2022年重慶市縉云教育聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（3月份）（附答案詳解）

2022年重慶市縉云教育聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（3月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知集合4={x[2*<12},則AnN的子集個(gè)數(shù)為（）

A.4B.8C.16D.32

2.已知i為虛數(shù)單位，若三=1一2i,則|z|=（）

A.10B.V10C.V5D.V2

3.下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是（）

A.若|有+方|=|初一⑻,則五

B.usinx=3”的一個(gè)必要不充分條件是“x=

23

x

C.若命題P：3x06R,〃。<1,則命題VxGR,e>l

D.a,￡是兩個(gè)平面，m,n是兩條直線，如果m1a,n//fi,那么a_L/?

4.已知二次函數(shù)y=》2—4x+a的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間Q+8）內(nèi)，貝卜的取值范圍是

（）

A.（-oo,4）B.（3,+8）C.（3,4）D.（-8,3）

5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為無(wú)，滿足及+2n=2與，貝必2022=（）

A.22022_2B.22°23—2C.22024-2D.22021-2

6.已知0,尸2分別為雙曲線，一'=l（a>0/>0）的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)尸2的直線，

與雙曲線的右支交于4,B兩點(diǎn)，AAaFz的內(nèi)切圓半徑為萬(wàn)，△8&尸2的內(nèi)切圓半徑

為萬(wàn)，若勺=2萬(wàn)，則直線1的斜率為（）

A.1B.V2C.2D.2y/2

7.已知棱長(zhǎng)為3的正四面體4一BCD,P是空間內(nèi)的任一動(dòng)點(diǎn)，且滿足P422PD,E為

力。中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的平面a〃平面BCE,則平面a截動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的圖形的面積

為（）

A.71B.2TTC.37rD.47r

8.設(shè)a=—2書(shū),b="1.4—1,c=2lnl.l,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

二、多選題（本大題共4小題，共20?0分）

9.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變

B.設(shè)有一個(gè)線性回歸方程;=3-5x，變量X增加1個(gè)單位時(shí)，；平均增加5個(gè)單位

C.設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x,y的相關(guān)系數(shù)為r,則|r|越接近于0,x和y之間的

線性相關(guān)程度越強(qiáng)

D.在一個(gè)2x2列聯(lián)表中，由計(jì)算得K2的值，則內(nèi)的值越大，判斷兩個(gè)變量間有

關(guān)聯(lián)的把握就越大

10.阿基米德（公元前287年一一公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天

文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).拋物線上任意

兩點(diǎn)Z、B處的切線交于點(diǎn)P,稱APAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：/=8y

的焦點(diǎn)為F,過(guò)4、B兩點(diǎn)的直線的方程為遮x-3y+6=0,關(guān)于“阿基米德三角

形"A/MB,下列結(jié)論正確的是（）

A.\AB\B.PA1PB

C.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（、月,一2）D.PF1AB

11.如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面為正方形，SD1底面4BCD,SD=AB,則下列

選項(xiàng)中兩異面直線所成夾角大于45。的是（）

B

A.BC與SDB.AB與SCC.SB與4DD.力。與SB

12.阿基米德的“平衡法”體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，他用平衡法求得拋物線弓形

（拋物線與其弦4B所在直線圍成的圖形）面積等于此弓形的內(nèi)接三角形（內(nèi)接三角形

4BC的頂點(diǎn)C在拋物線上，且在過(guò)弦力B的中點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸平行或重合的直線上

）面積的%現(xiàn)已知直線y=-x+|p與拋物線E：y2=20無(wú)伽＞0）交于4,B兩點(diǎn)，

且4為第一象限的點(diǎn)，E在4處的切線為，，線段4B的中點(diǎn)為D,直線CC//X軸所在

的直線交E于點(diǎn)C,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若拋物線弓形面積為8,則其內(nèi)接三角形的面積為6

B.切線l的方程為2x-2y+p=0

第2頁(yè)，共24頁(yè)

C.若4nT-4n=SgBc(n6N*),則弦AB對(duì)應(yīng)的拋物線弓形面積大于公+4+

4

…+An-1+3^n(nN2)

D.若分別取AC,BC的中點(diǎn)匕，V2,過(guò)匕，匕且垂直y軸的直線分別交E于G，C2,

則SAACQ+S^BCCz==SAABC

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知圓。的半徑為2,4為圓內(nèi)一點(diǎn)，。4=5B,C為圓。上任意兩點(diǎn)，則尼?配的

取值范圍是.

