函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 省賽獲獎(jiǎng)

函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)（2）一、復(fù)習(xí):1.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0及其附近有定義,如果f(x0)的值比x0

附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大,我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x)

的一個(gè)極大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小,我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱極值.2.當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時(shí),判別f(x0)是極大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左側(cè)右側(cè)那么,f(x0)是極大值;(2):如果在x0附近的左側(cè)右側(cè)那么,f(x0)是極小值.3.理解函數(shù)極值的定義時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(6)極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)取到.4.確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手,理解可導(dǎo)函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系,掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法.(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念,極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)而不會(huì)是端點(diǎn).(2)若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.(3)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系,即極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.(4)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn),同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn).

一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值點(diǎn)時(shí),函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的.(5)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,而不是充分條件.練習(xí)1：下列結(jié)論中正確的是（）。

A、導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)。

B、如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是極大值。

C、如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么f(x0)是極大值。Ｄ、極大值一定大于極小值。B0xy2、函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y/與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為()A、導(dǎo)數(shù)y/由負(fù)變正,則函數(shù)y由減變?yōu)樵?且有極大值B、導(dǎo)數(shù)y/由負(fù)變正,則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值C、導(dǎo)數(shù)y/由正變負(fù),則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極小值D、導(dǎo)數(shù)y/由正變負(fù),則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值Dx(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)

↗極大值-2a↘↘極小值2a↗故當(dāng)x=-a時(shí),f(x)有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)x=a時(shí),f(x)有極小值f(a)=2a.例1:求函數(shù)的極值.解:函數(shù)的定義域?yàn)榱?解得x1=-a,x2=a(a>0).當(dāng)x變化時(shí),,f(x)的變化情況如下表:練習(xí)1:求函數(shù)的極值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.當(dāng)x變化時(shí),,y的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y

↘極大值-3↗極小值3↘因此,當(dāng)x=-1時(shí)有極大值,并且,y極大值=3;而,當(dāng)x=1時(shí)有極小值,并且,y極小值=-3.例2:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b.

若,函數(shù)f(x)圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜率為k,試討論k≥-1成立的充要條件.解

等價(jià)于當(dāng)時(shí),-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-1≤0對(duì)一切恒成立.由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.反之,當(dāng)a≥1時(shí),g(x)≤0對(duì)一切恒成立.所以,a≥1是k≥-1成立的充要條件.2:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2處有極值，求a、b的值解：∴因?yàn)樵趚=1和x=2處,導(dǎo)數(shù)為0練習(xí)3:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為

10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一個(gè)根x=1,故3+2a+b=0.①又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或當(dāng)a=-3,b=3時(shí),,此時(shí)f(x)在x=1處無極值,不合題意.當(dāng)a=4,b=-11時(shí),-3/11<x<1時(shí),;x>1時(shí),,此時(shí)x=1是極值點(diǎn).從而所求的解為a=4,b=-11.例3：已知函數(shù)求的極值解:令解得所以函數(shù)的極大值為，極小值為當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:↘--+↗↘--極小值極大值例4:已知函數(shù)f(x)滿足條件:①當(dāng)x>2時(shí),;②當(dāng)

x<2時(shí),;③.

求證:函數(shù)y=f(x2)在處有極小值.證:設(shè)g(x)=f(x2),則故當(dāng)