專題14 冪的逆用專題訓(xùn)練（解析版）

專題14冪的逆用專題訓(xùn)練【知識(shí)點(diǎn)睛】?jī)绲倪\(yùn)算法則逆運(yùn)用：【類題訓(xùn)練】1．已知m、n均為正整數(shù)，且2m+3n＝5，則4m?8n＝（）A．16 B．25 C．32 D．64【分析】根據(jù)冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法法則解答即可．【解答】解：∵m、n均為正整數(shù)，且2m+3n＝5，∴4m?8n＝22m?23n＝22m+3n＝25＝32．故選：C．2．計(jì)算（）2021×（）2022×（﹣1）2023的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)有理數(shù)的乘方進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)有理數(shù)的乘法求出答案即可．【解答】解：（）2021×（）2022×（﹣1）2023＝（×）2021××（﹣1）＝12021××（﹣1）＝﹣1××1＝﹣，故選：D．3．計(jì)算（﹣0.125）2021×26063＝（）A．1 B．﹣1 C．8 D．﹣8【分析】根據(jù)積的乘方與冪的乘方解決此題．【解答】解：（﹣0.125）2021×26063＝＝＝＝（﹣1）2021＝﹣1．故選：B．4．已知a＝2﹣55，b＝3﹣44，c＝4﹣33，d＝5﹣22，則這四個(gè)數(shù)從小到大排列順序是（）A．a(chǎn)＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．a(chǎn)＜d＜c＜b D．b＜c＜a＜d【分析】直接利用冪的乘方運(yùn)算法則以及負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)統(tǒng)一各數(shù)指數(shù)，進(jìn)而比較即可．【解答】解：∵a＝2﹣55＝（2﹣5）11＝，b＝3﹣44＝（3﹣4）11＝，c＝4﹣33＝（4﹣3）11＝，d＝5﹣22＝（5﹣2）11＝∴b＜c＜a＜d．故選：D．5．已知xm＝a，xn＝b，m，n均為正整數(shù)，則x2m+n的值為（）A．2ab B．2a+b C．a(chǎn)2b D．a(chǎn)2+b【分析】逆向運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則以及利用冪的乘方運(yùn)算法則解答即可．同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．【解答】解：∵xm＝a，xn＝b，m，n均為正整數(shù)，∴x2m+n＝x2m?xn＝（xm）2?xn＝a2b．故選：C．6．已知32m＝5，32n＝10，則9m﹣n+1的值是（）A． B． C．﹣2 D．4【分析】由于已知的底數(shù)是3，而要求的代數(shù)式的底數(shù)是9，所以把要求代數(shù)式的底數(shù)變?yōu)?，利用積的乘方法則、逆用同底數(shù)冪的乘除法法則，變形結(jié)果后代入求值．【解答】解：原式＝[（3）2]m﹣n+1＝32m﹣2n+2＝32m÷32n×32∵32m＝5，32n＝10，∴原式＝5÷10×9＝．故選：A．7．若x＝2m+1，y＝4m﹣3，則下列x，y關(guān)系式成立的是（）A．y＝（x﹣1）2﹣4 B．y＝x2﹣4 C．y＝2（x﹣1）﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣3【分析】根據(jù)冪的乘方法則可得y＝4m﹣3＝22m﹣3，由x＝2m+1可得2m＝x﹣1，再根據(jù)冪的乘方計(jì)算即可．【解答】解：∵x＝2m+1，∴2m＝x﹣1，∴y＝＝4m﹣3＝22m﹣3＝（x﹣1）2﹣3，故選：D．8．已知a，b，c為自然數(shù)，且滿足2a×3b×4c＝192，則a+b+c的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】將原方程化為2a+2c?3b＝26?3，得到a+2c＝6，b＝1，再根據(jù)a，b，c為自然數(shù)，求出a，c的值，進(jìn)而求出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：2a+2c?3b＝26?3，∴a+2c＝6，b＝1，∵a，b，c為自然數(shù)，∴當(dāng)c＝0時(shí)，a＝6；當(dāng)c＝1時(shí)，a＝4；當(dāng)c＝2時(shí)，a＝2；當(dāng)c＝3時(shí)，a＝0，∴a+b+c不可能為8．故選：D．9．若am＝5，an＝2，則a3m+2n＝．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)閍m＝5，an＝2，所以a3m+2n＝a3m?a2n＝（am）3?（an）2＝53×22＝125×4＝500．故答案為：500．3．計(jì)算82021×（0.125）2022＝【分析】利用積的乘方的法則進(jìn)行求解即可．【解答】解：82021×（0.125）2022＝82021×（0.125）2021×0.125＝（8×0.125）2021×0.125＝12021×0.125＝1×0.125＝0.125．故答案為：0.125．10．已知x2n＝2，則（x3n）2﹣（x2）2n的值為．【分析】利用冪的乘方變形，把x2n＝2看作一個(gè)整體，代入求的數(shù)值即可．【解答】解：∵x2n＝2，∴（x3n）2﹣（x2）2n＝（x2n）3﹣（x2n）2＝8﹣4＝4．