14.在三棱錐P—4BC中，AB=4,PC=8,異面直線PA,BC所成角為AB1PA,

AB1BC,則該三棱錐外接球的表面積為.

15.已知函數(shù)若關(guān)于x的不等式/(外一山(:+：(1±0有且僅

有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

16.已知關(guān)于x的方程/+2"+。=0(4(:€/?)在［-1,1］上有實(shí)數(shù)根，0W4b+cW3,

則b的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.己知數(shù)列｛斯｝滿足的=1，且即+1=2a”+n-1,若匕=2"an,｛bn｝的前n項(xiàng)和為

SJV

(1)求證：｛即+n｝為等比數(shù)列，并求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)求S,，并求滿足不等式%>242的最小正整數(shù)n的值.

18.在①4B=2AD,②sinz_4cB=2sin乙4CD,③S-BC=2SA.CD這三個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.

已知在四邊形ABCC中，乙4BC+乙4。。=兀，BC=CD=2,且______.

(1)證明：tan/ABC=3tcmNBAC；

(2)若4c=3,求四邊形ABC。的面積.

19.2022年2月6日，中國(guó)女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，成功

奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國(guó)女足通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)6：5驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女

足，其中門將朱鉉兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇.

(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、

中、右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)?/p>

點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有：的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在

一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；

(2)好成績(jī)的取得離不開(kāi)平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接

球的訓(xùn)練中，球從中腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球

后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接

住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為p“，易知小=1,p2=0.

①試證明和"-?為等比數(shù)列；

②設(shè)第次傳球之前球在乙腳下的概率為q.，比較Pio與肉。的大小.

20.已知橢圓E；2+《=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸、過(guò)F的直線與橢圓E交于點(diǎn)4、B、

當(dāng)直線的方程為y=x-當(dāng)時(shí)，直線AB過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).

第4頁(yè)，共24頁(yè)

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)M(魚(yú),0),若|M*=2|MB|,求直線48的斜率.

21.如圖，已知直三棱柱ABC-&B1G，。，M,N分別

為線段BC,的中點(diǎn)，P為線段AC】上的動(dòng)

點(diǎn)，AAr—16,AC=8.

(1)若4。=jfiC,試證：QN1CM；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)月B=6時(shí)，試確定動(dòng)點(diǎn)P的位

置，使線段MP與平面BBiGC所成角的正弦值最大.

22.已知函數(shù)f。)=①乂+三，其中aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.718

(1)若函數(shù)f(x)在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，求證：/(%)<?+sinx.

第6頁(yè)，共24頁(yè)

答案和解析

1.【答案】c

x

【解析】解:???集合A={x\2<12}={x\x<log212},

ACN={0,1,2,3),

AnN的子集個(gè)數(shù)為24=16.

故選：C.

求出集合a,進(jìn)而求出anN,由此能求出4nN的子集個(gè)數(shù).

本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：???三=1一2"

1—1

**?z=(1-0(1—2i)=-1—3i,

???|z|=J(_l)2+(-3)2=V10.

故選：B.

根據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模的公式，需要學(xué)生熟練掌握公式,

屬于基礎(chǔ)題

3.【答案】C

【解析】解：對(duì)于4,+上|=|五|一|了2萬(wàn)?：=一2|蒼|?面,

■■a,3夾角為兀，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,sinx=在"=%=§+2k?；颍?名+2/CTT,keZ,

233

%一丁=sinx=—，

32

>(sinx=今的一個(gè)充分不必要條件是“X=9，故B錯(cuò)誤；

23

xx

對(duì)于C,若命題p：3x0GR,e°<1,則命題"：VxG/?,e>1,故C正確;

對(duì)于D,a,￡是兩個(gè)平面，m,n是兩條直線，

如果m1n,mLa,n//p,那么a與夕平行或相交，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

利用向量的數(shù)量積公式判斷4利用三角函數(shù)性質(zhì)判斷B；利用否定命題判斷C；利用空

間中面面的位置關(guān)系判斷D.

