，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越大;

事件的概率越小，則事件發(fā)生的可能性越小，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越小.

頻率描述事件發(fā)生的頻繁程度，而概率是事件發(fā)生的可能性大小的度量。一、提出問題，尋找方法問題4：在重復(fù)試驗(yàn)中，頻率的大小是否就決定了概率的大小？頻率和概率到底是怎樣的一種關(guān)系？既然我們存在諸多的疑惑，不妨用試驗(yàn)來探究和驗(yàn)證。

在初中，我們利用頻率與概率的這種關(guān)系，通過大量重復(fù)試驗(yàn)，用頻率去估計(jì)概率.二、設(shè)計(jì)試驗(yàn)，探索規(guī)律問題5：事件A的概率是多少？把硬幣正面朝上記為1，反面朝上記為0,則這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω={(1,1)，(1,0)，(O,1)，(0,0)}，所以P(A)=A={(1,0)，(O,1)}，0.5對確定的隨機(jī)事件A，其發(fā)生的可能大小是客觀存在的，即事件的概率是唯一確定的一個(gè)數(shù)值.試驗(yàn)方案：重復(fù)做同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗(yàn),設(shè)事件A=“一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上”。統(tǒng)計(jì)事件A出現(xiàn)的次數(shù)并計(jì)算頻率，再與其概率進(jìn)行比較.你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

下面我們分步實(shí)施試驗(yàn)，考察隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A的頻率的變化情況，以及頻率與概率的關(guān)系.第1步：每6名同學(xué)為一組，每位同學(xué)都在相同的條件下同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，重復(fù)做10次試驗(yàn)，小組長負(fù)責(zé)在表1中記錄每位組員試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，計(jì)算頻率；二、設(shè)計(jì)試驗(yàn)，探索規(guī)律姓名試驗(yàn)總次數(shù)事件A發(fā)生的次數(shù)事件A發(fā)生的頻率101010101010

組小組名試驗(yàn)總次數(shù)事件A發(fā)生的次數(shù)事件A發(fā)生的頻率606060…合計(jì)二、設(shè)計(jì)試驗(yàn)，探索規(guī)律第3步：數(shù)學(xué)科代表負(fù)責(zé)匯總各組試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，計(jì)算事件A發(fā)生的頻率，將結(jié)果填入表2中.第2步：每小組的6名同學(xué)，相互比較試驗(yàn)結(jié)果，同時(shí)思考：每組中6名同學(xué)的結(jié)果一樣嗎？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況？二、設(shè)計(jì)試驗(yàn)，探索規(guī)律問題6：每組中6名同學(xué)的結(jié)果一樣嗎？各小組的試驗(yàn)結(jié)果一樣嗎？為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？問題7：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率有什么變化規(guī)律？從整體上看，頻率在0.5附近波動(dòng)。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，波動(dòng)幅度較大；當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)，波動(dòng)幅度較小。試驗(yàn)次數(shù)相同時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能不同。說明隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性。二、設(shè)計(jì)試驗(yàn)，探索規(guī)律

利用GeoGebra軟件模擬同時(shí)拋擲兩枚硬幣試驗(yàn)，在重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)20,100,500時(shí)各做5組試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)事件A=“一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)并計(jì)算頻率，然后用折線圖表示頻率的波動(dòng)，并對上面的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。二、設(shè)計(jì)試驗(yàn)，探索規(guī)律

大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.

一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).二、設(shè)計(jì)試驗(yàn)，探索規(guī)律頻率概率區(qū)別

聯(lián)系頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系1.理論值2.公式3.隨機(jī)性3.確定性1.試驗(yàn)值2.一個(gè)確定值（1）頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率（2）在實(shí)際問題中，事件的概率通常情況下是未知的，常用頻率估計(jì)概率三、學(xué)以致用，解決問題頻率性別比概率（出生率）若2014年女嬰數(shù)為100m（m為某個(gè)正實(shí)數(shù)），那么男嬰數(shù)就應(yīng)該是115.88m.估計(jì)2014年男嬰的出生率約為0.537.2014年，女嬰數(shù)：男嬰數(shù)=100:115.88；

例1新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應(yīng)的男嬰數(shù).通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.

