電磁場與電磁波第7章、導(dǎo)行電磁波

第7章、導(dǎo)行電磁波7.1電磁波沿均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)傳播的一般解7.2矩形波導(dǎo)7.3圓波導(dǎo)7.4同軸線7.5波導(dǎo)中的傳輸功率與損耗7.6諧振腔第7章、導(dǎo)行電磁波沿一定的途徑傳播的電磁波稱為導(dǎo)行電磁波，傳輸導(dǎo)行波的系統(tǒng)稱為導(dǎo)波系統(tǒng)。

常用的導(dǎo)波系統(tǒng)有雙導(dǎo)線、同軸線、帶狀線、微帶、金屬波導(dǎo)等。本章僅介紹同軸線和金屬波導(dǎo)。尤其是矩形金屬波導(dǎo)的傳播特性。這些導(dǎo)波系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖示。7.1電磁波沿均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)傳播的一般解7.1.1橫向場分量與縱向場分量之間的關(guān)系首先設(shè)導(dǎo)波系統(tǒng)是無限長的，根據(jù)導(dǎo)波系統(tǒng)橫截面的形狀選取直角坐標系或者圓柱坐標系，令其沿z

軸放置，且傳播方向為正z

方向。以直角坐標為例，則該導(dǎo)波系統(tǒng)中的電場與磁場可以分別表示為，。而且應(yīng)該滿足下列矢量亥姆霍茲方程為傳播常數(shù)

由前獲知，上式包含了六個直角坐標分量及，它們分別滿足齊次標量亥姆霍茲方程。根據(jù)導(dǎo)波系統(tǒng)的邊界條件，利用分離變量法即可求解這些方程。但是實際上并不需要求解六個坐標分量，因為它們不是完全獨立的。根據(jù)麥克斯韋方程，可以求出x分量及y分量和z分量的關(guān)系為式中這種方法稱為縱向場法。7.1.2電磁波沿均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)傳播的一般解

TEM波、TE波及TM波的電場方向及磁場方向與傳播方向的關(guān)系如下圖示。TEM波EHesTE波EHesTM波EHes可以證明，能夠建立靜電場的導(dǎo)波系統(tǒng)必然能夠傳輸TEM波。根據(jù)麥克斯韋方程也可說明金屬波導(dǎo)不能傳輸TEM波。名稱波形電磁屏蔽使用波段雙導(dǎo)線

TEM波

差>3m同軸線TEM波好>10cm帶狀線TEM波差厘米波微帶準TEM波差厘米波矩形波導(dǎo)TE或TM波好厘米波、毫米波圓波導(dǎo)TE或TM波好厘米波、毫米波光纖TE或TM波差光波幾種常用導(dǎo)波系統(tǒng)的主要特性在直角坐標系下，矢量拉普拉斯算符可分解為與橫截面坐標有關(guān)的和與縱坐標有關(guān)的兩部分，即代入波動方程得即對于TEM波，當(dāng)表明傳播TEM波的導(dǎo)波系統(tǒng)中，電場必須滿足橫向拉普拉斯方程。證明：對于沿Z方向均勻一致的導(dǎo)波系統(tǒng)，因此已知靜電場在無源區(qū)域中滿足拉普拉斯方程，即比較式（7-10）與式（7-12）可見，TEM波電場所滿足的微分方程與同一系統(tǒng)處在靜態(tài)場中其電場所滿足的微分方程相同，又由于它們的邊界條件相同，因此，它們的場結(jié)構(gòu)完全一樣，由此得知：任何能建立靜電場的導(dǎo)波系統(tǒng)必然能夠維持TEM波。平行雙導(dǎo)線、同軸線以及帶狀線等能夠建立靜電場，因此他們可以傳播TEM波。金屬波導(dǎo)中不可能存在靜電場，因此金屬波導(dǎo)不可能傳播TEM波。7.2.1矩形波導(dǎo)中的場量表達式矩形波導(dǎo)形狀如下圖示，寬壁的內(nèi)尺寸為a，窄壁的內(nèi)尺寸為b。

azyxb

,

已知金屬波導(dǎo)中只能傳輸TE波及TM波，現(xiàn)在分別討論他們在矩形波導(dǎo)中的傳播特性。若僅傳輸TM波，則Hz=0。按照縱向場法，此時僅需求出Ez分量，然后即可計算其余各個分量。已知電場強度的z