本題考查命題真假的判斷，考查向量的數(shù)量積公式、三角函數(shù)性質(zhì)、否定命題、空間中

面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：???二次函數(shù)丫=刀2-4%+&的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間(1,+8)內(nèi)，

.CZ1=16—4a>0

-4+a>0

解得3Va<4,

故選：C.

由題意得從而解得.

本題考查了二次函數(shù)與二次方程間的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為%,滿足%+2九=2M，的=2,

所以%+1+2n+2=2an+1,Sn+2n=2an,

所以an+i=2an+2.

可得an+i+2=2(0n+2).

所以｛即+2｝是等比數(shù)列，首相為4,公比為2,

可得斯+2=2n+1,

所以。2。22=22023—2.

故選：B.

利用已知條件求出首相的首項(xiàng)，推出｛即+2｝是等比數(shù)列，首相為4,公比為2,然后求

解通項(xiàng)公式，推出結(jié)果.

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比數(shù)列的應(yīng)用，是中檔題.

第8頁(yè)，共24頁(yè)

6.【答案】D

【解析】解:

記AAFiF2的

內(nèi)切圓圓心

為C,4BF#2

的內(nèi)切圓圓

心為D,

邊力&、4尸2、

&尸2上的切

點(diǎn)分別為M、

N、E,

易見(jiàn)C、E橫坐標(biāo)相等,則|4M|=|4N|,|RM|=內(nèi)圖，|尸2川=|尸26|,

由|4&|一MF2I=2a,

即14Ml+|MF/-(|4N|+\NF2\)=2a,得|MFJ-\NF2\=2a,

即|&E|-陽(yáng)E|=2a,記C的橫坐標(biāo)為X。,則E(&,0),

于是X。+c—(c—x0)-2a,得X。—a,

同樣內(nèi)心。的橫坐標(biāo)也為a,則有COJ.x軸，

設(shè)直線的傾斜角為。，0UOF2Z)=ZCF2O=90°-1,

0r

在ACEF2中，tanzCF2O=tan(90°—T)=

在ADEFa中，tanzDFO=tan-=-77-,

221七卜2|

由r1=2r2，可得2tzm￡=tan(90°—1),

解得tanS=立，負(fù)根舍掉，

22

8

則直線的斜率為tan。=2血"與=4=2a,

l-tan211-

故選：D.

本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)

和求值，考查直線斜率的求法，屬于中檔題.

充分利用平面幾何圖形的性質(zhì)解題.因從同一點(diǎn)出發(fā)的切線長(zhǎng)相等，得|4M|=|4N|,

\FrM\=|^￡|,\F2N\=\F2E\,再結(jié)合雙曲線的定義得|&E|-LEI=2a,從而即可求

得A4F1F2的內(nèi)心的橫坐標(biāo)a,即有CO_Lx軸，在△CEF?,AOEF?中，運(yùn)用解直角三角

形知識(shí)，運(yùn)用正切函數(shù)的定義和二倍角公式化簡(jiǎn)即可得到直線的斜率.

7.【答案】C

【解析】解：設(shè)4BCD的外心為。，過(guò)。點(diǎn)作BC的平行線，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間

直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)锽C=3,所以。D=V3?0A=y/AD2—OD2=V6?

則4(0,0,遙)，D(0,V3,0)，F(xiàn)(0,-y,0).設(shè)P(x,y,z),

由>2PD,可得Jx2+y2+(z—V6)2>2Jx2+(y—V3)2+z2>

整理得爐+(y一竽)2+Q+孚)2<4，

所以動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為以(0,竽,一日)為球心，半徑為2的球及球的內(nèi)部，

分別延長(zhǎng)AB,AF,AC到點(diǎn)M,P,N,使得ZB=BM,AF=FP,AC=CN,

可得CE〃DN,BE//MD,

可證得CE〃平面MN。，BE〃平面MNO,

又由CEnBE=E,

所以平面BCE〃平面MND,即平面MNO為平面a,

如圖所示，過(guò)。點(diǎn)作OOilPD,可得證得。。11平面MND,

即。。1為點(diǎn)0到平面MND的距離，

連接EF,根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得EF〃DP,

在直角ADE尸中，可得sin/DFE="=更，

DF3

第10頁(yè)，共24頁(yè)

在直角』0。1。中，

可得。。1=0D-sinzODOj=OD-sin/DFE=遍x,=1,

所以0山=yjOD2-00^=V22-I2=V3.

