湖南省長沙市麓山國際實驗學校2024屆高一數學第一學期期末統考試題含解析

湖南省長沙市麓山國際實驗學校2024屆高一數學第一學期期末統考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．已知集合M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，則M∩N=（）A. B.C. D.2．用二分法求如圖所示函數f(x)的零點時，不可能求出的零點是()A.x1 B.x2C.x3 D.x43．香農定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香農公式來表示，其中是信道支持的最大速度或者叫信道容量，是信道的帶寬（），S是平均信號功率（），是平均噪聲功率（）．已知平均信號功率為，平均噪聲功率為，在不改變平均信號功率和信道帶寬的前提下，要使信道容量增大到原來的2倍，則平均噪聲功率約降為（）A. B.C. D.4．“”是“關于的方程有實數根”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．設為所在平面內一點，若，則下列關系中正確的是A. B.C. D.6．定義在上的奇函數滿足，且當時，，則方程在上的所有根的和為（）A. B.C. D.7．下列函數中為偶函數的是（）A. B.C. D.8．已知函數則函數值域是（）A. B.C. D.9．若直線x＋（1＋m）y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是A.1 B.－2C.1或－2 D.10．函數的大致圖象是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．兩平行直線與之間的距離______.12．設函數，其圖象的一條對稱軸在區(qū)間內，且的最小正周期大于，則的取值范圍是____________13．函數f（x）＝cos的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則函數的解析式為_______，函數的值域是________14．若在上恒成立，則k的取值范圍是______.15．已知角A為△ABC的內角，cosA=-45三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知,（1）求（2）設與的夾角為，求17．函數是定義在上的奇函數，且（1）確定的解析式（2）判斷在上的單調性，并利用函數單調性的定義證明；（3）解關于的不等式18．已知.（1）在直角坐標系中用“五點畫圖法”畫出一個周期內的圖象.（要求列表、描點）（2）求函數的最小正周期、對稱中心、對稱軸方程.19．提高過江大橋的車輛通行的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下大橋上的車流速度(單位:千米/小時)是車流密度(單位:輛/千米)的函數.當橋上的車流密度達到200輛/千米時,就會造成堵塞,此時車流速度為0:當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時.研究表明:當時,車流速度是車流密度的一次函數(1)當時,求函數的表達式:(2)如果車流量(單位時間內通過橋上某或利點的車輛數)(單位:輛/小時)那么當車流密度為多大時,車流量可以達到最大,并求出最大值,(精確到1輛/小時)20．已知定義域為的函數是奇函數.(1)求實數的值；(2)判斷并用定義證明該函數在定義域上的單調性；(3)若方程在內有解，求實數的取值范圍21．在①函數的圖象向右平移個單位長度得到的圖像，圖像關于對稱；②函數這兩個條件中任選一個，補充在下而問題中，并解答.已知______，函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）若在上的值域為，求a的取值范圍；（2）求函數在上的單調遞增區(qū)間.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、B【解析】根據集合交集的定義可得所求結果【詳解】∵，∴故選B【點睛】本題考查集合的交集運算，解題的關鍵是弄清兩集合交集中元素的特征，進而得到所求集合，屬于基礎題2、C【解析】觀察圖象可知：點x3的附近兩旁的函數值都為負值，∴點x3不能用二分法求，故選C.3、A【解析】利用題設條件，計算出原信道容量的表達式，再列出在B不變時用所求平均噪聲功率表示的信道容量的表達式，最后列式求解即得.【詳解】由題意可得，，則在信道容量未增大時，信道容量為，信道容量增大到原來2倍時，，則，即，解得，故選：A4、A【解析】根據給定條件利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【詳解】當時，方程的實數根為，當時，方程有實數根，則，解得，則有且，因此，關于的方程有實數根等價于，所以“”是“關于的方程有實數根”的充分而不必要條件.故選：A5、A【解析】∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.6、D【解析】首先由題所給條件計算函數的周期性與對稱性，作出函數圖像，在上的所有根等價于函數與圖像的交點，從兩函數的交點找到根之間的關系，從而求得所有根的和.【詳解】函數為奇函數，所以，則的對稱軸為：，由知函數周期為8，作出函數圖像如下：在上的所有根等價于函數與圖像的交點，交點橫坐標按如圖所示順序排列，因為，，所以兩圖像在y軸左側有504個交點，在y軸右側有506個交點，故選：D【點睛】本題考查函數的圖像與性質，根據函數的解析式推出周期性與對稱性，考查函數的交點與方程的根的關系，屬于中檔題.7、B【解析】利用函數奇偶性的定義可判斷A、B、C選項中各函數的奇偶性，利用特殊值法可判斷D選項中函數的奇偶性.【詳解】對于A選項，令，該函數的定義域為，，所以，函數為奇函數；對于B選項，令，該函數的定義域為，，所以，函數為偶函數；對于C選項，函數的定義域為，則函數為非奇非偶函數；對于D選項，令，則，，且，所以，函數為非奇非偶函數.故選：B.【點睛】本題考查函數奇偶性的判斷，考查函數奇偶性定義的應用，考查推理能力，屬于基礎題.8、B【解析】結合分段函數的單調性來求得的值域.【詳解】當吋，單調遞增，值域為；當時，單調遞增，值域為，故函數值域為.