含次近鄰相互作用的一維單原子鏈中的波動(dòng)問(wèn)題

含次近鄰相互作用的一維單原子鏈中的波動(dòng)問(wèn)題

在探討固體中的線性和非線性物理問(wèn)題時(shí)，一階原子鏈通常通過(guò)模型簡(jiǎn)單、清晰的物理圖像而被廣泛關(guān)注和研究。眾所周知，對(duì)于相鄰原子的相互作用的線性格柵通常只有晶格點(diǎn)矩陣缺陷和局域力常數(shù)缺陷，而線性格柵中的局域旋轉(zhuǎn)模式只能考慮。然而，在最近的研究中，考慮到非k相互作用和相鄰相鄰相互作用，在1月份的單原子鏈中，呼吸子和其他非線性元素的三維激發(fā)存在多個(gè)唯一的波形。因此，固體中的非線性元素激發(fā)一直是人們研究的重點(diǎn)。為了考慮四環(huán)面上的三個(gè)面和四個(gè)面之間的相互作用，黃國(guó)祥等人進(jìn)行了大量研究。同時(shí)，考慮到三個(gè)面和四個(gè)面之間的相互作用，波前波后的非晶態(tài)結(jié)構(gòu)。Η=∑np2n2Μ+∑n[12k2(un+1-un)2+13k3(un+1-un)3+14k4(un+1-un)4],(1)H=∑np2n2M+∑n[12k2(un+1?un)2+13k3(un+1?un)3+14k4(un+1?un)4],(1)其中un=un(t)是一維單原子鏈中第n個(gè)質(zhì)量為M的原子的位移,k2,k3,k4分別為最近鄰原子簡(jiǎn)諧和非諧(三次方、四次方)相互作用的力常數(shù),他們的結(jié)果顯示:一維單原子鏈中既存在包絡(luò)孤立子,又存在反對(duì)稱的內(nèi)部局域模式——扭狀、反扭狀孤立子.最近,Bonart等研究了如下的Hamitonian系統(tǒng):Η=∑n[p2n2Μ+12k2(un+1-un)2+12k′2(un+2-un)2+14o4(l)u4n+14k4(un+1-un)4],(2)式中第三項(xiàng)為次近鄰諧振項(xiàng)、o4是非諧次(四次方)的格點(diǎn)熱(on-sitepotential)常數(shù)(k4,o4≤0),他們采用分子動(dòng)力學(xué)方法數(shù)值模擬了次近鄰簡(jiǎn)諧和最近鄰非諧相互作用同時(shí)存在時(shí)的原子振動(dòng)問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)其中存在著包絡(luò)孤立子.本文將利用多重尺度法結(jié)合準(zhǔn)不連續(xù)近似,解析地討論其漸近解,發(fā)現(xiàn)其中包含多種形式的孤立波.由(2)式可得un的運(yùn)動(dòng)方程:d2undt2-Ι2(un+1+un-1-2un)-Ι′2(un+1+un-1-2un)-o4(l)u3n-Ι4[(un+1-un)3+(un-1-un)3]=0,(3)其中,Ii=ki/M(i=2,4),I′2=k′2/M.根據(jù)Tsuyui介紹的多重尺度法結(jié)合準(zhǔn)不連續(xù)性近似方法(quasi-discretenessapproximation),可假設(shè)un(t)=εu(1)(ξn,τ,?n)+ε2u(2)(ξn,τ,?n)+ε3u(3)(ξn,τ,?n)+?=∞∑ν=1ενu(ν)n,n.(4)這里,ε為有限小的參數(shù),u(ν)i,j=u(ν)(ξi,τ,?j).多重尺度的“慢”變量ξn=ε(na-λt),τ=ε2t,而“快”變量?n=nka-ωt表示行波的相位,k,ω分別是行波的波數(shù)和頻率,λ是待定參數(shù).設(shè)晶格常數(shù)為a,利用Taylor展開(kāi)式[4,10,11,12,13,14],把(4)式代入(3)式中,可以得到?2?t2u(j)n,n-Ι2(u(j)n,n+1+u(j)n,n-1-2u(j)n,n)-Ι′2(u(j)n,n+2+u(j)n,n-2-2u(j)n,n)=α(j)n,n,(5)其中α(1)n,n=0,(6)α(2)n,n=2λ??t??ξnu(1)n,n+Ι2a??ξn(u(1)n,n+1-u(1)n,n-1)+2Ι′2a??ξn(u(1)n,n+2-u(1)n,n-2),(7)α(3)n,n=2λ??t??ξnu(2)n,n-(λ2?2?ξ2n+2??t??τ)u(1)n,n+Ι2[a??ξn(u(2)n,n+1-u(2)n,n-1)+a22?2?ξ2n(u(1)n,n+1+u(1)n,n-1)]+Ι′2[2a??ξn(u(2)n,n+2-u(2)n,n-2)+2a2?2?ξ2n(u(1)n,n+2+u(1)n,n-2)]+o4(u(1)n,n)3+Ι4[(u(1)n,n+1-u(1)n,n)3+(u(1)n,n-1-u(1)n,n)3],(8)α(4)n,n=2λ??t??ξnu(3)n,n-(λ2?2?ξ2n+2??t??τ)u(2)n,n+2λ??τ??ξnu(1)n,n+Ι2[a??ξn(u(3)n,n+1-u(3)n,n-1)+a22!?2?ξ2n(u(2)n,n+1-u(2)n,n-1)+a33!?3?ξ3n(u(1)n,n+1-u(1)n,n-1)]+Ι′2[2a??ξn(u(3)n,n+2-u(3)n,n-2)+2a2?2?ξ2n(u(2)n,n+2-u(2)n,n-2)+4a33?3?