角平分線 省賽獲獎(jiǎng)

§13.5.3角平分線探究角平分線的性質(zhì)

(1)實(shí)驗(yàn)：將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？(2)猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.證明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=900∵OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（A.A.S.）∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）PAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E求證:PD=PE(3)驗(yàn)證猜想教師點(diǎn)撥

符號(hào)語(yǔ)言題設(shè)：∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB結(jié)論：∴PD=PEPAOBCED12(4)角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。教師點(diǎn)撥

判斷題（）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴BD=DC

()角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等?！寥鐖D，在Rt△ABC中，做完本題后，你對(duì)角平分線,又增加了什么認(rèn)識(shí)?

思考角平分線的性質(zhì)，為我們證明兩條線段相等又提供了新的方法與途徑。ABCBD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，EDE與DC相等嗎？D答：DE=DC?！連D是∠ABC的平分線

且DE⊥BA，∴DE=DC。為什么？DC⊥BC，已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，PD＝PE．求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．OCB1A2PDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，在Rt

△PDO與Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=900∵PD=PE（已知）OP=OP（公共邊）∴Rt△PDO≌Rt

△PDO(H.L.)∴∠1=∠2即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。逆命題到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

幾何語(yǔ)言∵PD⊥OA，PE⊥OB

且PD=PE∴

OC平分

∠AOBACBEDPMHK例題：如圖，在△ABC的頂點(diǎn)B的外角的平分線BD與頂點(diǎn)C的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)Ｐ到三邊AB、BC、AC的距離相等．證明：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB、PK⊥BC、PH⊥AC，垂足分別為M、K、H。∵BD平分∠CBM

PM⊥AB、PK⊥BC∴PK＝PM同理PK＝PH∴PK＝PM＝PH即點(diǎn)P到三邊AB、BC、AC的距離相等

若求證點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，又該如何證明呢？1．如圖，在直線l上找出一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．提示：作∠AOB的平分線，交直線l于P就是所求的點(diǎn)練習(xí)1練習(xí)2：

如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離相等.C●D●ABOP1、如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,

求證：點(diǎn)P也在∠BAC的平分線上.∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,PD⊥AB，PE⊥BCABCPMNDEF∴PD=PE

(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.試一試通過(guò)本題的證明，你能得到一個(gè)關(guān)于三角形角平分線的什么結(jié)論？三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。想一想利用結(jié)論，解決問(wèn)題練一練

1、如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?想一想

在確定度假村的位置時(shí),一定要畫(huà)出三個(gè)角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?P拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處分析:由于沒(méi)有限制在何處選址