11.2 與三角形有關(guān)的角（原卷版）

11.2與三角形有關(guān)的角1.理解和掌握三角形內(nèi)角和定理的證明以及應(yīng)用，掌握有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形；2.理解和掌握三角形外角的概念和外角定理。一、三角形的內(nèi)角1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°。如圖△ABC中，∠A，∠B，∠C的和為180°。注意在任何三角形中，至少有兩個(gè)銳角，最多有1個(gè)鈍角，最多有1個(gè)直角。2.符號表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。變式：∠A=180°-∠B-∠C?！纠斫馀c拓展】①三角形內(nèi)角和等于180°，與三角形的形狀或種類沒有關(guān)系，即所有三角形的內(nèi)角和都等于180°。②利用定理在三角形中已知兩角可求第三角，或已知各角的關(guān)系求各角的度數(shù)。③三角形內(nèi)角和定理的一個(gè)重要推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。3.三角形內(nèi)角和定理的證法：在解決幾何問題時(shí)，當(dāng)僅用已有條件解決問題比較困難時(shí)，常在圖形中添加輔助線，構(gòu)造新的圖形，形成新的關(guān)系，搭建已知條件與未知問題的橋梁，把較困難的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、易解決的問題。這些在原來的圖形上添加的線叫作輔助線。輔助線通常畫成虛線。4.證明三角形內(nèi)角和定理的基本思路：想辦法把分散的3個(gè)角“拼湊”成一個(gè)“整體”，即借助輔助線，結(jié)合所學(xué)過的知識(shí)，達(dá)到證明的目的。在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，常用的輔助線主要有以下幾種：①構(gòu)造平角：利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化(作平行線)，讓3個(gè)內(nèi)角組成一個(gè)平角，如圖①和圖②。②構(gòu)造同旁內(nèi)角：如圖③，過點(diǎn)C作CM∥AB，利用∠B與∠BCM是同旁內(nèi)角可證。題型一與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題如圖，，點(diǎn)在上．求證：．1．完成下列推理過程：如圖，已知，，求證：．2．已知：如圖，AB∥CD，∠B＝∠D．求證：∠1＝∠2．題型二與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題如圖，在中，，，平分，求的度數(shù)．1．如圖，在中，是高，，是角平分線，它們相交于點(diǎn)，，．求和的度數(shù)．2．如圖，在中，是的角平分線，，若，，求的度數(shù)．題型三三角形折疊中的角度問題（1）如圖1，把沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，試探索與的關(guān)系______（不必證明）．（2）如圖2，BI平分，CI平分，把折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若，求的度數(shù)；1．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，將△ABC沿AD翻折后，點(diǎn)B恰好落在線段CD上的B'處，且AB'平分∠CAD．求∠BAB'的度數(shù)．2．（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于_______．（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，求的值．（3）如圖2，請你歸納猜想與的關(guān)系是______，并說明理由．（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關(guān)系并說明理由．題型四三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用如圖，在中，于點(diǎn)D，于點(diǎn)G，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．1．如圖，是的高，平分．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．2．如圖，是的高，，是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，，，求和的度數(shù)．題型五直角三角形的兩個(gè)銳角互余如圖，在中，，是角平分線，且，求證：．1．為的高，相交于H點(diǎn)，，求．2．如圖，與分別是的角平分線和高．若，，求度數(shù)．二、三角形的外角1.三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫作三角形的外角。如圖所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的兩個(gè)外角，而∠DCE不是三角形的外角。2.三角形外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上。②一條邊是三角形的一邊。③另一條邊是三角形某條邊的延長線?！纠斫馀c拓展】三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對頂角，所以三角形共有6個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角來計(jì)算外角和。3.三角形外角的性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。②三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角?！纠斫馀c拓展】①三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)。另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常用到外角的性質(zhì)。②三角形的一個(gè)外角大于和它“不相鄰”的任意一個(gè)內(nèi)角，而不是大于任何一個(gè)內(nèi)角。③利用該推論證明角之間的不等關(guān)系時(shí)，先找到一個(gè)適當(dāng)?shù)娜切?，使要證明的那個(gè)大角處于外角的位置上，小角處于內(nèi)角的位置上。4.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°。題型六三角形外角的性質(zhì)如圖，在中，是邊上的高，平分．若，．求：的度數(shù)．1．如圖，已知中，，平分，E是線段（除去端點(diǎn)A、D）上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)F．若，求的度數(shù)．2．在中，，，，求的度數(shù)．中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)．(1)如圖1，猜想與的關(guān)系，并說明你的理由；(2)如圖2，作外角的平分線交的延長線于點(diǎn)．求證：．1．如圖，為的高，，為的角平分線，若，．(1)求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)G為線段上任意一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的度數(shù)．2．如圖，中，D是上一點(diǎn)，過D作交于E點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，連接．若．(1)求證：．(2)若，平分，求的度數(shù)．一、單選題1．在中，，按圖中虛線將剪去后，等于（