ξ3n(u(1)n,n+2-u(1)n,n-2)]+3o4(u(1)n,n)2u(2)n,n+3Ι4(u(1)n,n+1-u(1)n,n)2?(u(2)n,n+1+a??ξnu(1)n,n+1-u(2)n,n)+3Ι4(u(1)n,n-1-u(1)n,n)2?(u(2)n,n-1-a??ξnu(1)n,n-1-u(2)n,n).(9)當(dāng)j=1時(shí),(5)式化為線性波動(dòng)方程為?2?t2u(1)n,n-Ι2(u(1)n,n+1+u(1)n,n-1-2u(1)n,n)-Ι′2(u(1)n,n+2+u(1)n,n-2-2u(1)n,n)=0?(10)其解是u(1)n,n=A(τ,ξn)ei?n+A*(τ,ξn)e-i?n.(11)可得出考慮次近鄰相互作用的色散關(guān)系ω2=4Ι2sin2(ka2)+4Ι′2sin2(ka),(12)其群速度為Vg=dωdk=Ι2aωsin(ka)+2Ι′2aωsin(2ka).(13)圖1(a)和(b)示出了考慮次近鄰相互作用下的色散關(guān)系.從上圖可看出,在考慮到次近鄰的相互作用時(shí),整個(gè)Brillouin區(qū)的尺寸范圍并沒(méi)有改變(圖1(a)中A點(diǎn)).但隨著次近鄰諧振項(xiàng)系數(shù)I′2的增大,其色散關(guān)系的曲線會(huì)發(fā)生扭折(圖1(a)中B點(diǎn)),Brillouin區(qū)邊畸變了(如圖1(b)所示).當(dāng)j=2時(shí),由(5)式可得ε的二階近似方程?2?t2u(2)n,n-Ι2(u(2)n,n+1+u(2)n,n-1-2u(2)n,n)-Ι′2(u(2)n,n+2+u(2)n,n-2-2u(2)n,n)=-2iω[λ-Ι2aωsin(ka)-2Ι′2aωsin(2ka)]?A?ξnei?n.(14)方程(14)式右邊項(xiàng)是久期項(xiàng).消除久期項(xiàng)后,可以得到λ=Ι2aωsin(ka)+2Ι′2aωsin(2ka)=Vg.(15)從而方程(14)式的解具有如下形式:u(2)n,n=B(τ,ξn)ei?n+B*(τ,ξn)e-i?n.(16)當(dāng)僅僅考慮振幅最低階A的關(guān)系時(shí),可設(shè)B=0,從而u(2)n,n=0.考慮j=3時(shí),通過(guò)消除久期項(xiàng)后,由(5)式可得i?A?τ+Ρ?2A?ξn2+Q|A|2A=0,(17)其中Ρ=12d2ωdk2;Q=32ω[o4-Ι4Ι2ω41],(18)式中,ω1=2√Ι2sin(ka/2)為只考慮最近鄰相互作用時(shí)的色散關(guān)系.同樣,可設(shè)u(3)n,n=C(τ,ξn)ei?n+C*(τ,ξn)e-i?n,(19)由于只涉及振幅最低階A的關(guān)系,令C=0,則有u(3)n,n=0.通過(guò)變換A=u/ε,ξn=ε(na-Vgt)=εXn,τ=ε2t,可將(18)式化為非線性薛定諤方程i?u?t+Ρ?2u?X2n+Q|u|2u=0.(20)利用反散射變換,可得出上式的解為u=[2ΡQ]12k0sechk0[(n-n0)a-Vgt]ei(k20Ρt-?0),(21)式中k0,?0是積分常數(shù),n0是任意整數(shù).晶格的位移有如下表達(dá)式:un(t)=[2pQ]12k0sechk0[(n-n0)a-Vgt]?cos[kna-(ω-k20Ρ)t-?0].(22)方程(22)是典型的包絡(luò)孤立子曲線方程.在圖2中模擬了在簡(jiǎn)約Brillouin區(qū)邊界附近的晶格振動(dòng)的位移振幅的包絡(luò)孤立子行為.其中心位置是在n=n0,依賴于系統(tǒng)的主要偏振條件.而對(duì)于j=4的情形,通過(guò)消除久期項(xiàng)后,且利用變換式u=ε?A/?ξn=?A/?Xn,考慮到ξn=ε(na-Vgt)=εXn,τ=ε2t,那么(5)式可進(jìn)一步化為?u?t+q|u|2?u?Xn+h?3u?X3n=0,(23)其中q=12Ι4ω1iVgΙ2dω1dk{[1-(ω1Ι2adω1dk)2]1/2}；h=16iVgωd3ωdk3-Ρ.(24)據(jù)我們所知,方程(23)是首次在單原子鏈模型中被發(fā)現(xiàn),通常稱之為CMKDV方程,其明顯具有MKDV方程的單孤子解:u(Xn,t)=±[6hq]122k0sech{2k0[Xn-4k20th-X0n]},(Κ0,X0n為任意常數(shù))?(25)可得關(guān)于相對(duì)振幅A的關(guān)系式:A=∫u(Xn,t)dXn=±[6hq]12?sin-1{tanh[2k0(Xn-4k20th-X0n)]}(26)或A=∫u(Xn,t)dXn=±[6hq]12?tan-1{sinh[2k0(Xn-4k20th-X0n)]}.(27)由(26),(27)式在圖1中A,B點(diǎn)取“正”號(hào)時(shí)為典型的Kink波如圖3所示,取“負(fù)”號(hào)時(shí)為典型的Antikink波如圖4所示.(23)式允許呼吸子解為u=±[6hq]12??Xn{tan-1[βα?sin(2αXn+δht-?0)αcosh[2βXn+(rh)t+φ0]]},(28)其中,r=8β(3α2-β2),δ=8α(α2-3β2).α,β,?0,