分量可以表示為7.2矩形波導(dǎo)它應(yīng)滿足齊次標量亥姆霍茲方程，即

其振輻也滿足同樣的齊次標量亥姆霍茲方程，即為了求解上述方程，采用分離變量法。令代入上式，得式中X"表示X對x的二階導(dǎo)數(shù)，Y"表示Y對y的二階導(dǎo)數(shù)。由于上式中的第二項僅為y函數(shù)，而右端為常數(shù)，因此，若將此式對x

求導(dǎo)，得知左端第一項應(yīng)為常數(shù)。若對y

求導(dǎo)，得知第二項應(yīng)為常數(shù)。現(xiàn)分別令這里，kx

和ky

稱為分離常數(shù)。利用邊界條件即可求解這些分離常數(shù)。顯然由上可見，原來的二階偏微分方程，經(jīng)過變量分離后變?yōu)閮蓚€常微分方程，因此求解簡便。兩個常微分方程的通解分別為式中常數(shù)C1，C2，C3，C4取決于導(dǎo)波系統(tǒng)的邊界條件。已知Ez

分量與波導(dǎo)四壁平行，因此在x=0,a及y=0,b

的邊界上Ez

=0。由此決定上述常數(shù)，再根據(jù)這些結(jié)果求出分離常數(shù)為代入前式即可求出矩形波導(dǎo)中TM波的各個分量為式中由式（7-32）可見：（1）m和n可以取不同的值，因此，和每取一組值，式（7-32）就表示波導(dǎo)中TM波的一種傳播摸式，以表示，所以波導(dǎo)中可以有無限多個TM模式。（2）m表示場量在波導(dǎo)寬邊上變化的半個駐波的數(shù)目，n表示場量在波導(dǎo)窄邊上變化的半個駐波的數(shù)目。由的表達式可以看出和不能取為零，所以矩形波導(dǎo)中最低階的TM模式是波。（3）波導(dǎo)中的電磁波沿x、y方向為駐波分布，沿z方向為行波分布。類似地可以導(dǎo)出矩形波導(dǎo)中TE波的各個分量為 與TM波一樣，TE波也具有前述多模特性，但此時m及n不能同時為零。因此，TE波的最低模式為TE01波或TE10波。所對應(yīng)的頻率（波長）稱為截止頻率（波長）7.2.2矩形波導(dǎo)中的電磁波傳播特性

由得到矩形波導(dǎo)中的傳播常數(shù)為即當(dāng)時，為實數(shù)，因子代表向正z方向傳播的波。當(dāng)時，為虛數(shù)，因子此式表明時變電磁場沒有傳播，而是沿正Z方向不斷衰減的凋落場。電磁波在波導(dǎo)中傳播的條件是。相應(yīng)的截止波長為電磁波在波導(dǎo)中的相速度為電磁波在波導(dǎo)中傳播時所對應(yīng)的波長稱為波導(dǎo)波長，式中為電磁波在參數(shù)為，的無限大媒質(zhì)中的波長，也稱為工作波長。

