專題8.1 期中測(cè)試卷（拔尖）（北師大版）（解析版）

期中測(cè)試卷（拔尖）【北師大版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023春·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在實(shí)數(shù)2.1010010001……（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0），227，4，39，100，π中，不是無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)即整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，無(wú)理數(shù)即無(wú)限不循環(huán)小數(shù)判斷即可．【詳解】∵2.1010010001……（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0）是無(wú)理數(shù)，2274=39100是整數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，π是無(wú)理數(shù)，∴故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)，無(wú)理數(shù)，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列軸對(duì)稱圖形中，有4條對(duì)稱軸的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用軸對(duì)稱圖形定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，有5條對(duì)稱軸，故此選項(xiàng)不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸，故此選項(xiàng)不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，有1條對(duì)稱軸，故此選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．3．（3分）（2023春·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若2=a，3=b，用含a，A．a(chǎn)3b2 B．2a2b【答案】C【分析】利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)而化簡(jiǎn)用含有a，b的式子表示【詳解】解：∵2∴0.96故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（3分）（2023春·安徽六安·八年級(jí)校考期中）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)等面積法證明即可．【詳解】解：A．∵4×12ab+b-a2=B．∵12ab+12C．2ab+a2+bD．∵4×12ab+c2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握等面積法證明勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)a滿足2000-a+a-2001=a，那么a-2000A．1999 B．2000 C．2001 D．2002【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)與算術(shù)平方根的性質(zhì)先化簡(jiǎn)，進(jìn)而平方即可得到答案【詳解】解：∵a-2001≥0，∴a≥2001>2000，即2000-a<0，∴2000-a+a-2001=a-2000+a-2001即a-2001=2000∴a-20012=20002∴a-2000故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及到絕對(duì)值性質(zhì)與算術(shù)平方根的性質(zhì)，根據(jù)條件逐步恒等變形到所求代數(shù)式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（3分）（2023秋·上?！ぐ四昙?jí)期中）已知m、n是正整數(shù)，若2m+5n是整數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)對(duì)（m，A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)分析即可得出答案．【詳解】解：∵2m+5n是整數(shù)，m、∴m=2，n=5或m=8，n=20，當(dāng)m=2，n=5時(shí)，原式=2是整數(shù)；當(dāng)m=8，n=20時(shí)，原式=1是整數(shù)；即滿足條件的有序數(shù)對(duì)（m，n）為（2，5）或（8，20），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的運(yùn)算，估算無(wú)理數(shù)的大小的應(yīng)用，題目比較好，有一定的難度．7．（3分）（2023春·四川廣安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A1,1、B-1,1、C-1,-2、D1,-2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度按逆時(shí)針?lè)较蜓厮倪呅蜛BCD的邊做環(huán)繞運(yùn)動(dòng)；另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度按順時(shí)針?lè)较蜓厮倪呅蜟BAD的邊做環(huán)繞運(yùn)動(dòng)，則第

A．-1,-1 B．-1,1 C．-2，2 D【答案】D【分析】利用行程問(wèn)題中的相遇問(wèn)題，由于矩形的邊長(zhǎng)為3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地點(diǎn)的坐標(biāo)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：∵點(diǎn)A1,1、B-1,1、C-1,-2∴AB=CD=1--1=2，∴矩形的周長(zhǎng)為2×2+3由題意，經(jīng)過(guò)1秒時(shí)，P、Q在點(diǎn)B-1,1處相遇，接下來(lái)P、Q兩點(diǎn)走的路程和是10的倍數(shù)時(shí)，兩點(diǎn)相遇，相鄰兩次相遇間隔時(shí)間為10÷∴第二次相遇點(diǎn)是CD的中點(diǎn)0,-2，第三次相遇點(diǎn)是點(diǎn)A1,1第四次相遇點(diǎn)是點(diǎn)-1,-1，第五次相遇點(diǎn)是點(diǎn)1,-1，第六次相遇點(diǎn)是點(diǎn)B-1,1，……由此發(fā)現(xiàn)，每五次相遇點(diǎn)重合一次，∵2023÷5=404??3，∴第2023次相遇點(diǎn)的坐標(biāo)與第三次相遇點(diǎn)的坐標(biāo)重合，即A1,1故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了行程問(wèn)題中的相遇問(wèn)題及按比例分配的運(yùn)用、點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探究，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律就可以解決問(wèn)題．8．（3分）（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABD中，BD=6，AB=10，BC平分∠ABD，AC⊥BC，則BC的值是（

