考研數(shù)學(xué)三(線性代數(shù))模擬試卷41(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷41(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求。1．行列式【】A．(ad—bc)2B．—(ad—bc)2C．a(chǎn)2d2—b2C2D．b2c2—a2d2正確答案：B解析：解1按第1列展開，得所求行列式D等于=—ad(ad—bc)+bc(ad—bc)=—(ad—bc)2解2先互換D的2、3兩行，得再通過相鄰列的互換將第1列移至第3列，得本題主要考查計(jì)算行列式的展開法則，具體的計(jì)算方法可有多種．解2的第2步利用了分塊對角行列式的計(jì)算方法．知識模塊：線性代數(shù)2．設(shè)對方陣A施行初等初換得到方程B．且∣A∣≠0，則【】A．必有∣B∣=∣A∣．B．必有∣B∣≠∣A∣．C．必有∣B∣≠0．D．∣B∣=0或∣B∣≠0依賴于所作初等變換．正確答案：C涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)填空題3．設(shè)4階矩陣A=[α1β1β2β3]，B=[a2β1β2β3]，其中α1，α2，β1，β2，β3均為4維列向量，且已知行列式∣A∣=4，∣B∣=1，則行列式∣A+B∣=_______．正確答案：∣A+B∣=∣α1+α22β12β22β3∣=8(∣α1β1β2β3∣+∣α2β1β2β3∣)=8(∣A∣+∣B∣)=8(4+1)=40涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)4．設(shè)矩陣，I為3階單位矩陣，則(A一2I)-1=_______．正確答案：涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)5．正確答案：，可利用分塊對角矩陣求逆的方法．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)6．已知α=(1，2，3)，，矩陣A=αTβ，n為正整數(shù)，則An=_______．正確答案：An=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)(αTβ)=αT(βT)…(βT)β=αT3n-1β=3n-1αTβ=3n-1涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)7．設(shè)3階方陣A、B滿足關(guān)系式A-1BA=6A+BA，其中，則B=_______．正確答案：B=(A-1一E)-16AA-1=6(A-1一E)-1=6涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)8．設(shè)，B為3階非零矩陣，且AB=O，則t=_______．正確答案：在條件下必有∣A∣=0(否則∣A∣≠0，則A可逆，用A-1左乘AB=0兩端，得B=0，這與B≠0矛盾)，=>t=一3．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)9．設(shè)矩陣A滿足A2+A一4E=0，則(A—E)-1=_______．正確答案：0=A2+A一4E一(A—E)(A+2E)一2E，=>(A—E)(A+2E)=2E，=>(A—E)涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)10．設(shè)A為n階方陣，且∣A∣=a≠0，則∣A*∣=_______．正確答案：由AA*=∣A∣E兩端取行列式，得∣A∣∣A*∣=∣A∣n，=>∣A*∣=∣A∣n-1=an-1．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)11．設(shè)A為n階非零方陣，且∣A∣=0，則∣A*∣_______．正確答案：必有∣A*∣=0，否則∣A*∣≠0，則A*可逆，用(A*)-1右乘AA*=∣A∣E=0兩端，得A=0，這與A≠0矛盾．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。設(shè)向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，向量組α2，α3，α4線性無關(guān)，問：12．α1能否由α2，α3線性表示?證明你的結(jié)論．正確答案：能．由α2，α3線性無關(guān)，而α1，α2，α3線性相關(guān)即可證明．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)13．α4能否由α1，α2，α3線性表示?證明你的結(jié)論．正確答案：不能．否則，α4能由α1，α2，α3線性表示，由(1)知α1能由α2，α3線性表示，=>α4能由α2，α3線性表示，這與α2，α3，α4線性無關(guān)矛盾．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)14．設(shè)A是n階矩陣，若存在正整數(shù)k，使線性方程組AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0，證明：向量組α，4α，…，AAk-1α線性無關(guān)．正確答案：設(shè)有一組數(shù)λ0，λ1，…，λk-1使λ0α+λ1Aα+…+λk-mAk-1α=0，兩端左乘Ak-1，由于Ak+mα=0(m=0，1，2，…)，=>λ0Ak-1α=0，又Ak-1α≠0，=>λ0=0，同理可證λ1=…=λk-1=0，故α，Aα，…，Ak-1線性無關(guān)．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)已知3階矩陣A與3維向量x，使得向量組x，Ax，A2x線性無關(guān)．且滿足A3x=3Ax一2A2x．15．記矩陣P=[x，Ax，A2x]，求3階矩陣B，使A=PBP-1；正確答案：AP=A[xAxA2x]=[AxA2xA3x]=[AxA2x3Ax一2A2x]其中，使AP=PB，或A=PBP-1涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)16．