故選：B9、A【解析】分類討論直線的斜率情況，然后根據兩直線平行的充要條件求解即可得到所求【詳解】①當時，兩直線分別為和，此時兩直線相交，不合題意②當時，兩直線的斜率都存在，由直線平行可得，解得綜上可得故選A【點睛】本題考查兩直線平行的等價條件，解題的關鍵是將問題轉化為對直線斜率存在性的討論．也可利用以下結論求解：若，則且或且10、C【解析】由奇偶性定義判斷的奇偶性，結合對數、余弦函數的性質判斷趨向于0時的變化趨勢，應用排除法即可得正確答案.【詳解】由且定義域，所以為偶函數，排除B、D.又在趨向于0時趨向負無窮，在趨向于0時趨向1，所以在趨向于0時函數值趨向負無窮，排除A.故選：C二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、2【解析】根據平行線間距離公式可直接求解.【詳解】直線與平行由平行線間距離公式可得故答案為:2【點睛】本題考查了平行線間距離公式的簡單應用,屬于基礎題.12、【解析】由題可得，利用正弦函數的性質可得對稱軸為，結合條件即得.【詳解】∵，由，得，當時，，則，解得此時，當時，，則，解得此時，不合題意，當取其它整數時，不合題意，∴.故答案：.13、①.②.【解析】由題意利用函數的圖象變換規(guī)律求得的解析式，可得的解析式，再根據余弦函數的值域，二次函數的性質，求得的值域【詳解】函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，函數，，故當時，取得最大值為；當時，取得最小值為，故的值域為，，故答案為：；，14、【解析】首先參變分離得到在上恒成立，接著分段求出函數的最小值，最后給出k的取值范圍即可.【詳解】因為在上恒成立，所以在上恒成立，當時，，所以，所以，所以；當時，，所以，所以，所以；綜上：k的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題是含參數的不等式恒成立問題，此類問題都可轉化為最值問題，即f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min.15、35【解析】根據同角三角函數的關系，結合角A的范圍，即可得答案.【詳解】因為角A為△ABC的內角，所以A∈(0,π)，因為cosA=-所以sinA=故答案為：3三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）1；（2）【解析】分析：（1）直接利用數量積的坐標表示求的值.（2）直接利用向量的夾角公式求.詳解：（1）；（2）∵,，∴，∴點睛：（1）本題主要考查向量的數量積和向量的夾角，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本的運算能力.(2)向量的夾角公式為.17、（1）（2）增函數，證明見解析（3）【解析】（1）根據奇偶性的定義與性質求解（2）由函數的單調性的定義證明（3）由函數奇偶性和單調性，轉化不等式后再求解【小問1詳解】根據題意，函數是定義在上的奇函數，則，解可得；又由，則有，解可得；則【小問2詳解】由（1）的結論，，在區(qū)間上為增函數；證明：設，則又由，則，，，，則，即則函數在上為增函數.【小問3詳解】由（1）（2）知為奇函數且在上為增函數.，解可得：，即不等式的解集為.18、（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）列表、描點即可用五點畫圖法作出函數圖像；（2）結合函數的圖像，可直接寫出其最小正周期，結合正弦函數的性質可得出其對稱中心以及對稱軸.【詳解】(1)列表：0131-11(2)最小正周期為，由得，所以對稱中心為；由得，所以對稱軸方程為.【點睛】本題主要考查五點作圖法，以及三角函數的性質，熟記函數性質即可求解，屬于基礎題型.19、（1）；（2）當車流密度為100輛/千米時,車流量可以達到最大,最大值約為3333/小時..【解析】詳解】試題分析：本題考查函數模型在實際中的應用以及分段函數最值的求法．（1）根據題意用分段函數并結合待定系數法求出函數的關系式．（2）首先由題意得到的解析式，再根據分段函數最值的求得求得最值即可試題解析：(1)由題意:當時,;當時,設由已知得解得∴綜上可得(2)依題意并由（1）可得①當時，為增函數，∴當時，取得最大值，且最大值為1200②當時，，∴當時，取得最大值，且最大值為.所以的最大值為故當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，且最大值為3333輛/小時.20、（1）1；（2）見解析；（3）[-1，3）.【解析】(1)根據解得，再利用奇偶性的定義驗證，即可求得實數的值；(2)先對分離常數后，判斷出為遞減函數，再利用單調性的定義作差證明即可；(3)先用函數的奇函數性質，再用減函數性質變形，然后分離參數可得，在內有解，令，只要.【詳解】（1）依題意得，，故，此時，對任意均有，所以是奇函數，所以.（2）在上減函數，證明如下：任取，則所以該函數在定義域上是減函數（3）由函數為奇函數知，，又函數單調遞減函數，從而，即方程在內有解，令，只要，，且，∴∴當時，原方程在內有解【點睛】本題主要考查函數的奇偶性與單調性以及函數值域的應用，屬于難題.已知函數的奇偶性求參數，主要方法有兩個，一是利用：（1）奇函數由恒成立求解，（2）偶函數由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數一般由求解，偶函數一般由求解，用特殊法求解參數后，一定要注意驗證奇偶性.21、（1）；（2），，.【解析】先選條件①或條件②，結合函數的性質及圖像變換，求得函數，（1）由，得到，根據由正弦函數圖像，即可求解；（2）根據函數正弦函數的形式，求得，，進而得出函數的單調遞增區(qū)間.【詳解】方案一：選條件①由函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可得，解得，所以，又由函數的圖象向右平移個單位長度得到，又函數圖象關于對稱，可得，，因為，所以，所以.（1）由，可得，因為函數在上的值域為，根據由正弦函數圖像，可得，解得，所以的取值范圍為.（2）由，，可得，，當時，可得；當時，可得；當時，可得，所以函數在上的單調遞增區(qū)間為，，.方案二：選條件②：由，因為函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距