第七中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第七中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三四五六總分得分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知直線，的方向向量分別為，，且直線，均平行于平面，平面的單位法向量為（

）A． B．C． D．或3．有人從一座層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則該人在不同層離開電梯的概率是A． B． C． D．4．如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）A． B．C． D．5．某校高一年級15個(gè)班參加合唱比賽，得分從小到大排序依次為：，，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（

）A．90 B． C．86 D．936．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（

）A．平均數(shù)為2，方差為2.4 B．中位數(shù)為3，方差為1.6C．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2 D．平均數(shù)為3，中位數(shù)為27．如圖，某圓錐的軸截面，其中，點(diǎn)B是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是(

)A． B． C． D．8．已知正方體，設(shè)其棱長為1（單位：）．平面與正方體的每條棱所成的角均相等，記為．平面與正方體表面相交形成的多邊形記為，下列結(jié)論正確的是（

）

A．可能為三角形，四邊形或六邊形B．C．的面積的最大值為D．正方體內(nèi)可以放下直徑為的圓評卷人得分二、多選題9．下列命題中是真命題的為（

）A．若與共面，則存在實(shí)數(shù)，使B．若存在實(shí)數(shù)，使向量，則與共面C．若點(diǎn)四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，使D．若存在實(shí)數(shù)，使，則點(diǎn)四點(diǎn)共面10．已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量不重合），并且直線均不在平面內(nèi)，那么下列說法中正確的有（

）A． B．C． D．11．以下結(jié)論正確的是（

）A．“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的充分不必要條件．B．假設(shè)，且與相互獨(dú)立，則C．若，則事件相互獨(dú)立與事件互斥不能同時(shí)成立D．6個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，設(shè)“第一次取出球的數(shù)字是1”，“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則與相互獨(dú)立12．如圖，已知矩形為中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上某一點(diǎn)．沿直線沿翻折成，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．翻折過程中，動(dòng)點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)B．翻折過程中，動(dòng)點(diǎn)在平面的射影的軌跡為一段圓弧C．翻折過程中，二面角的平面角記為，直線與平面所成角記為，則．D．當(dāng)平面平面時(shí)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作為垂足，則的范圍為第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．正方體各面所在的平面將空間分成個(gè)部分.14．某人有3把鑰匙，其中2把能打開門，如果隨機(jī)地取一把鑰匙試著開門，把不能打開門的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開門的概率為.15．如圖，兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且（稱為異面直線的公垂線）．已知，，，則公垂線．

16．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形圍成（如圖所示），若它所有棱的長都為2，則該該二十四等邊體的外接球的表面積為．

評卷人得分四、解答題17．2023年8月8日，世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會在成都成功舉行閉幕式.某校抽取100名學(xué)生進(jìn)行了大運(yùn)會知識競賽并紀(jì)錄得分（滿分：100分），根據(jù)得分將他們的成績分成六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中的值；(2)估計(jì)這100人競賽成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）及中位數(shù)．18．一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球.(1)求第二次取到紅球的概率；(2)求兩次取到的球顏色相同的概率；(3)如果袋中裝的是4個(gè)紅球，個(gè)綠球，已知取出的2個(gè)球都是紅球的概率為，那么是多少？評卷人得分五、證明題19．用向量的方法證明：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.（三垂線定理的逆定理）20．在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．21．如圖，在八面體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面平面，二面角與二面角的大小都是，，．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)為的重心，是否在棱上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求到平面的距離，若不存在，說明理由．評卷人得分六、作圖題22．如圖，正四面體，

