考點14 直線與圓的位置關(guān)系的7大題型方法歸類-原卷版

考點14直線與圓的位置關(guān)系的7大題型方法歸類1直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法（1）只有當(dāng)直線與圓相切時，直線與圓的公共點才稱為切點；(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系，可以通過公共點的個數(shù)判斷，若不知道公共點的個數(shù)，就需要轉(zhuǎn)化為比較圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系。設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點直線與相離相切直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，公共點叫做切點直線與相切相交直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線直線與相交2切線的判定定理和輔助線的作法圓的切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。作輔助線判定圓的切線的常用方法：①有交點，連半徑，證重直；②無交點，作垂直，證半徑。利用圓的切線的判定定理判定切線時，把握兩個要素：一是經(jīng)過半徑的外端點，二是垂直于這條半徑.這兩者缺一不可。3切線的性質(zhì)定理（1）圓的切線垂直于過切點的半徑.（2）切線的主要性質(zhì)：A切線和圓只有一個公共點；B圓心到切線的距離等于圓的半徑；C切線垂直于過切點的半徑；D經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；E經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心切線的性質(zhì)C、D、E可歸納如下：對于如下三個結(jié)論：①過圓心，②過切點，③垂直于切線，若直線滿足這三個結(jié)論中的任意兩個，便可得到第三個結(jié)論。注：如果直線上一個點到圓心的距離等于圓的半徑，那么這條直線與圓可能相切也可能相交。4切線長定理進行幾何計算或證明的方法1.切線長經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長。2切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。注：(1)圓的切線一般指的是直線，而切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長度；切線長定理可以通過判定直角三角形全等的判定定理“HL”進行證明。利用切線長定理進行幾何計算或證明：先構(gòu)建切線長定理的基本圖形，再利用切線長相等這一性質(zhì)進行等量轉(zhuǎn)化，或利用切線長定理中所隱含的等腰三角形、垂直平分線等條件來進行計算或證明.5直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系的求法設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,r為其內(nèi)切圓的半徑長，若利用切線長定理推導(dǎo)，則r=(a+b-c)/2;若利用等面積法推導(dǎo)，則r=aba6三角形內(nèi)切圓概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．內(nèi)心和外心的區(qū)別：外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點。作法：做三角形三邊垂直平分線，取交點即為外接圓圓心。性質(zhì)：外接圓圓心到三角形三個頂點距離相等。內(nèi)切圓圓心：三角形三個內(nèi)角平分線的交點。作法：做三角形三角的角平分線，取交點即為內(nèi)接圓圓心。性質(zhì)：內(nèi)接圓圓心到三角形三邊距離相離。直角三角形三邊和內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系：7圓的綜合問題考點1直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法考點2切線的判定定理和輔助線的作法考點3切線的性質(zhì)定理考點4切線長定理進行幾何計算或證明的方法考點5直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系考點6三角形內(nèi)切圓考點7圓的綜合問題考點1直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法1．（2023秋·九年級課時練習(xí)）已知的半徑為是直線上的三個點，點到圓心的距離分別為，，則直線和的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定2．（2023春·廣東惠州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，，為上一點，且，以點為圓心，半徑為3的圓與的位置關(guān)系是（

）

A．相離 B．相交 C．相切 D．以上三種情況均有可能3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）中，，，，若以點C為圓心，以r為半徑的圓與所在直線相交，則r可能為（）A．1 B．1.5 C．2 D．34．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）設(shè)⊙O的直徑為m，直線l與⊙O相離，點O到直線l的距離為d，則d與m的關(guān)系是（）A．m＝d B．m＜d C．2d＞m D．2d＜m5．（2022春·九年級課時練習(xí)）已知的半徑為5，直線與有交點，則圓心到直線的距離可能為（

）．A．4.5 B．5.5 C．6 D．7考點2切線的判定定理和輔助線的作法6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點A、B、C均落在格點上．(1)的周長為______．(2)請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺在上確定一點，使以點為圓心，以為半徑的與相切．（保留作圖痕跡）7．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點，連接，作，交的延長線于點．求證：是的切線．

8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，的半徑為3．求證：是的切線．

9．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，以等邊三角形的邊為直徑畫，交于點于點．求證：是的切線．