）．A． B． C． D．2．如圖，在中，，過點(diǎn)作．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，是的平分線，過點(diǎn)的射線與平行，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．如圖，在，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿和折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，則的度數(shù)為（

）A．22° B．21° C．20° D．19°5．如圖，分別將三角板與的一邊與放置在直線l上，邊與所在直線重合．現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．當(dāng)與第一次重合時(shí)，三角板停止運(yùn)動(dòng)．在旋轉(zhuǎn)過程中，下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)與垂直時(shí)， B．當(dāng)與平行時(shí)，C．當(dāng)與垂直時(shí)， D．當(dāng)與平行時(shí)，6．如圖，是的高，是的角平分線，若，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．7．如圖，在中，，D為邊上的一點(diǎn)，E點(diǎn)在邊上，，若，則（

）A． B． C． D．8．如圖，，，，分別平分的內(nèi)角，外角，外角．以下結(jié)論：；；；；．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二、填空題9．如圖，，則___________．10．如圖，，，，為上一點(diǎn)，且，在直線上取一點(diǎn)，使，則的值為__________．11．已知平分平分，過P作，若，則_____．12．如圖，在中，，是斜邊的中點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果恰好與垂直，則_______°．13．如圖，在中，，，，則__________．14．如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)為外角的平分線，的延長線交于點(diǎn)．以下結(jié)論①，②，③，④，其中正確的是_________（填序號）．三、解答題15．已知，如圖，于，于，，，(1)求證：．(2)若，，求的度數(shù)．16．如圖，將一副直角三角板如圖所示放置，使含角的三角板的一條直角邊和含的三角板的一條直角邊重合．(1)求證：(2)若分別交，于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，求的度數(shù)．17．已知，如圖，在中，角平分線，相交于點(diǎn)．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)；(3)若，，試求，之間的數(shù)量關(guān)系．18．探索歸納：(1)如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如圖2，已知中，，剪去后形成四邊形，則度．(3)如圖2，根據(jù)上面的求解過程，猜想與的關(guān)系是．(4)如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3的形狀，請猜想與的關(guān)系是．19．，直線交于，交于，將沿折疊，使落在同一平面上的處，的兩邊與、的夾角分別記為，．(1)如圖①，當(dāng)落在四邊形內(nèi)部時(shí)，探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，當(dāng)落在下方時(shí)，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖③，當(dāng)落在右側(cè)時(shí)，探索與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．20．如圖1，已知直線，且和分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上．(1)試找出之間的等式關(guān)系，并證明；(2)應(yīng)用（1）的結(jié)論解答下列問題：①如圖2，點(diǎn)A在B處的北偏東方向上，點(diǎn)A在C處的北偏西方向上，求的度數(shù)；②在圖3中，小刀的刀片上下是平行的，刀柄外形是一個(gè)直角梯形（下面挖去一小半圓），求的度數(shù)．21．（1）如圖，把沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，試探究、與的關(guān)系；（2）如圖2，若，，作的平分線，與的外角平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)落在內(nèi)部，作，的平分線