即截面圓的半徑為百，

所以球與平面a的截面表示半徑為國(guó)的圓面，其面積為兀x(V3)2=37r.

故選：C.

設(shè)48CD的外心為。，過(guò)。點(diǎn)作BC的平行線，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(x,y,z),根據(jù)P4N2PO,求得點(diǎn)P的軌跡方程，分別延長(zhǎng)4B,AF,AC到點(diǎn)M,P,

N,使得AB=BM,AF=FP,AC=CN,得到平面BCE〃平面a,過(guò)。點(diǎn)作0。11PD點(diǎn)、,

可得證得。。11平面MND,。。1為點(diǎn)。到平面MN。的距離，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，求

得截面圓的半徑，即可求解.

本題考查了線面關(guān)系、面面關(guān)系的判定，也考查了建模能力、轉(zhuǎn)化思想，綜合性較強(qiáng),

屬于難題.

8.【答案】B

【解析】解：???(e11)2=e2-2<33=27<(2V7)2=28,二a=e11-2用<0,

b-V1.4—1<V1.44—1=0.2-lnes>c=2/nl,l=lnl.21,

v(gi)5=e>1.21s?2.6，二e0'2>1.21，Ine02>lnl.21,b>c.

綜上a<b<c.

故選：B.

根據(jù)指對(duì)函數(shù)性質(zhì)可解決此題.

本題考查指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】AD

【解析】解：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，滿足

方差的性質(zhì)，A正確；

設(shè)有一個(gè)線性回歸方程y=3-5X，變量X增加1個(gè)單位時(shí)，；平均增加5個(gè)單位，錯(cuò)誤應(yīng)

該是減少5個(gè)單位；所以B不正確;

設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量久，y的相關(guān)系數(shù)為r,則|r|越接近于0,x和y之間的線性相

關(guān)程度越弱，所以C不正確；

在一個(gè)2x2列聯(lián)表中，由計(jì)算得K2的值，則K?的值越大，判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把

握就越大，正確；

故選：AD.

利用方差的性質(zhì)判斷4的正誤；利用回歸直線的性質(zhì)判斷B,相關(guān)系數(shù)判斷C,獨(dú)立檢驗(yàn)

判斷￡>.

本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程以及方差的性質(zhì)獨(dú)立

檢驗(yàn)思想的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

由=8y,得y=?%2,y'=lx,則M=；x4遍=百，kPB=-x（--）=-—>

844433

???kPA-kPB=-1,故PAJ.PB,故B正確；

直線PA的方程為y—6=遮（％-4百），直線PB的方程為丫一：=一￥。一?），聯(lián)立方

程可得交點(diǎn)「（竽,-2）,故C錯(cuò)誤；

k==

kAB=―,PF￡kAB-kPF=-1,故ABLPF,故。正確.

33

故選：ABD.

聯(lián)立直線方程與拋物線方程可解出4,8兩點(diǎn)坐標(biāo)，可求4B的長(zhǎng)，以及P4,PB的斜率,

從而可判斷力B,求得直線PA,PB的方程，解出交點(diǎn)坐標(biāo)可判斷C,求出4B的斜率與PF

的斜率可判斷D.

本題主要考查了拋物線的定義，以及拋物線的性質(zhì)和運(yùn)算能力，是中檔題.