(1)找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等．請?jiān)诖鹁砩献鞒鰸M足題意的四個(gè)平面，并簡要說明并證明作圖過程；(2)若滿足（1）的平面，，，中，每相鄰兩個(gè)平面間的距離都為1，求該正四面體的體積．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】由斜率公式可求得直線斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系可得直線傾斜角.【詳解】，直線的傾斜角為.故選：C.2．D【分析】根據(jù)平面法向量的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)平面的單位法向量為，因?yàn)橹本€，均平行于平面，所以有，由可得：或，故選：D3．C【詳解】試題分析：設(shè)2人為A、B，則2人自2至6層離開電梯的所有可能情況為：（A2，B2），（A2，B3）,（A2，B4），（A2，B5），（A2，B6）,（A3，B2）,（A3，B3），…，（A6，B6）．共25個(gè)基本事件，2人在相同層離開電梯共包含（A2，B2）,（A3，B3）,（A4，B4）,（A5，B5）,（A6，B6）共5個(gè)事件，所以2人在不同層離開電梯共包含20個(gè)基本事件，概率為．考點(diǎn)：古典概型4．A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算用表示出即可得．【詳解】-＝，.故選：A．5．B【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)和第13個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即,故選：B6．A【分析】A選項(xiàng)，有平均數(shù)與方差間關(guān)系，可判斷選項(xiàng)正誤；BCD選項(xiàng)，通過舉反例可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，若5次結(jié)果中有6，因平均數(shù)為2，則方差，因，則當(dāng)平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)一定不會出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A正確；B選項(xiàng)，取5個(gè)點(diǎn)數(shù)為3,3,3,5,6，則此時(shí)滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為4，則方差，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，取5個(gè)點(diǎn)數(shù)為2,2,3,5,6，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，取5個(gè)點(diǎn)數(shù)為1,1,2,5,6，滿足中位數(shù)為2，平均數(shù)為3，故D錯(cuò)誤.故選：A7．B【分析】利用圓錐曲線的性質(zhì)，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法即可求兩異面直線的夾角．【詳解】由圓錐的性質(zhì)可知平面，故可以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面內(nèi)過點(diǎn)O且垂直于的直線為x軸，分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，易知，∵，∴，∴，∴，，∴，因此，異面直線與所成角的余弦值為．8．D【分析】A選項(xiàng)，如圖，建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識可知平面可為與垂直的平面，即可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析及線面角計(jì)算公式可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可表示出兩種情況下的面積表達(dá)式，即可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，問題等價(jià)于判斷內(nèi)部最大圓直徑最大值是否大于1.2.【詳解】A選項(xiàng)，如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面法向量為，因平面與正方體的每條棱所成的角均相等，則.由對稱性，不妨取，則法向量可為，又，則平面可為與垂直的平面.如圖，連接，因平面ABCD，平面ABCD，則，又平面，則平面，又平面，則，同理可得.又平面，，故平面.即平面可為與平面平行的平面，當(dāng)平面與（不含A）相交時(shí)，M為與相似的正三角形；當(dāng)平面與（不含）相交時(shí)，M為如圖所示的六邊形；當(dāng)平面與相交時(shí)（不含），M為與相似的正三角形；則可能為三角形，六邊形，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知，，故B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知，當(dāng)平面過或時(shí)，所得正三角形面積最大，由題可得邊長為，則相應(yīng)面積為.當(dāng)為六邊形時(shí)，如下圖所示，因，，又，結(jié)合圖形可知，又由題可知六邊形為中心對稱圖形，取其對稱中心為O，則四邊形四邊形四邊形，則六邊形面積為相應(yīng)四邊形面積的3倍.取RS，RT中點(diǎn)分別為F，E，連接EF，OE，OF，因，則，四邊形面積為四邊形面積2倍，則六邊形面積為四邊形面積6倍.設(shè)，由題結(jié)合圖形可知，，則在中，由余弦定理，.注意到，則四點(diǎn)共圓，則外接圓直徑等于OR，由正弦定理，可得.則，.則六邊形面積S，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.又，則的面積的最大值為，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，先判斷M內(nèi)部的最大圓直徑最大值是否超過1.2m.當(dāng)M為正三角形時(shí)，M內(nèi)部的最大圓為三角形內(nèi)切圓，易知當(dāng)平面過或時(shí)，所得內(nèi)切圓半徑最大，設(shè)此時(shí)內(nèi)切圓半徑為，三角形面積為，周長為C，則內(nèi)切圓直徑.當(dāng)M為六邊形時(shí)，M內(nèi)部的最大圓半徑滿足，由C選項(xiàng)分析，可知，則當(dāng)時(shí)，取最大值，則此時(shí)M內(nèi)部的最大圓直徑的最大值為，因，則，即正方體內(nèi)可以放下直徑為的圓，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題首先需要通過向量方法，得到滿足題意的平面的具體特征，后利用幾何知識，結(jié)合正余弦定理可得圖形的面積最大值及其內(nèi)部最大圓直徑.9．BD【分析】根據(jù)平面向量基本定理以及空間向量基本定理，可知B、D項(xiàng)正確；若共線，則A結(jié)論不恒成立；若三點(diǎn)共線，則C項(xiàng)結(jié)論不恒成立.【詳解】對于A項(xiàng)，如果共線，則只能表示與共線的向量.若與不共線，則不能表示，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，根據(jù)平面向量基本定理知，若存在實(shí)數(shù)，使向量，則與共面，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，如果三點(diǎn)共線，則不論取何值，只能表示與共線的向量.若點(diǎn)不在所在的直線上，則無法表示，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，根據(jù)空間向量基本定理，可知若存在實(shí)數(shù)，使，則共面，所以點(diǎn)四點(diǎn)共面，故D項(xiàng)正確.故選：BD.10．ABC【分析】由空間向量的位置關(guān)系對選項(xiàng)逐一判斷，【詳解】已知直線不在平面內(nèi)，則，故A正確，D錯(cuò)誤，由空間向量的位置關(guān)系得，，故B，C正確，故選：ABC11．CD【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義得到A錯(cuò)誤，計(jì)算得到B錯(cuò)誤，根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的定義得到C正確，計(jì)算得到，D正確，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的必要不充分條件，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：，，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C：假設(shè)事件互斥且獨(dú)立，則，這與，矛盾，假設(shè)不成立，正確；對選項(xiàng)D：，，，故，與相互獨(dú)立，正確.故選：CD.12．AD【分析】A選項(xiàng)，由題可知點(diǎn)P為以D為頂點(diǎn)的圓錐底面圓周上的點(diǎn)，即可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，如圖，可證動(dòng)點(diǎn)在平面的射影在過A點(diǎn)且與DF垂直的線段上，即可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，結(jié)合B選項(xiàng)分析，可知與為同一等腰三角形的頂角和底角，即可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，由題可得K點(diǎn)為在平面的射影軌跡與DC交點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，表示出K點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，注意到翻折過程中，點(diǎn)P到D點(diǎn)距離不變，則P為以D為頂點(diǎn)，DP為母線的圓錐底面圓周上的點(diǎn)，即動(dòng)點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)，故A正確；B選項(xiàng)，如圖，作，連接PH，則，因平面PHA，則平面PHA.作，又平面PHA，則PI，又，平面，則平面.則在翻折過程中，動(dòng)點(diǎn)在平面的射影在過A點(diǎn)且與DF垂直的直線上，即動(dòng)點(diǎn)在平面的射影的軌跡為一段線段，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)分析可知，二面角的平面角為，直線與平面所成角為，則可知與為同一等腰三角形的頂角和底角，則.則當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，結(jié)合B選項(xiàng)分析，當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)P在線段DC正上方.則K點(diǎn)為在平面的射影軌跡與DC交點(diǎn)，即為DF過A點(diǎn)垂線與DC交點(diǎn).如圖，建立以D為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，則.又由題設(shè)，其中，則，因，則，令，則，故D正確.故選：AD

