關(guān)于半環(huán)上矩陣廣義逆的一些等價(jià)刻畫

關(guān)于半環(huán)上矩陣廣義逆的一些等價(jià)刻畫

1半環(huán)矩陣的標(biāo)記在矩陣?yán)碚撗芯恐?，除了研究域或環(huán)矩陣的廣義逆外，我們還研究了其他代際系統(tǒng)的廣義逆，取得了良好的成果。在此基礎(chǔ)上，本文討論了通用半矩陣的廣義逆，并給出了各種等效條件，如半矩陣的廣義逆排列和{1.2]。同時(shí)，我們可以證明m-p是唯一的。定義1一個(gè)半環(huán)H是帶有兩個(gè)二元運(yùn)算“+”與“·”的代數(shù)系統(tǒng)且滿足:①(H,+,0)是一個(gè)交換么半群,其中0是H的加法恒等元;②(H,·,1)是一個(gè)么半群,其中1是H的乘法恒等元;③?x、y、z∈H,均有(x+y)z=xz+yz,x(y+z)=xy+xz;④?x∈H,均有x·0=0·x=0;⑤0≠1.顯然,有乘法恒等元的環(huán)均為半環(huán).除此之外,二元布爾代數(shù)B={0,1}、非負(fù)整數(shù)、非負(fù)實(shí)數(shù)、模糊代數(shù)F=[0,1]以及有界分配格也均為半環(huán).一個(gè)半環(huán)H稱為交換半環(huán),如果?a,b∈H,ab=ba.本文中若無特別聲明,半環(huán)H均為交換半環(huán).半環(huán)H上m×n矩陣的全體記作Mm×n(H).特別地,當(dāng)m=n時(shí)簡記為Mn(H).對(duì)于任意的A=(aij),B=(bij)∈Mm×n(H),C=(cij)∈Mn×r(H),D=(dij)∈Mn×m(H),定義A+B=(aij+bij)m×n;aA=(aaij),其中a∈HAC=(n∑l=1ailclj)m×rAC=(∑l=1nailclj)m×r;AT=D?aji=dij(1≤i≤n,1≤j≤m)記En=(δij)∈Mn(H),其中δij={1i=j0i≠jδij={1i=j0i≠j,稱En為單位矩陣.另外,用O表示零矩陣.易知(Mn(H),+,·)構(gòu)成一個(gè)半環(huán).定義2設(shè)A∈Mn(H),A稱為可逆的,若存在B∈Mn(H),使得AB=BA=En.定義3設(shè)A∈Mm×n(H).A稱為正則的,若存在矩陣G∈Mn×m(H),使得AGA=A.此時(shí),G稱為A的一個(gè)廣義逆(g-逆),記為A(1)或A-.A(1)的全體記為A{1}.定義4設(shè)A∈Mm×n(H).矩陣G∈Mn×m(H)稱為A的{1,2}-逆,如果G同時(shí)滿足①AGA=A,②GAG=G.A的任一個(gè){1,2}-逆記為A(1,2),A的{1,2}-逆的全體記為A{1,2}.若A無{1,2}-逆,則記A{1,2}=?.定義5設(shè)A∈Mm×n(H).矩陣G∈Mn×m(H)稱為A的一個(gè)Moore—Penrose逆,如果G同時(shí)滿足AGA=A,GAG=G,(AG)T=AG,(GA)T=GA.A的Moore—Penrose逆簡稱為M-P逆,并記為A+.2[b-][b-b]引理1設(shè)A∈Mm×n(H),且有如下分塊形式:A=[B000](B∈Μs×t(Η),1≤s≤m,1≤t≤n)若B正則,則A也正則,且A{1}={[B-XYΖ]|B-∈B{1},X∈Μt×(m-s)(Η),Y∈Μ(n-t)×s(Η),Ζ∈Μ(n-t)×(m-s)(Η)}證明若B正則,任取B-∈B{1},則(BΟΟΟ)(B-ΟΟΟ)(BΟΟΟ)=(BB-BΟΟΟ)=(BΟΟΟ),即(B-ΟΟΟ)∈A{1},故A正則.現(xiàn)設(shè)G=[G11G12G21G22]∈A{1},其中G11∈Mt×s(H),則AGA=A?[B000][G11G12G21G22][B000]=[B000]?[BG11B000]=[B000]?BG11B=B,即G11∈B{1}.故A{1}?