A．7 B．8 C．45 D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)AC、BD交于E，根據(jù)勾股定理可求出AD長(zhǎng)，通過(guò)△BCA≌△BCE得到AB=BE=10，進(jìn)而求得DE長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求AE，利用△ABE面積可求出【詳解】解：延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)

在Rt△ABD中，BD=6，AB=10∴AD=10∵BC平分∠ABD，AC⊥BC，∴∠ABC=∠EBC，∵BC=BC，∴△BCA≌△BCE，∴AB=BE=10，∴DE=10-6=4，在Rt△ADE∴AE=4∵S∴1∴BC=45故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，添加輔助線解決問(wèn)題是關(guān)鍵．9．（3分）（2023秋·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2厘米和4厘米，高為5厘米.若一只螞蟻從P點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為（）厘米A．8 B．10 C．12 D．13【答案】D【詳解】試題解析：如圖所示：∵長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，高為5cm．∴PA=4+2+4+2=12（cm），QA=5cm，∴PQ=PA2故選D．10．（3分）（2023春·安徽安慶·八年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，AD=BC=3，AB=CD=5，點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊得到△AD'E，連接D'B，當(dāng)△AA．1或4 B．43或9 C．1或9 D．43【答案】C【分析】分兩種情況：①當(dāng)E點(diǎn)在線段DC上時(shí)，②當(dāng)E點(diǎn)在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，利用全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：分兩種情況討論：①當(dāng)E點(diǎn)在線段DC上時(shí)，如圖所示：∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E=∠D=90°，∵∠AD'B=90°，∴∠AD'B+∠AD'E=180°，∴B、D'、E三點(diǎn)共線，∵△ABE的面積=12BE×AD'=12AB×AD，AD'=∴BE=AB=5，∵BD'=AB2∴DE=D'E=5-4=1；②當(dāng)E點(diǎn)在線段DC的延長(zhǎng)線上，且ED″經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，滿足條件，如圖所示：∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∠D∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE=AB=5，∵BD''=52-∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9；綜上所知，DE的長(zhǎng)為1或9，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握翻折的性質(zhì)，分類探討的思想方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，有一定難度．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？计谥校┮阎c(diǎn)P的坐標(biāo)是m+2,2m-4，若點(diǎn)P在y軸上，則m=；若點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則m=．【答案】-223或6/6或【分析】根據(jù)y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，即可求出m的值；根據(jù)點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等可得2m-4=m+2，解之即可求出【詳解】解：∵點(diǎn)P在y軸上，∴m+2=0,∴m=-2，故答案為：-2；∵點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，∴2m-4=m+2，即2m-4=m+2解得：m=6或m=23故答案為：23或6【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，掌握x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0、y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0、Px,y到x軸的距離為y、到y(tǒng)軸的距離為x12．（3分）（2023春·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將有一邊重合兩張直角三角形紙片AC=BC=BD=1放在數(shù)軸上，紙片上的點(diǎn)A表示的數(shù)是-2，若以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點(diǎn)E（點(diǎn)E位于點(diǎn)A右側(cè)），則點(diǎn)E表示的數(shù)為．