TM波的波阻抗為。TE波的波阻抗為在矩形波導(dǎo)中下標m和n（）相同的和模具有相同的截止波長，截止波長相同的模式稱為簡并模，所以和模簡并。波導(dǎo)中的橫向電場與橫向磁場之比定義為波導(dǎo)的波抗。時，傳播多個模式的波，稱為多模工作區(qū)。7.2.3矩形波導(dǎo)中的主模具有最低截止頻率的模式稱為主模，所以波是矩形波導(dǎo)的主模。截止區(qū)TM11TE01TE20TE100a2a

c時，全部模式被截止，是截止區(qū)。時，只能傳播波，是單模工作區(qū)。要求矩形波導(dǎo)工作在單模工作區(qū)。波導(dǎo)寬壁尺寸應(yīng)滿足，窄壁尺寸應(yīng)滿足。工程上常取，。主模的場結(jié)構(gòu)令，求得矩形波導(dǎo)中的常用模式TE10波方程為

其余分量為零。瞬時表達式為

gHzHxEyzyyHxEyHzxa下圖給出了t=0

時刻，矩形波導(dǎo)中TE10波場強沿z方向及x方向的場分布。

沿x方向為駐波，沿z方向為行波。Hz的振輻沿x

按余弦分布，Hz及Ez

的振幅沿x

按正弦分布，但三者振幅均與y無關(guān)。根據(jù)理想導(dǎo)體表面僅可存在法向電場及切向磁場的邊界條件，即可理解這些分布規(guī)律的必然性。主模的管壁電流當(dāng)電磁波在波導(dǎo)中傳播時，在波導(dǎo)內(nèi)壁表面上將產(chǎn)生感應(yīng)電流，稱之為管壁電流。在微波頻率下，由于趨膚效應(yīng)使管壁電流集中在波導(dǎo)內(nèi)壁很薄的表面上流動，所以這種管壁電流可視為表面電流。繪出波導(dǎo)的管壁電流分布，如下圖xzyxyz

gba磁場線電場線

zyx內(nèi)壁電流在上下兩寬壁內(nèi)的管壁電流由x方向分量和z方向分量合成。在波導(dǎo)寬壁中央的面電流只有z方向分量，如果在波導(dǎo)寬壁中央沿z方向開一個縱向窄縫，不會切斷高頻電流的通路，因此波的電磁能量不會從該縱向窄縫輻射出來，波導(dǎo)內(nèi)的電磁場分布也不會改變，在微波技術(shù)中正是利用這一特點制成駐波測量線的。幾種高次模的場分布TE10TE11TE20TE21TM21TM11電場線磁場線圓波導(dǎo)的惟一尺寸是內(nèi)半徑a。為了求解圓波導(dǎo)中的電磁場分布，應(yīng)該選用圓柱坐標系，取圓波導(dǎo)的軸線為z軸，如左圖示。圓波導(dǎo)中電場和磁場可分別表示為與矩形波導(dǎo)類似，可以采用縱向場法，即先求出縱向分量Ez

或Hz，然后再導(dǎo)出其余分量。圓波導(dǎo)為單導(dǎo)體系統(tǒng)，因此波導(dǎo)中只能傳播TE、TM波。xyza

,

7.3圓波導(dǎo)7.3.1橫向場分量與縱向場分量之間的關(guān)系式中同樣可以根據(jù)波動方程推導(dǎo)出圓波導(dǎo)中電磁場縱向分量所滿足的方程7.3.2圓波導(dǎo)中的場量表達式對于TM波，Hz=0，先求出Ez

分量，然后再計算各個橫向分量。在無源區(qū)中，Ez

分量滿足下列標量亥姆霍茲方程將其在圓柱坐標系中展開，再將Ez

分量的表示式代入，得采用分離變量法，令代入上式，得式中及分別為R對r的二階和一階導(dǎo)數(shù)，為

對

的二階導(dǎo)數(shù)。

類似以前步驟，首先求出函數(shù)滿足的方程為此方程的通解為由于波導(dǎo)中的場分布隨角度

的變化應(yīng)以2

為周期，因此上式中m一定為整數(shù)，即圓波導(dǎo)具有軸對稱性，的坐標平面可以任意確定。那么，總可以適當(dāng)?shù)剡x擇坐標平面，使上式中的第一項或第二項消失，因此，

