小學(xué)數(shù)學(xué)五年級思維奧數(shù)寒假講義-第8講 牛吃草問題進(jìn)階（教師版）

第8講牛吃草問題進(jìn)階【知識梳理】1、英國科學(xué)家牛頓在他的《普通算術(shù)》一書中，有一道關(guān)于牛在牧場上吃草的問題，即牛在牧場上吃草，牧場上的草在不斷的、均勻的生長。后人把這類問題稱為牛吃草問題或叫做“牛頓問題”。2、“牛吃草”問題主要涉及三個量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時間．難點(diǎn)在于隨著時間的增長，草也在按不變的速度均勻生長，所以草的總量不定?！芭３圆荨眴栴}是小學(xué)應(yīng)用題中的難點(diǎn)。3、解“牛吃草”問題的主要依據(jù)：草的每天生長量不變每頭牛每天的食草量不變草的總量草場原有的草量新生的草量，其中草場原有的草量是一個固定值新生的草量每天生長量天數(shù)4、同一片牧場中的“牛吃草”問題，一般的解法可總結(jié)為：⑴設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1”⑵草的生長速度(對應(yīng)牛的頭數(shù)較多天數(shù)對應(yīng)牛的頭數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)較少天數(shù))⑶原來的草量對應(yīng)牛的頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長速度吃的天數(shù)⑷吃的天數(shù)原來的草量(牛的頭數(shù)草的生長速度)⑸牛的頭數(shù)原來的草量吃的天數(shù)草的生長速度5、“牛吃草”問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了“牛吃草”問題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬變，輕松解決此類問題。【典例精講】一牧場長滿青草，27頭牛6個星期可以吃完，或者23頭牛9個星期可以吃完。若是21頭牛，要幾個星期才可以吃完？（注：牧場的草每天都在生長）【答案】12周【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，27頭牛吃6周共吃了份；23頭牛吃9周共吃了份．第二種吃法比第一種吃法多吃了份草，這45份草是牧場的草周生長出來的，所以每周生長的草量為，那么原有草量為：．供21頭牛吃，若有15頭牛去吃每周生長的草，剩下6頭牛需要(周)可將原有牧草吃完，即它可供21頭牛吃12周。牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長．這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天．供25頭?？沙詭滋?？【答案】5天【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，10頭牛吃20天共吃了份；15頭牛吃10天共吃了份．第一種吃法比第二種吃法多吃了份草，這50份草是牧場的草天生長出來的，所以每天生長的草量為，那么原有草量為：．供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長的草，剩下20頭牛需要(天)可將原有牧草吃完，即它可供25頭牛吃5天。由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度減少．經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天．那么，可供11頭牛吃幾天？【答案】8天【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，天自然減少的草量為，原有草量為：．若有11頭牛來吃草，每天草減少；所以可供11頭牛吃(天)．由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供10頭牛吃多少天？【答案】9天【解析】設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場上的草每天自然減少；原來牧場有草（25+2）×4=108，可供10頭牛吃的天數(shù)是：(天)。一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5臺抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機(jī)？【答案】12臺【解析】水庫原有的水與20天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？(臺).水庫原有的水與15天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？(臺).每天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？(臺).原有的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？(臺).若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺？(臺).北京密云水庫建有個泄洪洞，現(xiàn)在水庫的水位已經(jīng)超過安全線，并且水量還在以一個不變的速度增加，為了防洪，需要調(diào)節(jié)泄洪的速度，假設(shè)每個閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測算，若打開一個泄洪閘，個小時以后水位降至安全線；若同時打開兩個泄洪閘，個小時后水位降至安全線．根據(jù)抗洪形勢，需要用個小時使水位降至安全線以下，則至少需要同時打開泄洪閘的數(shù)目為多少個？【答案】8個【解析】此題是牛吃草問題的變形，假設(shè)每個泄洪洞每小時泄洪的量為1，則水庫每小時增加的水量為，原有的水量超過安全線的部分有．如果要用個小時使水位降至安全線以下，至少需要開個泄洪閘．畫展8:30開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個入場口，9點(diǎn)就不再有人排隊；如果開5個入場口，8點(diǎn)45分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達(dá)的時間?！敬鸢浮?：30【解析】設(shè)每分鐘1個入口進(jìn)入的人數(shù)為1個單位。8:30到9:00共30分鐘3個入口共進(jìn)入。8:30到8:45共15分鐘5個入口共進(jìn)入，15分鐘到來的人數(shù)，每分鐘到來。8：30以前原有人。所以應(yīng)排了（分鐘），即第一個來人在7：30。畫展9點(diǎn)開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個入場口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9點(diǎn)5分就沒有人排隊．求第一個觀眾到達(dá)的時間．【答案】8點(diǎn)15分【解析】如果把入場口看作為“?！保_門前原有的觀眾為“原有草量”，每分鐘來的觀眾為“草的增長速度”，那么本題就是一個“牛吃草”問題．