【答案】-2+【分析】根據(jù)勾股定理可以求得AB和AD的長(zhǎng)，再根據(jù)AD和AE，點(diǎn)A表示的數(shù)為-2，即可寫出點(diǎn)E表示的數(shù)．【詳解】解：∵AC=BC=BD=1，∠ACB=∠ABD=90°，∴AB=A∴AD=A∵AD=AE，∴AE=3∵點(diǎn)A表示的數(shù)是-2，∴點(diǎn)E表示的數(shù)為-2+3故答案為：-2+3【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．13．（3分）（2023春·陜西安康·八年級(jí)校考期中）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，有標(biāo)號(hào)為①、②、③的三個(gè)三角形(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上)，其中是直角三角形，且邊長(zhǎng)符合勾股數(shù)的有個(gè)．

【答案】0【分析】根據(jù)滿足a2【詳解】解：由勾股定理可得：圖③中的各邊分別為5，圖②中的各邊分別為2、2、22圖①中的各邊分別為2，故答案為：0．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理和勾股數(shù)的概念，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出各邊數(shù)值解答．14．（3分）（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若記x表示任意實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如：3.5=3，5=2，…，則1-2+3-4???-【答案】5【分析】找到1～100所有平方數(shù)，確定其中間各個(gè)數(shù)字的個(gè)數(shù)規(guī)律，直接計(jì)算即可得到答案【詳解】解：12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，∵x表示任意實(shí)數(shù)的整數(shù)部分1～3由3個(gè)1，4～8有5個(gè)2，9～15有7個(gè)3，16～24有9個(gè)4，25～35有11個(gè)5，36～48有13個(gè)6，49～63有15個(gè)7，64～80有17個(gè)8，81～99有19個(gè)9，∴原式=1-2+3-4+5-6+7-8+9=5，故答案為：5；【點(diǎn)睛】本題考查根數(shù)估算與規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是找到兩個(gè)平方數(shù)之間數(shù)字的個(gè)數(shù)及符號(hào)選擇．15．（3分）（2023秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市西鄉(xiāng)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°,AD=AB,CD=17，連接AC、BD，若AC⊥BC,AC=4，則【答案】5【分析】先過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，求出∠ACB=∠DEA，∠BAC=∠ADE，然后根據(jù)“AAS”證△ABC≌△DAE，得出DE=AC=4，AE=BC，最后再根據(jù)勾股定理計(jì)算BD即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，∵∠BAD=90°，AC⊥BC，∴∠DEA=∠ACB=∠BAD=90°，∴∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，∠DAC+∠ADE=180°-∠DEA=90°，∴∠BAC=∠ADE，在△ABC和△DAE中，∠BAC=∠ADE∠ACB=∠DEA∴△ABC≌△DAE(AAS∴DE=AC=4，AE=BC，在Rt△DEC中，CE=∴AE=AC-CE=4-1=3，∴BC=3，在Rt△ACB中，AB=∴AD=AB=5，在Rt△ABD中，BD=故答案為：52【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形和勾股定理的綜合，正確構(gòu)建輔助線證出△ABC≌△DAE是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2023秋·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，等腰Rt△ABC是由三塊面向內(nèi)的鏡面組成的，其中∠B=90°，AB邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)D處發(fā)出一道光線DE，經(jīng)鏡面兩次反射后恰好回到點(diǎn)D，若BD=10cm，則光線走過(guò)的路徑是cm【答案】20【分析】根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用光的反射原理與對(duì)稱性，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，勾股定理即可求解．【詳解】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，M，N分別是點(diǎn)D關(guān)于直線BC和y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接AM，∵BD=10cm，D為AB邊上靠近點(diǎn)B可得，A(30,0)，B0,0，C(∴AD=AM=20，BD=BN=10設(shè)M，N分別是點(diǎn)D關(guān)于直線BC和y軸的對(duì)稱點(diǎn)，則M(30,20)，由光的反射原理可知，M、E、F、N四點(diǎn)共線，|DE|=|EM|，|DF|=|FN|，∴光線走過(guò)的路徑=|MN|，|MN|=(30+10即光線走過(guò)的路徑是205故答案為：205【點(diǎn)睛】本題考查三角形的性質(zhì)與軸對(duì)稱圖形的靈活應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵在于正確建立直角坐標(biāo)系并求解．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023春·山西呂梁·八年級(jí)校考期中）計(jì)算：(1)14(2)3-64(3)2x+1(4)32x-1【答案】(1)－1(2)-(3)x=1或x=-3(4)x【分析】（1）利用平方根、立方根定義，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）利用立方根定義，去括號(hào)法則，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果；（3）方程變形后，利用平方根定義開(kāi)方即可求出解；（4）方程利用立方根定義開(kāi)立方即可求出解．【詳解】（1）1==-1（2）3=-4-2=-（3）2變形為x+12開(kāi)方，得x+1=±2∴x=1或x=-3（4）3變形為2x-13開(kāi)方，得2x-1=-3∴x=-1【點(diǎn)睛】本題考查開(kāi)平方，開(kāi)立方，絕對(duì)值等運(yùn)算，直接開(kāi)方法解一元二次方程，開(kāi)立方解方程，熟練掌握開(kāi)平方，開(kāi)立方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．18．（6分）（2023秋·福建莆田·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A1,1，B4,2，

