子集、全集、補(bǔ)集+高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第一冊

第1章集合1.2子集、全集、補(bǔ)集觀察下列各組集合：(1)A＝{－1，1}，B＝{－1，0，1，2}；(2)A＝N，B＝R；(3)A＝{x∣x

為正方形}，B＝{x∣x為四邊形}.●集合A與B之間具有怎樣的關(guān)系?●如何用數(shù)學(xué)語言來表述這種關(guān)系?觀察(1)，可以發(fā)現(xiàn)，集合A中的每個元素都是集合B的元素觀察(2)(3)，它們也有同樣的特征.(1)A＝{－1，1}，B＝{－1，0，1，2}；(2)A＝N，B＝R；(3)A＝{x∣x

為正方形}，B＝{x∣x為四邊形}.這時稱A是B的子集.一、子集定義如果集合A的_______一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集.任意A是B的子集Venn圖：

或符號表示：_________或_________讀法：集合A_______集合B或集合B________集ABAA(B)包含于包含A

?BB

?A例如，{1，2，3}

?

N，N

?

R，{x∣x

為正方形}?{x∣x為四邊形}等.A?B可以用Venn圖來表示.BA根據(jù)子集的定義，我們知道A?A也就是說，任何一個集合是它本身的子集.對于空集?，我們規(guī)定??A，即空集是任何集合的子集.【思考】符號“∈”與“?”有什么區(qū)別?提示：①“∈”是表示元素與集合之間的關(guān)系，

比如1∈N，－1?N.②“?”是表示集合與集合之間的關(guān)系，

比如N?R，{1，2，3}?{3，2，1}.③“∈”的左邊是元素，右邊是集合，

而“?”的兩邊均為集合.例1判斷下列各組集合中，A是否為B的子集.(1)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，－2}；解：因為0∈B，1∈B，即A中的每一個元素都是B的元素，所以A是B的子集.解：因為1∈A，但1?B，

所以A不是B的子集.(2)A＝{0，1}，B＝{x∣x＝2k，k∈N}恩考A?B與B?A能否同時成立?能；A是B的子集；同時B也是A的子集；

此時A＝B；就是兩集合相等的定義.例2寫出集合{a，b}的所有子集.解：集合{a，b}的所有子集是?，{a}，，{a，b}.集合{al，a2，a3，a4}有多少個子集?二、真子集定義如果集合A?B，并且A≠B，那么集合A稱為集合B的真子集.A是B的真子集Venn圖：符號表示：_________或_________讀法：集合A________集合B或集合B________集ABAA?BB?A真包含于真包含【思考】集合M，N是兩個至少含有一個元素的集合，試畫圖說明這兩個集合關(guān)系有哪幾種?提示：有以下五種關(guān)系12345

例3下列各組的3個集合中

，哪2個集合之間具有包含關(guān)系?(1)S＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{－2，2}；(2)S＝R，A＝{x∣x≤0，B＝{x∣x＞0)；(3)S＝{x∣x為整數(shù)}，A＝{x∣x

為奇數(shù)}，B＝{x∣x

為偶數(shù)}.解：在(1)(2)(3)中都有A?S，B?S可以用圖1-2-2來表示.三、集合間關(guān)系的性質(zhì)(1)任何一個集合是它本身的子集，即_______.(2)對于空集，我們規(guī)定??A，即空集是任何集合的子集.A?A【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)任何一個集合都有子集. (

)(2)空集是任何集合的真子集. (

)(3)A?B的含義是A?B或A＝B. (

)???解析提示：(1)?.任何一個集合都是其本身的子集.

(2)?.空集是任何非空集合的真子集.(3)

?.若A是B的子集，則說明這兩個集合的關(guān)系

有以下兩種可能：A是B的真子集或A與B相等.2.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?1)2________{x∣x2＝2x}.

(2){3，4，8}________Z.

(3){x∣x是平行四邊形}______{x∣x

是中心對稱圖形}.

(4){x∣x＜1}__________{x∣x＜2}.

∈???3.已知集合A＝{－1，0，1}，則含有元素0的A的真子

集為________________________________.

{0}，{0，1}，{0，

－1}解析：根據(jù)題意，含有元素0的A的真子集為{0}，{0，1}，{0，－1}.解析【跟蹤訓(xùn)練】1.下列集合中與{1，9}是同一集合的是(

).

A.{{1}，{9}} B.{(1，9)}C.{(9，1)} D.{9，1}D解析：與{1，9}是同一集合的是{9，1}.故選D解析2.設(shè)A，B是集合I＝{1，2，3，4}的子集，A＝{1，2}，

則滿足A?B的B的個數(shù)是(

)A.5 B.4 C.3 D.2B解析：滿足條件的集合B可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，所以滿足A?B的B的個數(shù)是4.解析

A

解析4.設(shè)集合A＝{x∣x2＋x－1＝0}，B＝{x∣x2－x＋1＝0}，

則集合A，B之間的關(guān)系是____________.A?B

解析5.已知集合A＝{x∣1≤x≤2}，B＝{x∣1≤x≤a，a≥1}.(1)若A?B，求a的取值范圍.解：若A?B，由圖可知，a

＞2.(2)若B?A，求a的取值范圍.解：若B?A，由圖可知，1≤a≤2.恩考觀察例3中每一組的3個集合，它們之間還有什么關(guān)系?在例3中，觀察(1)，可以發(fā)現(xiàn)，A?S，S中的元素－2，－1，1，2去掉A中的元素－1，1后，剩下的元素為－2，2，這兩個元素組成的集合就是B.觀察(2)(3)，它們也有同樣的特征這時稱B是A在S中的補(bǔ)集.四、補(bǔ)集1.定義文字語言設(shè)A?S，由_____________的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集，記作CsA，讀作“_________________”.S中不屬于AA在S中的補(bǔ)集符號語言CsA＝______________________{x∣x∈S，且x?A}圖形語言2.本質(zhì)補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系，也是集合的基本運算之一.3.作用①依據(jù)定義求集合的補(bǔ)集；②求參數(shù)的值或范圍；③補(bǔ)集思想的應(yīng)用.五、全集如果一個集合包含我們所研究問題中涉及的_____元素，那么就稱這個集合為全集，全集通常記作U.所有例4設(shè)全集U＝R，不等式組的解集為A，試求A及?UA，并把它們分別表示在數(shù)軸上.2x－1＞03x－6≤0