11.【答案】ACD

第12頁(yè)，共24頁(yè)

【解析】解：對(duì)于百，1底面力BCD,BCu平面ABC。，SDLBC,???BC與SD所

成角為90。，故A正確；

對(duì)于8,???底面4BC。是正方形，4B與

SC所成角為NSCD=45°,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,「皿/",???SB與所成角為4SBC,

由題知tanzSBC=差=/>1,二乙SBC>45°,

故C正確；

對(duì)于D,「SD1底面4BC0,4。<=平面48。。，SD1AC,

???4BCD是正方形，?-■ACLBD,?:SDCBD=D,二4C1平面SB。，

SBu平面SBD,???力C1SB,則4C與SB所成角為90。，故D正確.

故選：ACD.

求得BC與SD所成的角判斷4求得與SC所成角判斷B；求得SB與4。所有角判斷C；

求得4c與SB所成有判斷C.

本題考查命題真假的判斷，考查異面直線所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中

檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：4選項(xiàng)：內(nèi)接三角形的面積8x

7=6>故選項(xiàng)A正確；

4

y2=2px

選項(xiàng)：聯(lián)立方程，解得

By=-%+|p

又??點(diǎn)?4在第一象限，??.4C，P),

,-,y=7^，y'=疆:,當(dāng)x=史寸，V=

1,

故切線方程為y-P=x即2%-2y+p=0,故選項(xiàng)B正確;

rl

C選項(xiàng):由4T?An=Sf8c5eN*),得4=4A2,

令九=2'S-BC=4,,弓形面積為］SMBC=542=4^2+3^2=41+

所以不等式不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

。選項(xiàng)：由4g,p)，B《,-3p)知D徵-2p),

???DC〃x軸，；.Cg,-2p),又AC,BC的中點(diǎn)匕，V2,易求匕g,0),彩(^,-2p),G(0,0),

C2(2p,-2p),

S^ACC*=5x(7]匕X2P-SABCC?=3xC?/X2P—S4ABe=5xx4P=4p2,

SMCCI+S4BCC2=[SAHBC成立，故選項(xiàng)。正確，

故選：ABD.

4選項(xiàng)直接通過(guò)題目中給出的條件進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)聯(lián)立直線拋物線求出4點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)

確定斜率，寫(xiě)出切線方程進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)令兀=2,進(jìn)行判斷；。選項(xiàng)根據(jù)條件依次求

出各點(diǎn)坐標(biāo)，分別計(jì)算三角形的面積進(jìn)行判斷.

本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)，考查了拋物線與直線的位置關(guān)系，同時(shí)考查了學(xué)

生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】[一匕10]

O

【解析】解:如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為。，連接O4OC,。。,則001BC.

設(shè)6為訕和面的夾角，fJL\_\

-BC=(0C-0A)-JC=0C-BC-0A-BC=\0C\-[)

2

IBC|COSNBC。-\0A\-\BC\cos9=1|BC|-||BC\cosd,2?

且就『一三反轉(zhuǎn)|前『一夕玩|COSOR|耳訐+g|前I，

由I近Ie[0,4],當(dāng)I瓦j=：時(shí),前?能有最小值-1；

當(dāng)I直^=4時(shí)，前?就有最大值10.

所以正?府的取值范圍是[一;,10].

故答案為：[―

設(shè)BC的中點(diǎn)為D,連接。4OC,0D,設(shè)。為方和打的夾角，由向量的線性運(yùn)算及數(shù)

量積運(yùn)算可得萬(wàn)?瓦玩『-：|比|cosO,由cos。的有界性，結(jié)句布|e[0,4]即

可求解前?就的取值范圍.

本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查運(yùn)

第14頁(yè)，共24頁(yè)

算求解能力，屬于中檔題.

14.【答案】807T

【解析】解：過(guò)點(diǎn)4作4D〃BC,過(guò)點(diǎn)C作C。〃4B,4D與CD相交于點(diǎn)D,

連接PD,因?yàn)锳BJ.BC,所以ADJ.CD,

又4B=BC=4,所以四邊形ABCO為正方形，所以CD=4。=4,

異面直線PA,BC所成角為NP4D,所以“力。=減拳

因?yàn)锳B1.BC,所以AB_LAC,又因?yàn)锳B1PA,PAHAD=/l,所以4B1平面PA。,

因?yàn)镻Du平面P4D,所以ABIPC,故CZJJLPD,因?yàn)镻C=8,

由勾股定理得：PD-V82-42=4>/3>

pa2+ad2pd2

當(dāng)4PAD=9時(shí)，如圖，在AP/W中，由余弦定理得：cos^PAD=-=1,

解得：PA=8,則「。2+4。2=。壽，所以POJ.4。，

因?yàn)锳DnAB=A,所以PD_L平面力BCD,

取PB中點(diǎn)。，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)E,則E為BD中點(diǎn)，連接OE,