設(shè)每一個入場口每分鐘通過“1”份人，那么4分鐘來的人為，即1分鐘來的人為，原有的人為：．這些人來到畫展，所用時間為(分)．所以第一個觀眾到達(dá)的時間為8點(diǎn)15分．點(diǎn)評：從表面上看這個問題與“牛吃草”問題相離很遠(yuǎn)，但仔細(xì)體會，題目中每分鐘來的觀眾一樣多，類似于“草的生長速度”，入場口的數(shù)量類似于“牛”的數(shù)量，問題就變成“牛吃草”問題了．解決一個問題的方法往往能解決一類問題，關(guān)鍵在于是否掌握了問題的實質(zhì)．【能力提升】一塊勻速生長的草地，可供16頭牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃多少天？【答案】8天【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，由于一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相當(dāng)于20頭牛吃12天．那么每天生長的草量為，原有草量為：．10頭牛和75只羊1天一起吃的草量，相當(dāng)于25頭牛一天吃的草量；25頭牛中，若有10頭牛去吃每天生長的草，那么剩下的15頭牛需要天可以把原有草量吃完，即這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃8天．【課后鞏固】1.牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多少頭牛吃18周？【答案】18周【解析】設(shè)1頭牛1周的吃草量為“1”，草的生長速度為，原有草量為，可供（頭）牛吃18周。2.有一塊勻速生長的草場，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天．那么它可供幾頭牛吃20天？【答案】14頭?！窘馕觥吭O(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么天生長的草量為，所以每天生長的草量為；原有草量為：．20天里，草場共提供草，可以讓頭牛吃20天。3.由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度減少．經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天．那么，可供11頭牛吃幾天？【答案】天【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，天自然減少的草量為，原有草量為：．若有11頭牛來吃草，每天草減少；所以可供11頭牛吃(天)．4.由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供10頭牛吃多少天？【答案】9天【解析】設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場上的草每天自然減少

原來牧場有草（25+2）×4=108，可供10頭牛吃的天數(shù)是：(天)。5.林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內(nèi)吃光，21只猴子可在12周內(nèi)吃光，問如果要4周吃光野果，則需有多少只猴子一起吃？（假定野果生長的速度不變）【答案】33只【解析】設(shè)一只猴子一周吃的野果為“”，則野果的生長速度是，原有的野果為，如果要4周吃光野果，則需有只猴子一起吃。6.一個蓄水池裝有9根水管，其中1根為進(jìn)水管，其余8根為相同的出水管。開始進(jìn)水管以均勻的速度不停地向這個蓄水池蓄水。池內(nèi)注入了一些水后，有人想把出水管也打開，使池內(nèi)的水再全部排光。如果把8根出水管全部打開，需要3小時可將池內(nèi)的水排光；而若僅打開3根出水管，則需要18小時。問如果想要在8小時內(nèi)將池中的水全部排光，最少要打開幾根出水管？【答案】5根【解析】設(shè)1根排水管小時排水為“”，進(jìn)水速度為，原有水量為，如果想要在小時內(nèi)將池中的水全部排光，最少要打開根出水管，每根出水管1小時排水1份，又出水管的根數(shù)是整數(shù)，故最少要打開5根出水管。7.火車站的檢票處檢票前已有一些人等待檢票進(jìn)站，假如每分鐘前來檢票處排隊檢票的人數(shù)一定，那么當(dāng)開一個檢票口時，27分鐘后就無人排隊；當(dāng)開兩個檢票口時，12分鐘就無人排隊．如果要在6分鐘后就無人排隊，那么至少需要開______個檢票口?！敬鸢浮?【解析】，，，，至少需要開四個檢票口。8.一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時淘完；如5人淘水，8小時淘完.如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？【答案】14人【解析】設(shè)1人1小時淘出的水量是“1”，淘水速度是，原有水量，要求2小時淘完，要安排人淘水。9.一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果3人淘水40分鐘可以淘完；6人淘水16分鐘可以把水淘完，那么，5人淘水幾分鐘可以把水淘完？【答案】20分鐘【解析】設(shè)1人1分鐘淘出的水量是“1”，分鐘的進(jìn)水量為，所以每分鐘的進(jìn)水量為，那么原有水量為：．5人淘水需要(分鐘)把水淘完．10.一片牧草，每天生長的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12頭牛與88只羊一起吃可以吃幾天？【答案】5天【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，所以草的生長速度為，原有草量為，12頭牛與88只羊一起吃可以吃（天）。【小測驗】一片牧場長滿草，草每天勻速生長，這片牧場可供5頭牛吃8天，也可供14頭牛吃2天，問可供10頭牛吃幾天？【答案】3天【解析】8天的總草量為：8×5=40，2天的總草量：14×2=28；草每天的生長速度為：（40-28）÷（8-2）=2；即每天生長的草可供2頭牛吃。草地上原有的草為：28-2×2=24，可供10頭牛吃：24÷（10-2）=3（天）。某牧場上的草，若用17人去割，30天可以割盡；若用19人去割，則只要24天便可以割盡，問用多少人割，6天可以割盡？（草勻速生長，每人每天割草量相同）【答案】49人【解析】（17×30-19×24）÷（30-24）=9；17×30-9×30=240；240÷6+9=49林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內(nèi)吃光；21只猴子可在12周內(nèi)吃光；問如果有33只猴子一起吃，則需要幾周吃光？（假定野果生長的速度不變）【答案】4周【解析】（21×12-23×9）÷（12-9）=15；23×9-15×9=72；72÷（33-15）=4周天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度在減少。經(jīng)計算，牧場上的草可供33頭牛吃5天，或可供24頭牛吃6天。照這樣計算，這個牧場課供多少頭牛吃10天？【答案】6頭【解析】5天時草地上共有草：33×5=165；6天時草地上共有草：24×6=