{[B-XYΖ]|B-∈B{1},X∈Μt×(m-s)(Η),Y∈Μ(n-t)×s(Η),Ζ∈Μ(n-t)×(m-s)(Η)}反之,可直接驗(yàn)證,?X∈Mt×(m-s)(H),Y∈M(n-t)×s(H),Z∈M(n-t)×(m-s)(H),均有[B000][B-XYΖ][B000]=[B000]所以,A{1}={[B-XYΖ]|B-∈B{1},X∈Μt×(m-s)(Η),Y∈Μ(n-t)×s(Η),Ζ∈Μ(n-t)×(m-s)(Η)}.證畢.引理2設(shè)A∈Mm×n(H)具有形式A=[BCΟΟ],其中B∈Ms×t(H),1≤s≤m,1≤t≤n,同時(shí)B與C均正則.若存在B-∈B{1},C-∈C{1}使得BB-C=O,CC-B=O,則A正則并且[B-G12C-G22]∈A{1},其中G12,G22為任意的適當(dāng)階數(shù)的矩陣.證明設(shè)G=[B-G12C-G22]∈Μn×m(Η),其中G12,G22為任意的相應(yīng)階數(shù)的矩陣.則有AGA=[BCΟΟ][B-G12C-G22][BCΟΟ]=[BB-B+CC-BBB-C+CC-CΟΟ]=[BCΟΟ](因?yàn)锽-∈B{1},C-∈C{1},BB-C=O,CC-B=O)=A.于是A正則且G=[B-G12C-G22]∈A{1}.證畢.類似于引理2,有:引理3設(shè)A∈Mm×n(H)具有形式A=[BΟCΟ],其中B∈Ms×t(H),1≤s≤m,1≤t≤n,同時(shí)B與C均正則.若存在B-∈B{1},C-∈C{1}使得BC-C=O,CB-B=O,則A正則并且[B-C-G21G22]∈A{1},其中G21、G22為任意的適當(dāng)階數(shù)的矩陣.引理4若A∈Mm×n(H)且A正則,則對(duì)任意可逆矩陣U∈Mm(H)與V∈Mn(H),UAV也正則.并且(UAV){1}={V-1GU-1|G∈A{1}}證明從略.定理1設(shè)A∈Mm×n(H).若存在可逆矩陣U∈Mm(H)及V∈Mn(H)使得UAV=[BΟΟΟ](B∈Μs×t(Η),1≤s≤m,1≤t≤n)若B{1}≠?,則A{1}≠?,并且A{1}={V[B-XYΖ]U|B-∈B{1},X∈Μt×(m-s)(Η),Y∈Μ(n-t)×s(Η),Ζ∈Μ(n-t)×(m-s)(Η)}證明由引理1知,(UAV){1}=[BΟΟΟ]{1}={[B-XYΖ]|B-∈B{1},X∈Μt×(m-s)(Η),Y∈Μ(n-t)×s(Η),Ζ∈Μ(n-t)×(m-s)(Η)}又由引理4知,A{1}={V[B-XYΖ]U|B-∈B{1},X∈Μt×(m-s)(Η),Y∈Μ(n-t)×s(Η),Ζ∈Μ(n-t)×(m-s)(Η)}證畢.推論1若H為一個(gè)域,則H上的任何矩陣均為正則矩陣.證明如果H為一個(gè)域,那么?A∈Mm×n(H)存在可逆矩陣U∈Mm(H)與V∈Mn(H),使得UAV=[EsΟΟΟ](1≤s≤min{m,n})而Es是正則的,所以由定理1知,A正則.定理2設(shè)A∈Mm×n(H)且存在可逆矩陣U∈Mm(H)與V∈Mn(H)使得UAV=[A1A1CDA1DA1C]其中A1∈Ms×t(H),1≤s≤m,1≤t≤n,C與D是適當(dāng)階數(shù)的矩陣,則下列條件等價(jià):①A-存在;②[A1DA1]-存在;③[A1A1C]-存在;④A-1存在.證明設(shè)A∈Mm×n(H)且存在可逆矩陣U、V以及矩陣C、D使得UAV=[A1A1CDA1DA1C]下證條件①、②、③、④互相等價(jià).先證由①推出④.如果A-存在,則由引理4知,(UAV)-存在.現(xiàn)取G=[G1G2G3G4]∈(UAV){1},其中Gi(1≤i≤4)是適當(dāng)階數(shù)的矩陣.因?yàn)閇A1A1CDA1DA1C]=[A1A1CDA1DA1C][G1G2G3G4][A1A1CDA1DA1C]=[A1((G1+G2D)+C(G3+G4D))A1A1((G1+G2D)+C(G3+G4D))A1CDA1((G1+G2D)+C(G3+G4D))A1DA1(G1+CG3+G2D+CG4D)A1C]所以A1=A1((G1+G2D)+C(G3+G4D))A1,即A-1存在并且G1+CG3+G2D+CG4D∈A1{1}其次證由②推出④.