第二節(jié)　常用邏輯用語

第二節(jié)常用邏輯用語1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義.2.理解判定定理與充分條件的關(guān)系，性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的意義，能正確對兩種命題進(jìn)行否定.1．充分條件與必要條件的相關(guān)概念記p，q對應(yīng)的集合分別為A，B，則2.全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見量詞符號表示全稱量詞所有的、一切、任意一個、每一個、任給等__存在量詞存在一個、至少有一個、有些、對某些等__3.全稱(存在)量詞命題及含一個量詞的命題的否定命題名稱語言表示符號表示命題的否定全稱量詞命題對M中任意一個x，p(x)成立?x∈M，p(x)_____________存在量詞命題存在M中的一個x，p(x)成立?x∈M，p(x)_____________???x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)(1)不能將“若p，則q”與“p?q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時，才有“p?q”，即“p?q”等價于“若p，則q”為真命題．(2)p是q的充分不必要條件，等價于綈q是綈p的充分不必要條件．(3)命題p和綈p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假．1．命題“對任意x∈Z，x2＋2x＋m≤0”的否定是

(

)A．存在x∈Z，x2＋2x＋m＞0 B．不存在x∈Z，x2＋2x＋m＞0C．對任意x∈Z，x2＋2x＋m≤0 D．對任意x∈Z，x2＋2x＋m＞0答案：A2．(人教A版必修第一冊P22·T2(5)改編)設(shè)x＞0，y＞0，則x2>y2是x>y的

(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件答案：CA．充要條件

B．充分不必要條件C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件答案：C4．(蘇教版必修第一冊P43·T10改編)若命題“?x∈R，x2＋1＞m”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案：(－∞，1)5．(人教B版必修第一冊P36·T5改編)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要條件，則a的取值范圍為________．答案：(－∞，3)層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點(一)含量詞命題的否定

[題點全訓(xùn)]1．(2022·菏澤一模)命題“?x∈R，x2≥0”的否定是

(

)A．?x∈R，x2≥0 B．?x∈R，x2<0C．?x∈R，x2<0 D．?x∈R，x2≤0答案：C2．已知命題p：“?x∈R，ex－x－1≤0”，則綈p為

(

)A．?x∈R，ex－x－1≥0 B.?x∈R，ex－x－1＞0C．?x∈R，ex－x－1＞0 D．?x∈R，ex－x－1≥0答案：C3．設(shè)命題p：所有正方形都是平行四邊形，則綈p為

(

)A．所有正方形都不是平行四邊形B．有的平行四邊形不是正方形C．有的正方形不是平行四邊形D．不是正方形的四邊形不是平行四邊形答案：C基礎(chǔ)點(二)含量詞命題的真假判斷

[題點全訓(xùn)]1．下列命題為假命題的是

(

)A．?x∈R,2x－1＞0 B．?x∈N*，(x－1)2＞0C．?x∈R，lgx＜1 D．?x∈R，tanx＝2解析：當(dāng)x∈N*時，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，當(dāng)x＝1時取等號，故B不正確；易知A、C、D正確，故選B.答案：B

答案：D

[一“點”就過](1)含量詞命題的否定，一是要改寫量詞，二是要否定結(jié)論．(2)判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個x，使p(x)成立即可．層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)充分、必要條件的判斷

[典例]

(1)(2021·天津高考)已知a∈R，則“a>6”是“a2>36”的

(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件(2)(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，則“a·c＝b·c”是“a＝b”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件[解析]

(1)由題意，若a>6，則a2>36，故充分性成立；若a2>36，則a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立．所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要條件．(2)若a·c＝b·c，則|a||c|cos〈a，c〉＝|b||c|·cos〈b，c〉，即|a|cos〈a，c〉＝|b|cos〈b，c〉．若令a·c＝b·c＝0，則cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉＝0，此時|a|不一定等于|b|，則a不一定等于b，充分性不成立．若a＝b，則a·c＝b·c，必要性成立．所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分條件．故選B.[答案]

(1)A

(2)B[方法技巧]判斷充分、必要條件的2種方法定義法直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．在判斷時，確定條件是什么、結(jié)論是什么集合法利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性的問題[方法技巧]由充分、必要條件求參數(shù)范圍的策略巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式(組)求解，注意條件的等價變形端點值慎取舍在求參數(shù)范圍時，要注意區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍[針對訓(xùn)練]1．(2022·西安模擬)已知條件p：(x－m)(x－m－3)>0；條件q：x2＋3x－4<0.若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是

(

)A．[－7,1] B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7,1) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：設(shè)集合P＝{x|x<m或x>m＋3}，Q＝{x|－4<x<1}．因為p是q的必要不充分條件，則Q是P的真子集，所以m＋3≤－4或m≥1，即m≤－7或m≥1，故選B.答案：B

2．已知條件p：x2－3x＋2≤0，條件q：(x－a)(x－a－5)≤0.若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是

(

)A．[－3,1]

B．(－3,1]

C．[－3,1) D．(－3,1)重難點(三)根據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)

[典例]已知命題“?x∈R，ax2－ax＋1>0”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．根據(jù)全稱(存在)量詞命題的真假求參數(shù)的思路與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時，一般先利用等價轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．

層級三/細(xì)微點——優(yōu)化完善(掃盲點)一、全面清查易錯易誤點1．(不對命題完全否定致誤)已知命題p：?x≥0，ex<1且sinx>1，則綈p為

(

)A．?x<0，ex<1且sinx>1B．?x<0，ex≥1或sinx≤1C．?x≥0，ex<1或sinx>1D．?x≥0，ex≥1或sinx≤1解析：命題p：?x≥0，ex<1且sinx>1，為全稱量詞命題，所以綈p：?x≥0，ex≥1或sinx≤1，故選D.答案：D

2．(混淆條件與結(jié)論致誤)(多選)設(shè)x∈R，則x＞2的一個必要不充分條件是

(

)A．x＜1B．x＞1

C．x＞－1 D．x＞33．(混淆“充分條件”與“充分不必要條件”)已知p：－1<x<3，q：－1<x<m＋2，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析：因為p是q的充分不必要條件，則{x|－1<x<3}

{x|－1<x<m＋2}，所以m＋2>3，解得m>1.因此，實數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)二、融會貫通應(yīng)用創(chuàng)新題4．(弘揚傳統(tǒng)文化)荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”這句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累，就永遠(yuǎn)無法達(dá)成目標(biāo)的哲理．由此可得，“積跬步”是“至千里”的

(

)A．充分不必要條件