注意實心點與空心點的區(qū)別.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)同一個集合在不同的全集中補(bǔ)集不同. (

)(2)不同集合在同一個全集中的補(bǔ)集也不同. (

)(3)若x∈U，則x∈A或x∈?UA，二者必居其一. (

)???2.設(shè)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5}，

則?UB＝________________.

{1，2，6}解析：根據(jù)補(bǔ)集的定義?UB＝{x∣x∈U且?B}＝{1，2，6}.解析3.已知U＝R，A＝{x∣x＞2}，則?UA＝___________.

{x∣x

≤2}解析：因為A＝{x∣x＞2}，所有?UA＝{x∣x

≤2}.解析【跟蹤訓(xùn)練】1.已知集合A＝{x∣3≤x≤7，x∈N}，B＝{x∣4＜x≤7，x∈N}，則?AB＝

(

)A.{3} B.{3，4} C.{3，7} D.{3，4，7}B解析：A＝{3，4，5，6，7}，B＝{5，6，7}，所以?AB＝{3，4}.解析2.已知全集U＝R，集合A＝{x∣－1≤x＜0}的補(bǔ)集

?UA＝(

)A.{x∣x＜－1或x≥0}B.{x∣x

≤－1或x＞0}C.{x∣－1＜x≤0}D.{x∣0＜x≤1}A3.已知全集U＝R，A＝{x∣1≤x＜b}，?UA＝{x∣x＜1

或x≥2}，則實數(shù)b＝___________.

2解析：因為?UA＝{x∣x＜1或x≥2}，

所以A＝{x∣1≤x＜2}，所以b＝2.解析4.設(shè)全集U＝R，不等式組的解集為A，試求A及?UA，并把它們分別表示在數(shù)軸上.解析：A＝{x∣x＋1≥0且3x－6≤0}＝{x∣－1≤x≤2}，所以?UA＝{x∣x＜－1或x＞2}，在數(shù)軸上分別表示如圖.解析練習(xí)1.寫出下列集合的所有子集：(1){1}；(2){1，2}；(3){1，2，3}.(1)?，{1}；(2)?，{1}，{2}，{1，2}；(3)?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}.2.已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，分別根據(jù)下

列條件求?UA.(1)A＝{0，2，4，6}；(2)A＝{0，1，2，3，4，5，6}；(3)A＝?.{1，3，5}?{0，1，2，3，4，5，6}3.判斷下列表述是否正確：(1)a?

{a}；(2){a}

∈

{a，b}；(3){a，b}

?

{b，a}；(4){－1，1}

?

{－1，0，1}；(5)0∈?；(6){0}

＝

?；(7)??{0}；(8)?

?{－1，1}.????????4.若U＝Z，A＝{x∣x＝2k，k∈Z，B＝{x∣x＝2k＋l，k∈Z}，則?UA＝______________________，

?UB＝______________________.BA5.?U(?UA)＝____________________.

A6.已知U＝R，A＝{x∣x＜0}，求?UA.解：?UA＝{x∣x

≥0}.提示：可利用數(shù)軸以及補(bǔ)集定義求解，注意補(bǔ)集中包含0.提示習(xí)題1.2感受·理解1.如圖，試說明集合A，B，C

之間有什么包含關(guān)系.A?B?C2.指出下列各組集合A

與B

之間的關(guān)系：(1)

A

＝{－1，1}，B＝Z；(2)

A

＝{－1，0，1}，B＝{

x∣x2－1＝0}；(3)

A

＝{1，3，5，15}，B＝{

x∣x是15的正約數(shù)}；(4)

A

＝

N*，B

＝

N.A?BB?AA＝BA?B3.已知U＝{x∣x

是至少有一組對邊平行的四邊形}，

A＝{x∣x

是平行四邊形}，求?UA.解：因為U＝{是平行四邊形或x是梯形}，A＝{x∣x

是平行四邊形}，

所以?UA＝{x∣x

是梯形}.4.(1)已知U

＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，求?UA；(2)已知U

＝{1，3}，A＝{1，3}，求?UA；?UA＝{2，4}?UA＝?(3)已知U

＝R，A＝{x∣x

≥

2}，求?UA；(4)已知U

＝R，A＝{x∣－2≤

x

＜

2}，求?UA；?UA＝{x∣x

＜2}?UA＝{x∣x

＜－2或x

≥2}思考·運用5.設(shè)A是一個集合，下列關(guān)系是否成立?(1)A＝{A}；(2)A?{A}；(3)A∈{A}.解：(1)A是一個集合，{A}是一個只含有一個元素A

的集合，故A＝{A}不成立.(2)A?{A}；(3)A∈{A}.

解：(2){A}是一個只含有一個元素A的集合，其所

有子集為?，{A}，故A?{A}不成立.(3){A}是一個只含有一個元素A的集合，

故