設(shè)[X1X2]∈[A1DA1]{1},其中X1,X2是適當(dāng)階數(shù)的矩陣,則[A1DA1]=[A1DA1][X1X2][A1DA1]=[A1(X1+X2D)A1DA1(X1+X2D)A1]于是A1=A1(X1+X2D)A1,即A-1存在并且X1+X2D∈A1{1}.從而④成立.再證由③推出④.若③成立,不妨設(shè)[Y1Y2]∈[A1A1C]{1},其中Y1,Y2是適當(dāng)階數(shù)的矩陣,則:[A1A1C]=[A1A1C][Y1Y2][A1A1C]=[A1(Y1+CY2)A1A1(Y1+CY2)A1C]所以A1=A1(Y1+CY2)A1,即A-1存在并且Y1+CY2∈A1{1}.于是④成立.最后證由④推出①、②、③.若④成立,不妨設(shè)Z∈A1{1},A1ZA1=A1,于是AV[ΖΟΟΟ]UA=U-1[A1A1CDA1DA1C]V-1V[ΖΟΟΟ]UU-1[A1A1CDA1DA1C]V-1=U-1[A1ΖA1A1ΖA1CDA1ΖA1DA1ΖA1C]V-1=U-1[A1A1CDA1DA1C]V-1=A所以A-存在且V[ΖΟΟΟ]U∈A{1}.同理可證[A1DA1]-與[A1A1C]-存在并且[ΖΟ]∈[A1DA1]{1}.(ΖΟ)∈([A1A1C]){1}.于是①、②與③均成立.綜上所述,條件①、②、③、④等價(jià).證畢.推論2設(shè)A是n階二元布爾矩陣且存在置換矩陣P、Q以及矩陣C、D使得ΡAQ=[A1A1CDA1DA1C]則下列命題等價(jià):①A-存在;②[A1DA1]-存在;③[A1A1C]-存在;④A-1存在.3uav引理5設(shè)A∈Mm×n(H),則A存在{1,2}-逆當(dāng)且僅當(dāng)A存在廣義逆.證明只需證充分性.設(shè)G1,G2∈A{1},并取G=G1AG2,則AGA=A(G1AG2)A=(AG1A)G2A=AG2A=A同時(shí)GAG=(G1AG2)A(G1AG2)=G1(AG2A)G1AG2=G1AG1AG2=G1(AG1A)G2=G1AG2=G.故G∈A{1,2}.引理6設(shè)A∈Mm×n(H)、U∈Mm(H)與V∈Mn(H)是可逆矩陣,則A有{1,2}-逆當(dāng)且僅當(dāng)UAV有{1,2}-逆,并且(UAV){1,2}={V-1GU-1|G∈A{1,2}}.證明從略.引理7設(shè)A∈Mm×n(H)且有如下分塊形式A=[BΟΟΟ],其中B∈Ms×t(H)(1≤s≤m,1≤t≤n).若B{1}≠?,則A{1,2}≠?,且A{1,2}={[B(1,2)XYYBX]|B(1,2)∈B{1,2},X∈Μt×(m-s)(Η),Y∈Μ(n-t)×s(Η),并且X=B(1,2)BX,Y=YBB(1,2)}.證明B{1}≠?時(shí),由引理5得B{1,2}≠?,而由引理1知A{1}≠?,再由引理5得A{1,2}≠?.設(shè)G∈A{1,2},則G∈A{1},由引理1知[WXYΖ][BΟΟΟ][WXYΖ]=[WXYΖ],即[WBWWBXYBWYBX]=[WXYΖ],于是W=WBW,X=WBX,Y=YBW,Z=YBX,從而W∈B{1,2}(因W∈B{1}),這樣G∈{[B(1,2)XYYBX]|B(1,2)∈B{1,2},X∈Μt×(m-s)(Η),Y∈Μ(n-t)×s(Η),Ζ∈Μ(n-t)×(m-s)(Η),并且X=B(1,2)BX,Y=YBB(1,2)}.反之,可直接驗(yàn)證,集合{[B(1,2)XYYBX]|B(1,2)∈B{1,2},X∈Μt×(m-s)(Η),Y∈Μ(n-t)×s(Η),Ζ∈Μ(n-t)×(m-s)(Η),并且X=B(1,2)BX,Y=YBB(1,2)}中每一個(gè)元素均屬于A{1,2}.證畢.定理3設(shè)A∈Mm×n(H)且存在可逆矩陣U∈Mm(H)與V∈Mn(H)使得UAV=[BΟΟΟ](B∈Μs×t(Η),1≤s≤m,1≤t≤n)若B{1,2}=?,則A{1,2}=?,且A{1,2}={V[B(1,2)XYYBX]U|B(1,2)∈B{1,2},X∈Μt×(m-s)(Η),Y∈Μ(n-t)×s(Η),并且X=B(1,2)BX,Y=YBB(1,2)}.證