(1)分別估計(jì)我國2014年和2015年男嬰的出生率(新生兒中男嬰的比率，精確到0.001)；

解：（1）2014年男嬰出生的頻率為2015年男嬰出生的頻率為由此估計(jì)，我國2014年男嬰出生率約為0.537，2015年男嬰的出生率約為0.532.2015年，女嬰數(shù)：男嬰數(shù)=100:113.51.若2015年女嬰數(shù)為100t（t為某個(gè)正實(shí)數(shù)），那么男嬰數(shù)就應(yīng)該是113.51t.估計(jì)2015年男嬰的出生率約為0.532.分析：三、學(xué)以致用，解決問題

例1新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應(yīng)的男嬰數(shù).通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.

(1)分別估計(jì)我國2014年和2015年男嬰的出生率(新生兒中男嬰的比率，精確到0.001)；(2)根據(jù)估計(jì)結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷可靠嗎?(2)

由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大,根據(jù)頻率的穩(wěn)定性,上述對男嬰出生率的估計(jì)具有較高的可信度.

因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結(jié)論.解：

要得到生男孩和生女孩是否等可能的科學(xué)判斷，還需要用統(tǒng)計(jì)學(xué)中假設(shè)檢驗(yàn)的方法進(jìn)行檢驗(yàn).三、學(xué)以致用，解決問題男嬰出生率理論概率模型（認(rèn)為男嬰出生率為0.5）重復(fù)試驗(yàn)，頻率驗(yàn)證？孟德爾遺傳規(guī)律

閱讀與思考（

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孟德爾進(jìn)行了長達(dá)8年的豌豆實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過長期的、堅(jiān)持不懈地研究，孟德爾從豌豆實(shí)驗(yàn)中洞察到遺傳規(guī)律是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，并提出了一種遺傳機(jī)理的概率模型。生活中的概率草船借箭

諸葛亮被尊為智慧的象征。他憑借深厚的氣象學(xué)知識成功預(yù)測準(zhǔn)了天氣情況，比如在草船借箭的時(shí)候他就是精準(zhǔn)的預(yù)測了未來三天之內(nèi)會(huì)有大霧。

諸葛亮這么做其實(shí)是冒著極大風(fēng)險(xiǎn)的，因?yàn)樘鞖庾兓療o常，諸葛亮也是在做概率題，預(yù)測準(zhǔn)了什么都好辦，一旦預(yù)測不準(zhǔn)是容易誤大事的。三、學(xué)以致用，解決問題諸葛亮草船借箭時(shí)，能預(yù)測出有霧，為何火燒司馬懿時(shí)沒能算出有雨？三、學(xué)以致用，解決問題

氣象工作者有時(shí)用概率預(yù)報(bào)天氣,如某氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天的降水概率是90%.如果您明天要出門，最好攜帶雨具”.如果第二天沒有下雨，我們或許會(huì)抱怨氣象臺(tái)預(yù)報(bào)得不準(zhǔn)確.那么如何理解“降水概率是90%"?又該如何評價(jià)預(yù)報(bào)的結(jié)果是否準(zhǔn)確呢?

降水的概率是氣象專家根據(jù)氣象條件和經(jīng)驗(yàn),經(jīng)分析推斷得到的.對“降水的概率為90%”比較合理的解釋是:大量觀察發(fā)現(xiàn)，在類似的氣象條件下，大約有90%的天數(shù)要下雨.只有根據(jù)氣象預(yù)報(bào)的長期記錄，才能評價(jià)預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性.

如果在類似氣象條件下預(yù)報(bào)要下雨的那些天(天數(shù)較多)里，大約有90%確實(shí)下雨了,那么應(yīng)該認(rèn)為預(yù)報(bào)是準(zhǔn)確的；如果真實(shí)下雨的天數(shù)所占的比例與90%差別較大，那么就可以認(rèn)為預(yù)報(bào)不太準(zhǔn)確.

2.一個(gè)游戲包含兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝，事件B發(fā)生則乙獲勝.判斷游戲是否公平的標(biāo)準(zhǔn)是事件A和B發(fā)生的概率是否相等.在游戲過程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時(shí)，雙方各勝5次；但玩到1000次時(shí)，自己才勝300次，而乙卻勝了700次.據(jù)此，甲認(rèn)為游戲不公平，但乙認(rèn)為游戲是公平的.你更支持誰的結(jié)論?為什么?解:當(dāng)游戲玩了10次時(shí)，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；當(dāng)游戲玩了1000次時(shí)，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7.

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率偏離概率很大的可能性會(huì)越來越小，相對10次游戲,1000次游戲時(shí)的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時(shí)的頻率離概率更近.而游戲玩到1000