13．27【詳解】分上、中、下三個(gè)部分，每個(gè)部分分空間為個(gè)部分，共部分14．【分析】分析試驗(yàn)過程，利用概率的乘法公式即可求出概率.【詳解】記事件A：第二次才能打開門.因?yàn)?把鑰匙中有2把能打開門，而第一次沒有打開，第二次必然能打開.所以.故答案為：.15．或【分析】如圖，構(gòu)造符合題意的直三棱錐，結(jié)合題意及余弦定理可得答案.【詳解】如圖構(gòu)造一直三棱錐，使，則由題有：.在中，由余弦定理，可得，則；

如圖構(gòu)造一直三棱錐，使，則由題有：.在中，由余弦定理，可得，則.

故答案為：或.16．【分析】利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】把該幾何體放在正方體中，設(shè)正方體的棱長為，顯然面對角線為，因?yàn)樵搸缀误w的所有棱的長都為2，所以，顯然，，所以，設(shè)該該二十四等邊體的外接球的半徑為，則所以該該二十四等邊體的外接球的表面積為，故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是把該幾何體放在正方體中，利用正方體的性質(zhì)進(jìn)行求解.17．(1)(2)，【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）利用頻率分布直方圖求平均數(shù)及中位數(shù)的公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知：，即．（2）由頻率分布直方圖可知：平均數(shù)為：前3組的頻率為，所以中位數(shù)為．18．(1)(2)(3)【分析】（1）先求出從10個(gè)球中不放回地隨機(jī)取出2個(gè)的不同取法數(shù)，再求出第二次取到紅球的不同取法數(shù)，然后求概率即可；（2）結(jié)合（1）求解即可；（3）由取出的2個(gè)球都是紅球的概率求出基本事件的個(gè)數(shù)，然后再求解即可.【詳解】（1）從10個(gè)球中不放回地隨機(jī)取出2個(gè)共有（種）可能，即，設(shè)事件“兩次取出的都是紅球”，則，設(shè)事件“第一次取出紅球，第二次取出綠球”，則，設(shè)事件“第一次取出綠球，第二次取出紅球”，則，設(shè)事件“兩次取出的都是綠球”，則，因?yàn)槭录蓛苫コ猓訮（第二次取到紅球）.（2）由（1）得，P（兩次取到的球顏色相同）；（3）結(jié)合（1）中事件，可得，，因?yàn)?，所以，即，解得（?fù)值舍去），故.19．證明見解析.【分析】先把定理用符號語言表示，然后利用向量的數(shù)量積為0證明垂直即可.【詳解】已知：如圖，PO，PA分別是平面的垂線、斜線，OA是PA在平面上的射影，，且.求證：.證明：如圖示，取直線的方向向量，同時(shí)取AP，PO.，又且，即證.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，即可證明結(jié)論；（2）由直線與平面所成的角為，可得，建立以G為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法可得答案.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，，又，，四邊形為平行四邊形：，平面平面，平面；（2）平面平面，平面平面平面，平面，取中點(diǎn)，連接，則平面，，，又，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，則，取，則，平面的一個(gè)法向量可取，設(shè)平面與平面所成的夾角為，,平面與平面所成的夾角的余弦為21．(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）依題意可得平面，再由面面平行及，可得平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明，即可得到平面，再證明平面，即可得證；（2）設(shè)點(diǎn)，其中，利用空間向量法得到方程，求出的值，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)闉檎叫?，所以，又，，平面，所以平面，所以為二面角的平面角，即，又平面平面，，所以平面，即為二面角的平面角，即，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，即，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平?（2