計(jì)算行列式∣A+E∣．正確答案：由(1)有A=PBP-1=>A+E=P(B+E)P-1=>∣A+E∣=∣B+E∣=一4．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)17．設(shè)向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αr線性無關(guān)，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)：β1，β2，…，βs線性表示．證明：在(Ⅱ)中至少存在一個向量βj，使得向量組βj，α2，…，αr線性無關(guān)．正確答案：用反證法．否則對(Ⅱ)中每個向量βj，向量組βj，α2，…αr，都線性相關(guān)=>Bj可由α2，…，αr線性表出=>(Ⅱ)可由α2，…，αr線性表出=>(Ⅰ)可由α2，…，αr線性表出=>α1可由α2，…，αr線性表出，這與(Ⅰ)線性無關(guān)矛盾．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)18．設(shè)n個n維列向量α1，α2，…，αn線性無關(guān)，P為n階方陣，證明：向量組Pα1，Pα2，…，Pαn線性無關(guān)∣P∣≠0．正確答案：向量組Pα1，Pα2，…，Pαn線性無關(guān)行列式Pα1Pα2…Pαn∣≠0∣P∣∣α1α2…αn∣≠0(注意由條件有行列式∣α1α2…αn∣≠0)∣P∣≠0．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)19．設(shè)向量β可由向量組α1，α2，…，αn線性表示，證明：表示唯一的充分必要條件是向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)．正確答案：由條件有k1α1+k2α2+…+knαn=β…①．必要性．設(shè)表示唯一，若λ1α1+λ2α2+…+λnαn=0…②，①與②兩端分別相加，得(k1+λ1)α2+(k2+λ2)α2+…+(kn+λn)αn=β…③，由表示唯一，比較①與③，得kj=kj+λj(j=1，2，…，n)=>λj=0(j=1，2，…，n)，=>α1，α2，…，αn線性無關(guān)．充分性：設(shè)α1，α2，…，αn線性無關(guān)，若還有s1α1+s2α2+…+snαn=β…④，①一④，得(k1一s1)α1+(k2一s2)α2+…+(kn一sn)α4=0，由α1，α2，…，αn線性無關(guān)，得kj=sj(j=1，2，…，n)，即④式必為①式．故表示唯一．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)20．設(shè)向量組α1=(1，1，1，3)T，α2=(一1，一3，5，1)T，α3=(3，2，一1，n+2)T．α4=(一2，一6，10，α)T．(1)α為何值時，該向量組線性無關(guān)?并在此時將向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4線性表出；(2)α為何值時，該向量組線性相關(guān)?并在此時求出它的秩和一個極大無關(guān)組．正確答案：對矩陣A=[α1α2α3α4∣α]作初等行變換，化為階梯形：(1)當(dāng)a≠2時，矩陣A=[α1α2α3α4]的秩為4，即向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)．此時設(shè)x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α，解得(x1，x2，x3，x4)=，即有(2)當(dāng)α=2時，向量組α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，此時該向量組的秩為3，{α1，α2，α3}(或{α1，α3，α4})為其一個極大無關(guān)組．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)21．已知向量組(Ⅰ)：β1=(0，1，一1)T，β2(α，2，1)T，β2=(6，1，0)T與向量組(Ⅱ)：α1=(1，2，一3)T，α2=(3，0，1)T，α3=(9，6，一7)T具有相同的秩，且β2可由向量組(Ⅱ)線性表示，求a、b的值．正確答案：α1，α2是向量組(Ⅱ)的一個極大無關(guān)組，(Ⅱ)的秩為2，故(Ⅰ)的秩為2．故(Ⅰ)線性相關(guān)，從而行列式∣β1β2β3∣=0，由此解得α=3b．又β3可由(Ⅱ)線性表示，從而β3可由α1，α2線性表示，所以向量組α1，α2，β3線性相關(guān)，于是，行列式∣α1α2β3∣=0，解之得b=5，所以α=15，b=5．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)22．已知αi=(αi1，αi2…，αin)T(i=1，2，…，r，r＜n)是n維實(shí)向量，且α1，α2…，αr線性無關(guān)．已知β=(b1，b2，…，bn)T是線性方程組的非零解向量．試判斷向量組α1，α2，…，αr，β的線性柑關(guān)性．正確答案：由題設(shè)條件有βTαi=0(i=1，2，…，r)．設(shè)k1α1+…+krαr+kr+1β=0(*)兩端左乘βT，得kr+1βTβ=0，又β≠0，=>βTβ=∥β∥2＞0，故kr+1=0代入(*)式，得k1α1+…+krαr=0，又α1，…，αr，線性無關(guān)，所以有k1=…=kr=0，因此α1，…，αr，β線性無關(guān)．涉及知識點(diǎn)：線性代數(shù)23．設(shè)向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αr，線性無關(guān)，向量組(Ⅱ)可由向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)線性表示：βj=α1jα1+α2jα2+…+αrjαr(j=1，2．…，s)．證明：向量組(Ⅱ)線性無關(guān)矩陣A=(αij)r×s的秩為s．正確答案：不妨設(shè)αi(i=1，…，r)及βj(j=1，…，s)均為n維列向量，則題設(shè)的線性表示或可寫成矩陣形式：[β1β2…βr]=[α1α2…αr]A，