10．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，是的外接圓，是的直徑，．(1)求證：是的切線；(2)若，垂足為交于點；求證：是等腰三角形．考點3切線的性質(zhì)定理11．（2023春·河北唐山·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，點O為線段的中點，點C為線段上一點（不與O，A重合），以點O為圓心，為半徑作圓O交線段于點D、，，，連接．

(1)求證：；(2)當(dāng)與圓O相切時，求的長度．12．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，過點作的切線，連接，過點O作，垂足為，交于點．

(1)求證：；(2)若點到的距離為，，求直徑的長．13．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為的直徑，為上一點．有下列三個條件：①直線是的切線；②于點；③平分，請在上述三個條件中任選兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論構(gòu)成一個真命題，并給出證明．

14．（2023秋·廣東廣州·九年級廣東廣雅中學(xué)?？计谀┤鐖D，，是的切線，A，B為切點，是⊙O的直徑，，求的度數(shù)．15．（2022秋·廣東廣州·九年級中山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的外接圓，是的直徑，點D在上，，連接，延長交過點C的切線于點E．(1)求證：；(2)求證：．考點4切線長定理進行幾何計算或證明的方法16．（2018春·九年級單元測試）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求：AF、BD、CE的長．17．（2022秋·重慶長壽·九年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的點O為圓心，OB的長為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D．（1）求證：BC=CD；

（2）求證：∠ADE=∠ABD；18．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，點是以為直徑的外一點，點是上一點，是的切線，，連接并延長交的延長線于點．

(1)求證：點是的中點；(2)若，的半徑為，求的長．19．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知：為的直徑，，弦，直線與相交于點C，弦在上運動且保持長度不變，的切線交于點F．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點E運動至與點B重合時，試判斷與是否相等，并說明理由．20．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AB是的直徑，過點D作的切線交BC的延長線于點E，交BA的延長線于點F，且，過點A作的切線交EF于點G，連接AC．(1)求證：AD平分；(2)若AD=5，AB=9，求線段DE的長．考點5直角三角形周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系21．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，⊙是的內(nèi)切圓，半徑為，切點為、、，連接，，．(1)若，，則

；(2)若的周長為，面積為，則，，之間有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由．22．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，的長分別為．求的內(nèi)切圓半徑r．23．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知，在以為弦的弓形劣弧上取一點（不包括，兩點），以為圓心作圓和相切，分別過，作的切線，兩條切線相交于點．求證：為定值．24．（2023秋·天津津南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的內(nèi)切圓與、、分別相切于點、、．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，，求的長．25．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知內(nèi)接于，且是的直徑，

(1)實踐與操作：請用尺規(guī)作圖法作出的內(nèi)心I；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）(2)推理與計算：連接并延長，與交于另一點D．若，，求的長．考點6三角形內(nèi)切圓26．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖內(nèi)接于，，是的直徑，點是延長線上一點，且，．

(1)求證：是的切線；(2)求的直徑；(3)當(dāng)點B在下方運動時，直接寫出內(nèi)心的運動路線長是．27．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，I是的內(nèi)心，的延長線交的外接圓于點D．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接、，求證：點D是的外心．28．（2022秋·山東日照·九年級日照市新營中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一塊等腰三角形鋼板的底邊長為，腰長為．(1)求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑：(2)用一個圓完整覆蓋這塊鋼板，這個圓的最小半徑是多少？(3)求這塊等腰三角形鋼板的內(nèi)心與外心之間距離．29．（2022春·四川廣安·九年級專題練習(xí)）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點F，交△ABC的外接圓⊙O于點D，連接BD，過點D作直線DM，使∠BDM＝∠DAC；（1）求證：直線DM是⊙O的切線；（2）若DF＝2，AF＝5，求BD長．30．（2021·九年級課時練習(xí)）已知：如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的長．考點7圓的綜合問題31．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）已知為的直徑，，C為上一點，連接．(1)如圖①，若C為的中點，求的大小和的長；(2)如圖②，若為的半徑，且，垂足為E，過點D作的切線，與的延長線相交于點F，求的長．32．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為BA的延長線上一點，連接CD．(1)如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長；(2)如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點，且∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB．33．（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E，延長EC，A