的解可以表示為求得令，則上式變?yōu)闃藴实呢惾麪柗匠?，即此式的通解為式中為第一類m階柱貝塞爾函數(shù)，為第二類m階柱貝塞爾函數(shù)。當(dāng)時，，而波導(dǎo)中心處的場量應(yīng)該為有限值，所以常數(shù)將式（7-62）以及代入式（7-51），并加上因子，得圓波導(dǎo)中TM波沿Z方向傳播的場量表達式。

令為第一類階貝塞爾函數(shù)的第個根，則式中為柱貝塞爾函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。常數(shù)決定于邊界條件。根據(jù)理想導(dǎo)體邊界條件，可以得到。式中下標，。表7-1列出了部分的值。如下表7-1貝塞爾函數(shù)的根nm1234

02.4055.5208.65411.792

13.8327.01610.17313.324

25.1368.41711.62014.796

36.3709.76113.01516.223對于TE波，Ez=0。采用上述同樣方法，先求出Hz

分量，然后再計算各個橫向分量，其結(jié)果為：

再根據(jù)邊界條件，求得常數(shù)kc為式中為第一類貝塞爾函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)根，其數(shù)值如下表。表7-2貝塞爾函數(shù)的根nm1234

03.8327.01610.17313.324

11.8415.3318.53611.706

23.0546.7069.96513.170

34.2018.01511.34614.5867.3.3圓波導(dǎo)中的電磁波傳播特性其截止頻率和截止波長分別為由左圖可見，TE11波具有最長的截止波長，其次是TM01波。

截止區(qū)0a2aTE01TE21TM01TE113a4a

c對于TE11及TM01由此可見，若工作波長

滿足，即可實現(xiàn)主模TE11波的單模傳輸。

反之，若工作波長

給定，為了實現(xiàn)TE11波單模傳輸，圓波導(dǎo)半徑a必須滿足和矩形波導(dǎo)一樣，圓波導(dǎo)中也存在簡并現(xiàn)象，一種是E-H簡并，另一種是極化簡并。7.3.4圓波導(dǎo)中的三種常用模式（1）圓波導(dǎo)中的主模模場量表達式為圓波導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)與矩形波導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)相似，因此圓波導(dǎo)模很容易通過矩形波導(dǎo)模過渡得到。圖7-10圓波導(dǎo)中模的場結(jié)構(gòu)分布圖由于模具有極化簡并，即使這樣也不能保證圓波導(dǎo)的單模傳播，所以在實用中不用圓波導(dǎo)傳輸信號。（2）圓波導(dǎo)中的模場量表達式為：式中，

TE01圓波導(dǎo)中模的場結(jié)構(gòu)分布圖電場線磁場線（1）電磁場沿方向不變化，場分布具有軸對稱，不存在極化簡并；（2）電場只有分量，電力線在橫截面內(nèi)是一些同心圓，在波導(dǎo)中心和波導(dǎo)壁附近為零；（3）在管壁附近只有分量，所以管壁電流只有分量；（4）模的導(dǎo)體損耗功率隨頻率的升高而單調(diào)下降，適合遠距離傳輸。(3)圓波導(dǎo)中的模場量表達式為

式中

TM01

圓波導(dǎo)中模的場結(jié)構(gòu)分布圖電場線磁場線（1）電磁場沿方向不變化，場分布具有軸對稱，不存在極化簡并；（2）磁場只有分量，磁力線在橫截面內(nèi)是一些同心圓，處，，管壁電流只有分量。7.4同軸線同軸線的結(jié)構(gòu)如下圖示，其主要尺寸是內(nèi)導(dǎo)體的半徑a和外導(dǎo)體的內(nèi)半徑b。內(nèi)外導(dǎo)體之間可以填充介質(zhì)或為空氣，電磁波在內(nèi)外導(dǎo)體之間傳播。同軸線是一種性能良好的微波傳輸線，它具有與波導(dǎo)一樣完全電磁屏蔽的優(yōu)點，而且工作頻帶較寬。同軸線中電場線為沿半徑方向的徑向線，磁場線為沿角度方向的閉合圓，同軸線是一種典型的TEM傳輸線。yzabx電場線磁場線