則。E〃PD,所以。E1平面ABCD,

則點(diǎn)。即為該三棱錐外接球的球心，其中OE=：PO=2V3,EB=2V2,

由勾股定理得：OB=V12+8=2V5.即半徑r=2a,

外接球表面積為471T2=807r.

當(dāng)"4。=爭(zhēng)時(shí)，如圖，在△PAD中,

由余弦定理得：皿的。=型低空=/解得：Pa=4,

則過(guò)點(diǎn)P作PN1AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則/PAN=p故AN=^PA=2,PN=2同

因?yàn)锳BI平面PAD,PNu平面P力。，所以AB_LPN,

因?yàn)?。nAB=4所以PN_L平面4BCD,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)E,

根據(jù)AABC為直角三角形，4c為斜邊，故E為球心0在平面ABC的投影，即。E1平面

ABCD,

過(guò)點(diǎn)。作OMJ.PN于點(diǎn)M,連接EN,OP,0C,

則。M=EN,0E=MN,OC=OP且為外接球半徑，其中4M4E=135。，

由余弦定理得：EN=y/AN2+AE2-2AN-AEcos^NAE=2底

設(shè)。E=MN=/i,由勾股定理得：PM2+OM2=OE2+EC2,

即(2代一Zip+已再產(chǎn)=層+(2夜)2,解得：h=2V3.

代入上式，解得0P=2近，即半徑r=2近，外接球表面積為4兀產(chǎn)=80小

故答案為：807r.

作出輔助線，找到球心的位置，求出半徑，利用外接球表面積公式進(jìn)行求解，注意存在

兩種情況，需要分類討論.

本題主要考查球與多面體的切接問(wèn)題，空間想象能力的培養(yǎng)，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知

識(shí)，屬于中等題.

15.【答案】七,第］U［4,y)

【解析】解：當(dāng)x41時(shí)，/(%)=%(1-%)ex,

所以尸(欠)=-(%2+%—l)ex,

令/'(久)>0,得一萼令，(x)<0,得％<一(或<手<》w1,

所以/(X)在(_8,-萼)上單調(diào)遞減，在(一等，苫鳥(niǎo)上單調(diào)遞增，在6竽,1］上單調(diào)

遞減，

且x<0時(shí)，/(x)<0；當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=x(x—1)=(x-1)2—/(x)在(1,+8)上

第16頁(yè)，共24頁(yè)

單調(diào)遞增.

J4*X

'^@'2

r卜?

又因?yàn)閒(x)-ax+la<0可以變?yōu)閒(x)<a(x-1),

7(0)>a(0-|)p(l)>a(l-|)

/(-l)<a(-l-|)f(2)<a(2-1)

由圖i,2可知，r;或《3>

/(-2)<a(-2-|)/(3)<a(3-|)

/(-3)>a(-3-|)[/(4)>a(4-|)

解得W<a-暴或4<a<§?

故答案為：(*，親]U[4,§).

當(dāng)xWl時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)x>l時(shí),將函數(shù)配方，進(jìn)而作出函

數(shù)的大致圖象，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合求得答案.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，難點(diǎn)在于作出函數(shù)

的圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題，屬于難題.

16.【答案】一1WbW2

【解析】解：設(shè)方程的根為x,則/+2bx+c=0,

???c=-x2—2bx(xG[—1,1]),

v0<4i>+c<3,

0<4b——2bx<3(x6[—1,1]),

X2,c,一X2+3

——<2b<---,

2-x2~x

設(shè)2—%=6[1,3])>則]+t-4<2bW；+t—4,

47

??.t6[1,3],，(]+t)min=2,(]+t)max=8,

:,一242b44,

:.-1WbW2.

故答案為：-1WbW2.