故答案為：4．11．27×9×3＝3x，則x＝．【分析】利用冪的乘方的法則及同底數(shù)冪的乘法的法則對(duì)式子進(jìn)行整理，從而要可求解．【解答】解：∵27×9×3＝3x，∴33×32×3＝3x，則33+2+1＝3x，36＝3x，∴x＝6．故答案為：6．12．如果等式（2a﹣1）a+2＝1成立，則a的值為．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）可得a+2＝0，且2a﹣1≠0，1的任何次方都是1可得2a﹣1＝1，再解即可．【解答】解：由題意得：①2a﹣1＝1，解得：a＝1，②a+2＝0，且2a﹣1≠0，解得：a＝﹣2，③當(dāng)a＝0時(shí)，原式＝1．故答案為：0或1或﹣2．13．計(jì)算：（1）﹣12021﹣0.5﹣1﹣（﹣）﹣2+（π+2）0；（2）（﹣）2017×（2）2018．（3）0.44×0.24×12.54﹣．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義以及零指數(shù)冪的定義計(jì)算即可；（2）積的乘方，把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，據(jù)此計(jì)算即可．（3）逆用積的乘方的運(yùn)算法則對(duì)式子進(jìn)行運(yùn)算，再用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則運(yùn)算，最后進(jìn)行減法運(yùn)算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2﹣9+1＝﹣11；（2）原式＝＝＝＝＝．（3）＝（0.4×0.2×12.5）4﹣（﹣2﹣1）﹣3＝14﹣（﹣23）＝1+8＝9．14．計(jì)算：（1）（0.5×3）199×（﹣2×）200（2）0.259×220×259×643．（3）（×××…××1）10?（10×9×8×…×3×2×1）10【分析】（1）根據(jù)積的乘方的運(yùn)算法則求解；根據(jù)冪的乘方和積的乘方運(yùn)算法則求解．（3）根據(jù)冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算可得【解答】解：（1）原式＝（0.5×3）199×（﹣2×）199×（﹣2×）＝（0.5×﹣2）199×（3×）199×（﹣2×）＝；（2）原式＝0.518×220×518×218＝0.518×218×518×218×22＝（0.5×2×5×2）18×4＝4×1018．（3）原式＝（×××…××1×10×9×8×…×3×2×1）10＝110＝1．15．（1）已知am＝3，an＝4，求a2m+3n的值：（2）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．【分析】（1）利用冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法求解即可；（2）利用冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法求解即可．【解答】解：（1）a2m+3n＝a2m?a3n＝（am）2?（an）3＝32×43＝576．（2）∵9n+1﹣32n＝72，∴9n×9﹣9n＝72，8×9n＝72，∴n＝1．16．已知3m＝4，3n＝5，分別求3m+n與32m﹣n的值．【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的法則，同底數(shù)冪的除法的法則，冪的乘方的法則對(duì)所求的式子進(jìn)行整理，再代入運(yùn)算即可．【解答】解：當(dāng)3m＝4，3n＝5時(shí)，3m+n＝3m×3n＝4×5＝20；32m﹣n＝32m÷3n＝（3m）2÷3n＝42÷5＝16÷5＝．17．5．（1）已知a+3b＝4，求3a×27b的值；（2）已知n是正整數(shù)，且x3n＝2，求（3x3n）2+（﹣2x2n）3的值．【分析】（1）利用冪的乘方與積的乘方和同底數(shù)冪的乘法法則，利用整體代入的方法解答即可；（2）利用冪的乘方與積的乘方法則與合并同類項(xiàng)的法則，用整體代入的方法解答即可．【解答】解：（1）原式＝3a×（33）b＝3a×33b＝3a+3b＝34＝81．（2）原式＝9x6n﹣8x6n＝x6n＝（x3n）2＝22＝4．18．已知n為正整數(shù)，且x2n＝4（1）求xn﹣3?x3（n+1）的值；（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方法則將原式化簡(jiǎn)為（x2n）2，再把x2n＝4代入進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方法則將原式化簡(jiǎn)為9（x2n）3﹣13（x2n）2，再把x2n＝4代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵x2n＝4，∴xn﹣3?x3（n+1）＝xn﹣3?x3n+3＝x4n＝（x2n）2＝42＝16；（2）∵x2n＝4，∴9（x3n）2﹣13（x2）2n＝9x6n﹣13x4n＝9（x2n）3﹣13（x2n）2＝9×43﹣13×42＝576﹣208＝368．19．閱讀，學(xué)習(xí)和解題．（1）閱讀和學(xué)習(xí)下面的材料：比較355，444，533的大?。