TEM波在橫截面上的場分布與同一結(jié)構(gòu)中的相應(yīng)靜態(tài)場分布一致。根據(jù)高斯定律，可以求得兩導(dǎo)體間的電場只有徑向分量,得到場解為左圖為同軸線中TEM波的場結(jié)構(gòu)

TEM波存在的條件是，這就意味著TEM波的截止波長為無窮大，同軸線不存在截止現(xiàn)象。傳播常數(shù)相速度波導(dǎo)波長波阻抗同軸線也可看作為一種圓波導(dǎo)，除了傳輸TEM波以外，還可存在TE波及TM波。同軸線中非TEM波的波型分析方法與圓波導(dǎo)類似。但是由于同軸線具有內(nèi)導(dǎo)體，變量的范圍是，所以或的解必須包括第一類和第二類貝塞爾函數(shù)。對于TM波及TE波，利用邊界條件即可求出傳播常數(shù)kc，計算各個模式的截止波長。幾種模式的截止波長分布如左圖示。0TE10TM01TE11

(a+b)

c

(b-a)對TM波因此，為了抑制同軸線中的非TEM波，工作波長

必須滿足。TEM波0TE10TM01TE11

(a+b)

c

(b-a)由圖可見，TE11波具有最長的截止波長，其值為。或者說，同軸線的尺寸應(yīng)滿足由此可見，為了消除同軸線中的高次模，隨著頻率升高，同軸線的尺寸必須相應(yīng)地減小。但尺寸過小，損耗增加，且限制了傳輸功率。因此，同軸線的使用頻率一般低于3GHz。但是，同軸線的傳輸頻率并無下限，這也TEM波傳輸線的共性。7.5.1波導(dǎo)中的傳輸功率式中，為波導(dǎo)內(nèi)的橫向電場和橫向磁場。當(dāng)波導(dǎo)中填充理想介質(zhì)時，波導(dǎo)內(nèi)的橫向電場與橫向磁場相位相同，因此代表波阻抗和。7.5波導(dǎo)中的傳輸功率與損耗根據(jù)波導(dǎo)中的橫向電場和橫向磁場，可以得到波導(dǎo)中沿縱向傳播的電磁波的平均能流密度矢量，再對波導(dǎo)橫截面進行積分，即可以得到波導(dǎo)中的傳輸功率對于矩形波導(dǎo)以矩形波導(dǎo)為例。當(dāng)其傳輸主模TE10波時，求得的傳輸功率為若波導(dǎo)中介質(zhì)的擊穿場強為，則矩形波導(dǎo)能夠傳輸?shù)淖畲蠊β蕿閷嶋H中，為了安全起見，通常取傳輸功率。對于圓波導(dǎo)7.5.2波導(dǎo)中的功率損耗波導(dǎo)中的損耗主要來自兩個方面，其一是波導(dǎo)中的填充介質(zhì)引起的損耗，其二是實際波導(dǎo)壁的有限電導(dǎo)率產(chǎn)生的損耗。為了計算填充介質(zhì)產(chǎn)生的損耗，僅以有耗介質(zhì)的等效介電常數(shù)代替原來的介電常數(shù)即可。波導(dǎo)壁引起的損耗，嚴格計算非常復(fù)雜，通常仍然利用理想導(dǎo)電壁情況下的場強公式計算波導(dǎo)壁的損耗。但由于波導(dǎo)內(nèi)壁的電導(dǎo)率為有限值，波導(dǎo)內(nèi)的場強沿傳播方向是以衰減常數(shù)按指數(shù)規(guī)律衰減的，設(shè)其衰減常數(shù)為。電場強度為因此，傳輸功率可以表示為將上式對z

