（小白高考）新高考數(shù)學(xué)(零基礎(chǔ))一輪復(fù)習(xí)教案5.2《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》 (原卷版)

頁(yè)第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.與向量線性運(yùn)算相結(jié)合，考查平面向量基本定理及其應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量的線性運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3．與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量共線，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a﹣b＝(x1﹣x2，y1﹣y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2﹣x1，y2﹣y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2﹣x2y1＝0.[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，﹣2)B．e1＝(﹣1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，﹣3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))2．已知向量a＝(﹣1,3)，b＝(2,1)，則3a﹣2b＝()A．(﹣7,7)B．(﹣3，﹣2)C．(6,2)D．(4，﹣3)3.已知向量a＝(m,4)，b＝(3，﹣2)，且a∥b，則m＝________.二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1.如圖，在正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2)B．﹣eq\f(1,2)C．1D．﹣12．已知A(﹣5,8)，B(7,3)，則與向量eq\o(AB,\s\up7(→))反向的單位向量為_(kāi)_______．3．給出下列三個(gè)向量：a＝(﹣2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，c＝(﹣1,1)，在這三個(gè)向量中任意取兩個(gè)作為一組，能構(gòu)成基底的組數(shù)為_(kāi)_______．考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用[典例](1)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(EC,\s\up7(→))，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則eq\o(BF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))﹣eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))﹣eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))C．﹣eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))D．﹣eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))(2)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ和μ，使得eq\o(BM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ＝()A.eq\f(1,2)B．﹣eq\f(1,2)C．2D．﹣2[方法技巧]平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．[針對(duì)訓(xùn)練]在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，則λ＋μ等于()A.eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)[典例](1)已知在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(﹣2,3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則eq\o(CO,\s\up7(→))的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))(2)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A．1B．2C．3D．4[方法技巧]平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(多選)已知點(diǎn)A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，與向量eq\o(AB,\s\up7(→))平行的向量的坐標(biāo)可以是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，3))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(9,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)，－3))D．(7,9)2．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，若向量a，b，c滿(mǎn)足c＝xa＋yb，且(ka﹣b)·c＝0，則eq\f(x＋y,k)＝________.考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示[典例](1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，﹣1)，且a﹣b與b共線，則x的值為_(kāi)_______．[方法技巧](1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2﹣x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，則a＝λb.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解．[針對(duì)訓(xùn)練]1．設(shè)向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，﹣2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2m，﹣1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(﹣2n，0)，m，n∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則m＋n的最大值為()A．﹣3B．﹣2C．2D．32．平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(﹣1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b﹣a)，求實(shí)數(shù)k；(2)若d滿(mǎn)足(d﹣c)∥(a＋b)，且|d﹣c|＝eq\r(5)，求d的坐標(biāo)．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．已知點(diǎn)M(5，﹣6)和向量a＝(1，﹣2)，若eq\o(MN,\s\up7(→))＝﹣3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A．(2,0)B．(﹣3,6)C．(6,2)D．(﹣2,0)2．已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，﹣1)，則與eq\o(AB,\s\up7(→))同方向的單位向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))3．已知向量a＝(﹣1,2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝﹣6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件4．已知向量a＝(1﹣sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，若a∥b，則銳角θ＝()A.eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D．eq\f(5π,12)5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段DC上的點(diǎn)．若DC＝3DF，設(shè)eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bB．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bD．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b二、綜合練——練思維敏銳度1．已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1﹣e2，且mn≠0，若a∥b，則eq\f(m,n)＝()A．﹣eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．﹣2D．22．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(﹣k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是()A．﹣eq\f(2,3)B．eq\f(4,3)C.eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)3.如圖，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝4eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(CA,\s\up7(→))＝3eq\o(CE,\s\up7(→))，則eq\o(DE,\s\up7(→))＝()A.eq\f(3,4)b﹣eq\f(1,3)aB.eq\f(5,12)a﹣eq\f(3,4)bC.eq\f(3,4)a﹣eq\f(1,3)bD.eq\f(5,12)b﹣eq\f(3,4)a4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3)B．eq\f(\r(3),3)C．3D．2eq\r(3)5．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(﹣1,3)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))﹣neq\o(OB,\s\up7(→))(m>0，n>0)，若m＋n＝1，則|eq\o(OC,\s\up7(→))|的最小值為()A.eq\f(\r(5),2)B．eq\f(\r(10),2)C.eq\r(5)D．eq\r(10)6．在△OAB中，若點(diǎn)C滿(mǎn)足eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝()A.eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C.eq\f(2,9)D．eq\f(9,2)7.如圖，在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(BD,\s\up