治觯盒偼瑢W(xué)發(fā)現(xiàn)55，44，33都是11的倍數(shù)，于是把這三個(gè)數(shù)都轉(zhuǎn)化為指數(shù)為11的冪，然后通過比較底數(shù)的方法，比較了這三個(gè)數(shù)的大?。夥ㄈ缦拢航猓骸?55＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511，∴533＜355＜444．學(xué)習(xí)以上解題思路和方法，然后完成下題：比較34040，43030，52020的大?。?）閱讀和學(xué)習(xí)下面的材料：已知am＝3，an＝5，求a3m+2n的值．分析：小剛同學(xué)發(fā)現(xiàn)，這些已知的和所求的冪的底數(shù)都相同，于是逆用同底數(shù)冪和冪的乘方公式，完成題目的解答．解法如下：解：∵a3m＝（am）3＝33＝27，a2n＝（an）2＝52＝25，∴a3m+2n＝a3m?a2n＝27×25＝675．學(xué)習(xí)以上解題思路和方法，然后完成下題：已知am＝2，an＝3，求a2m+3n的值．（3）計(jì)算：（﹣16）505×（﹣0.5）2021．【分析】（1）運(yùn)用類比的方法把4040化為4×1010，3030化為3×1010，2020化為2×1010，并運(yùn)用冪的乘方的逆運(yùn)算可得結(jié)論；（2）根據(jù)冪的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則把原式變形，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可；（3）根據(jù)冪的乘方和有理數(shù)的乘方可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵34040＝（34）1010＝811010，43030＝（43）1010＝641010，52020＝（52）1010＝251010，且81＞64＞25，∴34040＞43030＞52020；（2）∵am＝2，an＝3，∴a2m+3n＝（am）2?（an）3＝22×33＝4×27＝108；（3）（﹣16）505×（﹣0.5）2021＝﹣24×505×（﹣0.5）2021＝﹣22020×（﹣0.5）2021＝（2×0.5）2020×＝．20．閱讀：已知正整數(shù)a、b、c，顯然，當(dāng)同底數(shù)時(shí)，指數(shù)大的冪也大，若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a＞c時(shí)，則有ab＞cb，根據(jù)上述材料，回答下列問題．（1）比較大?。?20420（填寫＞、＜或＝）．（2）比較233與322的大?。▽懗霰容^的具體過程）．（3）計(jì)算42021×0.252020﹣82021×0.1252020．【分析】（1）根據(jù)同指數(shù)的冪底數(shù)越大冪越大，可得答案．（2）根據(jù)冪的乘方，可得指數(shù)相同的冪，根據(jù)底數(shù)越大冪越大，可得答案；（3）逆向運(yùn)用積的乘方運(yùn)算法則解答即可．【解答】解：（1）∵5＞4，∴520＞420，故答案為：＞；（2）∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，又∵811＜911，∴233＜322；（3）42021×0.252020﹣82021×0.1252020＝＝4×12020﹣8×12020＝4﹣8＝﹣4．21．若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整數(shù)），則m＝n，利用上面結(jié)論解決下面的問題：（1）如果2x?23＝32，求x的值；（2）如果2÷8x?16x＝25，求x的值；（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代數(shù)式表示y．【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵2x?23＝32，∴2x+3＝25，∴x+3＝5，∴x＝2；（2）∵2÷8x?16x＝25，∴2÷23x?24x＝25，∴21﹣3x+4x＝25，∴1+x＝5，∴x＝4；（3）∵x＝5m﹣2，∴5m＝x+2，∵y＝3﹣25m，∴y＝3﹣（5m）2，∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．22．規(guī)定兩數(shù)a，b之間的種運(yùn)算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（5，125）＝；（5，1）＝；（2，）＝；（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)特例：對(duì)任意的正整數(shù)n，（3n，4n）＝（3，4）．小明給了如下的證明：設(shè)（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）請(qǐng)根據(jù)以上規(guī)律：計(jì)算：（16，10000）﹣（64，1000000）．（3）證明下面這個(gè)等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）．【分析】（1）根據(jù)題目中的規(guī)定，進(jìn)行運(yùn)算即可得出結(jié)果；（2）（16，10000）可轉(zhuǎn)化為（24，104），（64，1000000）可轉(zhuǎn)化為（26，106），從而可求解；（3）設(shè)（3，20）＝x，（3，