設(shè)方程的根為x,則x2+2bx+c=0,求出c,代入0W4b+cW3,分離參數(shù)求最值,

即可求出b的取值范圍.

本題考查求參數(shù)的取值范圍，考查分離參數(shù)方法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中

檔題.

17.【答案】解：(1)證明：???數(shù)列｛。工滿足的=1，且an+i=2冊(cè)+71-1,

???an+1+n+1=2(an+n),%+1=2,

數(shù)列。+n｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2,

nn

???an+n=2,-??an=2—n.

nnn

(2)/?n=2an=4-n-2,

令數(shù)列｛n?20的前n項(xiàng)和為"，

=2+2x2?+3x2，+…+zi?2n,

27；=22+2x23+-+(n-1)-2n+n-2n+1,

相減可得：F=2+22+23+■■■+2n-n-2n+1=-n-2n+1,

化為：7；=(n-l)-2n+1+2.

???S"=與F-("l]2n+i-2

4?+l-4

-(n-l)-2n+1+2.

3

：?S4=246.

又S3=50,

???滿足不等式%>242的最小正整數(shù)zi的值為4.

【解析】(1)數(shù)列｛即｝滿足%=1>且即+i=2an+n-1,變形為a“+i+n+1=2(an+

n),%+1=2,即可證明數(shù)列｛即+n｝為等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式可得斯.

nnn

(2)bn=2an=4-n-2,令數(shù)列｛展2鳥(niǎo)的前建項(xiàng)和為7；,利用錯(cuò)位相減法即可得出7；,

結(jié)合求和公式可得％,進(jìn)而得出S*進(jìn)而得出滿足不等式Sn>242的最小正整數(shù)n的值.

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、錯(cuò)位相減法，考查了推理

第18頁(yè)，共24頁(yè)

能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

AC_BC_AB

18【答案】（1）證明：在△力BC中，由正弦定理知

.,sinZ-ABCs\n/.BACsinz_ACB，

CD_AD

在△4CD中，由正弦定理知，

^―-sinz.DACsin乙4c0’

因?yàn)?ABC+Z.ADC=TT,所以sinzlABC=sinz.ADC,

又BC=CD,所以sin/BAC=sin/DAC,

因?yàn)?＜兀,所以ZBAC=NZL4C,

選擇條件①：因?yàn)锳B=24D,所以sin乙4cB=2sin乙4CD,

所以sin(44BC+4BAC)=2sin(/.ADC+LDAC)=2sin(jt-AABC+Z.BAC)=

2sin(Z.ABC-Z.BAC),

即sm/-ABCcosZ.BAC+cosz.ABCsin/.BAC=2sin/-ABCcos/.BAC-2cos/.ABCsin/.BAC,

整理得，sinz.ABCcosz.BAC=3cosZ.ABCsinz.BAC,

sin乙ABCsinZB/lC

所以=3-,即tanzjWC3tanz.BAC.

cosz.ABCCQSZ.BAC

選擇條件②：由sin/4cB=2s譏乙4CD,知證明過(guò)程同①.

選擇條件③：S—BC=-BCsinZ.ABC,ShACD=^AD-CDsin乙ADC,

因?yàn)?ABC+/.ADC=7T,所以sin/ABC=sinz.ADC,

又SAABC=2SA4C。，且BC=C。，所以4B=2AD,

以下證明過(guò)程同①.

(2)解：設(shè)4B=2AD=2x,

因?yàn)橐?BC+Z.ADC=7T,所以cosNABC+cosZ.ADC=0,

2222

在△ABC中，由余弦定理知，cos乙4BC=AB+BC-AC4X+4-94X2-5

2ABBC2-2x28x

22222

在A4C。中，由余弦定理知，cos^ADC=AD-￥CD-ACX+4-9X-5

2ADCD2x24x

所以展+愛(ài)=。，解得?=?，即皿=2，=國(guó)，4D=當(dāng)

所以8S“BC=-COS"DC=?

所以sin乙4"=smz.ADC=—，

8

故四邊形ABCD的面積S=S^ABC+SMCD=^AB-BCsin^ABC+^AD-CDsin^ADC

=工的2型+'運(yùn)2還=源.