(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱的圖形△A(2)在x軸上求一點(diǎn)P，使△PAB周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫出△PAB，并通過(guò)畫圖直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求△ABC的面積．【答案】(1)圖見(jiàn)解析(2)圖見(jiàn)解析，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)(3)7【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．（2）連接A1B，交x軸于點(diǎn)P，連接PA，PB，此時(shí)點(diǎn)P滿足ΔPAB（3）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，△A

（2）解：如圖，△PAB即為所求．由圖可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)．

（3）解：由圖可得：S△ABC∴△ABC的面積為72【點(diǎn)睛】本題考查作圖—軸對(duì)稱變換、軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題、三角形的面積，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．19．（8分）（2023秋·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)正方形．它是美麗的弦圖．其中四個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a，b（a＜b），斜邊長(zhǎng)為c．（1）結(jié)合圖①，說(shuō)明：a2+b2＝c2；（2）如圖②，將這四個(gè)全等的直角三角形無(wú)縫隙無(wú)重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長(zhǎng)為24，OH＝3，求該圖形的面積；（3）如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接成正方形PQMN，記正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，則S2＝．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）24；（3）6【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式證明解答即可；（2）根據(jù)勾股定理和三角形面積公式解答即可；（3）設(shè)正方形EFGH的面積為x，設(shè)其他八個(gè)全等的三角形每個(gè)的面積為y，根據(jù)題意得出方程解答即可．【詳解】證明：SS即a∴（2）∵AB+BC=24÷4=6設(shè)AH=BC=x，則AB=6-x，在Rt△AOB中，由勾股定理得：O即3解得：x=1∴S=（3）設(shè)正方形EFGH的面積為x，設(shè)其他八個(gè)全等的三角形每個(gè)的面積為y∵∴S1=8y+x，∴∴x+4y=6∴【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，關(guān)鍵是根據(jù)面積公式和勾股定理解答．20．（8分）（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，甲、乙兩只捕撈船同時(shí)從A港口出發(fā)捕魚，甲船以每小時(shí)152千米的速度沿西偏北30°方向前進(jìn)，乙船以每小時(shí)15千米的速度沿東北方向前進(jìn)，甲船航行2小時(shí)到達(dá)C處，于是甲船立即加速后保持勻速沿北偏東75°的方向追趕乙船，結(jié)果兩船在B處相遇．

(1)求∠B的度數(shù)；(2)求乙船航行多少小時(shí)被甲船追上．【答案】(1)30°；(2)4小時(shí)．【分析】（1）根據(jù)題意可得：∠FAB=∠BAE=45°，∠BCN=90°-75°=15°，∠DAC=30°，MN∥DE，從而可得∠NCA=∠DAC=30°，進(jìn)而可得∠BCA=45°，然后利用平角定義求出(2)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CB，垂足為G，根據(jù)題意可得：AC=302千米，然后在Rt△ACG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG，CG的長(zhǎng)，再在Rt△ABG中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出【詳解】（1）解：如圖：