求導(dǎo)，得單位長度內(nèi)的功率衰減為因此，衰減常數(shù)為此式表明，計算衰減常數(shù)必須計算單位長度的損耗功率。要嚴格計算損耗功率是困難的，可采用近似近似方法，即先假定波導(dǎo)壁為理想導(dǎo)體，計算波導(dǎo)內(nèi)的場量分布，進而得到波導(dǎo)壁表面電流的大小和單位長度的損耗功率，再按式（7-95）便可計算出衰減常數(shù)。例計算矩形波導(dǎo)中傳輸TE10波時，衰減常數(shù)。 解已知當(dāng)矩形波導(dǎo)傳輸TE10波時，波導(dǎo)寬壁上的電流具有x

分量及z分量，而窄壁上只有y分量。因此，單位長度內(nèi)，寬壁上的損耗功率為式中，。單位長度內(nèi)窄壁上的損耗功率為式中，則單位長度內(nèi)總損耗功率為即可求得TE10波衰減常數(shù)為7.6諧振腔隨著頻率的升高，用LC振蕩回路將會遇到許多問題：（1）要求LC振蕩回路中的電感和電容很小，給結(jié)構(gòu)加工帶來困難；（2）當(dāng)回路的尺寸與工作波長相近時，回路容易產(chǎn)生電磁輻射，品質(zhì)因數(shù)下降；（3）在微波頻率下，LC回路的歐姆損耗和介質(zhì)損耗都很大，回路的品質(zhì)因數(shù)顯著下降。在微波波段可采用一段縱向兩端封閉的傳輸線或波導(dǎo)（稱之為諧振腔）實現(xiàn)高品質(zhì)因數(shù)的微波諧振電路。因此，矩形波導(dǎo)諧振腔中TE模的縱向場可以寫成7.6.1矩形波導(dǎo)諧振腔一、矩形波導(dǎo)諧振腔的場量表達式矩形波導(dǎo)諧振腔里的場量可以看作是由矩形波導(dǎo)中相應(yīng)的入射波和反射波疊加而成。將邊界條件代入上式得則再將邊界條件，代入上式得可得代入橫向場與縱向場關(guān)系式（7-5），同時將以代替類似地可以推導(dǎo)出矩形波導(dǎo)諧振腔中振蕩模式的場量表達式可見：1，矩形波導(dǎo)諧振腔中的場量沿x、y、z方向均為駐波；2，矩形波導(dǎo)諧振腔中可以存在無窮多個振蕩模式，用和表示；3，下標m、n、p分別表示場量沿x、y、z方向變化的半駐波數(shù)；4，對于TE振蕩模式，下標m、n可以為零，但不能同時為零，p不能為零；5，對于TM振蕩模式，下標m、n不能為零，p可以為零。二、矩形波導(dǎo)諧振腔的諧振頻率金屬腔中的電場及磁場在x

及z

方向上均形成駐波，但電場駐波及磁場駐波的時間相位差為。當(dāng)電場能量達到最大值時，磁場能量為零；反之，當(dāng)磁場能量達到最大值時，電場能量為零。電磁能量在電場與磁場之間不斷地交換，而且無須外界輸入能量一直存在，這種現(xiàn)象稱為諧振。發(fā)生諧振的頻率稱為諧振頻率，對應(yīng)的波長稱為諧振波長。顯然，只要諧振腔的長度為均可滿足邊界條件，即發(fā)生諧振。當(dāng)時，，，代入上式，得已知矩形波導(dǎo)中z向傳播常數(shù)為考慮到，求得諧振波長及諧振頻率分別為可見，諧振波長或諧振頻率不僅與諧振腔的尺寸有關(guān)，還與波導(dǎo)中的工作模式有關(guān)，每組（mnl）對應(yīng)于一種模式。

為了有效地設(shè)計諧振腔的耦合及調(diào)諧裝置，必須了解諧振腔