282288

【解析】(1)在△ABC和△4C0中，均運(yùn)用正弦定理，再結(jié)合已知條件可推出NB4C=

ADAC,

條件①：由4B=24D,知sin/ACB=2s譏乙4CD,利用所得結(jié)論和誘導(dǎo)公式，將角度

全部轉(zhuǎn)化為々ABC和N8AC,再結(jié)合兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，

可得證；

條件②：證明過(guò)程同①.

條件③：由SMBC=2S.ACD，結(jié)合三角形面積公式，推出4B=2AD,以下證明過(guò)程同①.

(2)設(shè)AB=2AD=2x,由/ABC+/.ADC=n,在仆力8。和4ACD中，均運(yùn)用余弦定理，

可求得x的值，進(jìn)而知sin4ABC=sin/AOC=辿，再利用三角形面積公式，得解.

8

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，以及兩角和差的正弦公式是解題的

關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)由題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率p=；x：x3xj=g

5526

X?

O

門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,

P(X=k)=cqg)k(》3-k,k=0,1,2,3,

故X的分布列為：

X0123

1

P125255

2167272216

故E(X)=3xi=i

ON

(2)證明：①第n次傳球之前在甲腳下的概率為pn，

則當(dāng)nN2時(shí)，第n-l次傳球之前球在甲腳下的概率為pn_「第n-l次傳球之前球不在

甲腳下的概率為1-pn-i，

故Pn=Pn-1-0+(1-Pn-1)--|Pn-l+|>即Pn-=—Pn-1一；)，

第20頁(yè)，共24頁(yè)

T713

又7

(pn-；｝是以］為首項(xiàng)，公比為一:的等比數(shù)列,

②由①可知,

Pio=;(-^)9+；<^%。="1-Pl。)>%

故Pio<Qio-

【解析】(1)由題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率p=ix|x3x1=i,X?

3Jzo6

門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可

求解.

(2)①由題意可得｛pn｝的遞推公式，進(jìn)而求證.

②令n=10,計(jì)算Pi。與qio,通過(guò)比較，即可求解.

本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要學(xué)生熟練掌握期望公式，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)因?yàn)檫^(guò)F的直線與橢圓E交于點(diǎn)4B、當(dāng)直線4B的方程為、=》一年

時(shí).，直線AB過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).

可得C=b=立，所以a?=C?+?2=：+：=1,

222

所以橢圓的方程為：/+芋=1；

2

(2)由題意可得直線AB的斜率不為0,設(shè)方程為x=my+￥，設(shè)4(與,先)，3(小,力)，

聯(lián)立產(chǎn)—加，2,整理可得：(2+m2)丫2+揚(yáng)政一：=0,

U2+2y2=12

可得/=27n2_4(2+m2)X(-|)>0恒成立，

乃+月=舞①'y，2=_2(2二2)②，

ra^,,,,,,yi,y2yi(myz-￥)+yz(myi-￥)—2m%yz-￥(%+yz)

因，十KBM—~十~~~~7^—7272-J27T-

x172X2-V2⑺力-爭(zhēng)⑺力-殍)(my?-爭(zhēng)(m當(dāng).爭(zhēng)

2m-1>/2-y/2m

’2(2+7*22+*_0

(my2~)(wiyi-)

所以九軸平分乙4MB,由y02V0，|M4|=2|MB|可得力=-2乃③，

由①②③可得先=一寨,乃=寨,

可得一畢.空駕=——,解得m2=2,

1T2+m22+m22(2+m2)7

所以直線的斜率滿足3

即直線的斜率為土券.

【解析】(1)由題意可得b=C=當(dāng)，可得a的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；

(2)設(shè)直線4B的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，求出直線AM,BM

的斜率之和為0,可得x軸平分Z4WB,再由若|M4|=進(jìn)而可得4B的縱坐標(biāo)

的關(guān)系，與兩根之和及兩根之積聯(lián)立求出參數(shù)m的值，進(jìn)而求出直線的斜率的值.

本題考查求橢圓方程的方法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】證明：(1)在△48C中，

???。為BC中點(diǎn)且4。=^B