由題意得：∠FAB=∠BAE=45°，∠BCN=90°-75°=15°，MN∥∴∠NCA=∠DAC=30°，∴∠BCA=∠BCN+∠NCA=45°，∵∠CAB=180°-∠DAC-∠BAE=105°，∴∠B=180°-∠CAB-∠BCA=30°，∴∠B的度數(shù)為30°；（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CB，垂足為G，

由題意得：AC=2×152=303，在Rt△ACG中，∠BCA=45°∴AG=302×22=30CG=302×22=30在Rt△ABG中，∠B=30°∴AB=2AG=60(千米)，∴60÷15=4(小時(shí))，∴乙船航行4小時(shí)被甲船追上．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2023秋·廣西欽州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線BC上（不與點(diǎn)B、C重合），連接DB，DE，將DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接BF．(1)如圖1，點(diǎn)E在BC邊上．①依題意補(bǔ)全圖1；②若AB=6，EC=2，求BF的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上，用等式表示線段BD，BE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②BF=2(2)BF+BD=2【分析】（1）①根據(jù)題意作圖即可；②過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于H，證明△DEC≌△EFH得到EC=FH=2，CD=BC=EH=6，則HB=EC=2，在Rt△FHB（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于H，證明△DEC≌△EFH得到EC=FH，CD=BC=EH，則HB=EC=HF，△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）①如圖所示，即為所求；②如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=AB=6，∠C=90°，∵∠DEF=∠C=90°，∴∠DEC+∠FEH=90°，∠DEC+∠EDC=90°，∴∠FEH=∠EDC，在△DEC和△EFH中，∠H=∠C=90°∠FEH=∠EDC∴△DEC≌△EFH，∴EC=FH=2，CD=BC=EH=6，∴HB=EC=2，∴在Rt△FHB中，BF=（2）結(jié)論：BF+BD=2過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=AB，∠DCE=90°，∵∠DEF=∠DCE=90°，∴∠DEC+∠FEH=90°，∠DEC+∠EDC=90°，∴∠FEH=∠EDC，在△DEC和△EFH中，∠FHE=∠DCE=90°∠FEH=∠EDC∴△DEC≌△EFH，∴EC=FH，CD=BC=EH，∴HB=EC=HF，∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，∴BD=BC2∵EH+BH=BE，∴BF+BD=2【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．22．（8分）（2023春·江西南昌·八年級(jí)校考期中）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+22若設(shè)a+b2=m+n22=m2+2n2+2mn2（其中a(1)若a+b7=m+n72，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=(2)若a+63=m+n32，且a、m(3)化簡(jiǎn)下列各式：①5+2②7-2③4-10+2【答案】(1)m2+7(2)12或28(3)①3+2，②5-【分析】（1）利用完全平方公式展開(kāi)可得到用m、n表示出a、b；（2）利用（1）中結(jié)論得到6=2mn，利用a、m、n均為正整數(shù)得到m=1，n=3或m=3，n=1，然后利用a=m2+3（3）設(shè)4-10+25+4+10+25=t，兩邊平方得到t2=4-10+25+4【詳解】（1）設(shè)a+b7=m+n72=m2+7則有a=m2+7故答案為：m2+7n（2）∵6=2mn，∴mn=3，∵a、m、n均為正整數(shù)，∴m=1，n=3或m=3，n=1，當(dāng)m=1，n=3時(shí)，a=m當(dāng)m=3，n=1時(shí)，a=m即a的值為12或28；（3）①5+2===②7-2===③設(shè)4-10+2則t2=4-10+25=8+2=8+2=8+2=6+2=5∴t=5【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