2023年浙江省諸暨市高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的，形如2*+l(neN)的素?cái)?shù)(如：2”+1=3)為費(fèi)馬索數(shù)，在不超過(guò)30的正偶

數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()

2141

A.—B?—C.—D.一

155153

2,阿基米德(公元前287年一公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱(chēng)

為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說(shuō)，他自己覺(jué)得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并

且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一

個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為54〃的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為()

3.已知函數(shù)f(x)=2sin(5-?(A>0,o>0),將函數(shù)/(*)的圖象向左平移？個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若

函數(shù)g(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是X=31T,則。的最小值為

6

1255

A.-B.-C?-D.一

6336

4.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，

有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專(zhuān)著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.某中學(xué)

擬從這5部專(zhuān)著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專(zhuān)著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝

時(shí)期專(zhuān)著的概率為()

A.-B.—C.—D.—

510510

5.設(shè)a=log73,b=bg",c=3。，，則a,b,c的大小關(guān)系是（）

3

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

6.如圖是正方體截去一個(gè)四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是()

100

1

7.設(shè)集合U=R(R為實(shí)數(shù)集)，A={X\X>0}9B={X\X>1}9則40。泮=()

A.1%|0<x<l}B.{x|O<x<l}C.{x|x>l}D.{x|x>0}

8.已知等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S〃，且S25=50,則知+陽(yáng)=()

A.4B.8C.16D.2

9.已知命題〃：VxeR,%2-x+l<0;命題4：3XGR,X2>2V,則下列命題中為真命題的是()

A.p^qB.-p^qC.PAfD.

10.已知函數(shù)/(無(wú))=lnx+ln(3-x),貝(j()

A.函數(shù)/(x)在(0,3)上單調(diào)遞增B.函數(shù)fix)在(0,3)上單調(diào)遞減

3D.函數(shù)/")圖像關(guān)于90)對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)/(x)圖像關(guān)于工=:對(duì)稱(chēng)

2

2,

x-x,x<a

11.已知函數(shù)/(%)=<(a>0),若函數(shù)g(x)=/(x)-4W有三個(gè)零點(diǎn)，則4的取值范圍是

5-x,x>a

B.(0,1)U[5,+a))

A.(0,l)U[5,+8)

D.(1,5]

C.(1,5]

12.已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為()

A.2V2B.2GC.4D.2n

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知雙曲線二-口=1(。>。>0)的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩漸近線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)重合，則雙曲線的離心率為

礦b~

14.已知集合A=｛-1,0,2｝,8=｛HX=2〃-1,z?eZ1,則4口8=.

15.設(shè)函數(shù)/(x)(xeR)滿足/(一%)=/0),/。)=/(2-外,且當(dāng)》40,1]時(shí)/(%)=>?,又函數(shù)8色)=|%以雙公:)|,

13

則函數(shù)〃(幻=g(x)-/(x)在「不力上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.

22

16.在長(zhǎng)方體ABC。-4月G9中，AB=1,AD=2,M=1,￡為8C的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面AQE的距離是

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐P—A3CD中底面ABCD是菱形，N&M>=60。，△?[￡>是邊長(zhǎng)為2的正三角形,

FC=VW,E為線段AD的中點(diǎn).

(1)求證：平面PBC_L平面P3E；

(2)是否存在滿足所=丸記(4>0)的點(diǎn)/，使得力_小￡=1%,律？若存在，求出4的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

18.(12分)已知等差數(shù)列｛a,,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，S“為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，4=1,a4-?3=H.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)?！?；

(2)設(shè)瓦=加3",求數(shù)列｛瓦｝的前"項(xiàng)和7,,.

19.(12分)在△A6C中，角A8,C的對(duì)邊分別為且csinB=bsin(5-C)+&.

(1)求角。的大??；

(2)若c=近,。+/?=3,求A3邊上的高.

20.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-a(五-1).

(1)若函數(shù)y=/(x)在(1，m)是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實(shí)數(shù)4的取值范圍;

(2)若拉〉m>0,證明:2+Inz?<2J—blnm.

Vm

-Ia1

如(12分)已知矩陣M”43匹R)不存在逆矩陣,且非零特低值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量〃==］，求。，匕的值?

22.(10分)2019年是中華人民共和國(guó)成立70周年.為了讓人民了解建國(guó)70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)

選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：［20,30),［30,40),…，［70,80］,并繪制了如圖所示的

頻率分布直方圖.

，餐率陽(yáng)皿

0.035-

0.030

0.025-

0.020?

0.0IS-

0.010-

0.005-

年好料

(D現(xiàn)從年齡在［20,30),［30,40),［40,50)內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)

行座談，用X表示年齡在［30,40))內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有Z名市民的年齡在［30,50)

的概率為P(X=Z:)(%=0,l,2,i,20).當(dāng)P(X=k)最大時(shí)，求人的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

基本事件總數(shù)〃=15,能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3個(gè)，根據(jù)古

典概型求出概率.

【詳解】

在不超過(guò)3()的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，基本事件總數(shù)”=15

能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3個(gè)

31

則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是P=-

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為S=2萬(wàn)*+2兀Rx27?=54萬(wàn)，解得球的半徑R=3,再

代入球的體積公式求解.

【詳解】

設(shè)球的半徑為R,

根據(jù)題意圓柱的表面積為S=2兀R2+2萬(wàn)斤x2萬(wàn)=54萬(wàn)，

解得R=3,

44

所以該球的體積為廠=一萬(wàn)〃=一x萬(wàn)x33=36%.

33

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史了解，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

將函數(shù)/(x)的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)=2sin(ox+號(hào)-1)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)g(X)的圖象的一條

對(duì)稱(chēng)軸是彳=工，所以sin(3+W-W)=±l,即?+==+所以@=3+2Z,keZ,又。＞0,所以

663363323

切的最小值為故選c.

3

4.D

【解析】

利用列舉法，從這5部專(zhuān)著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專(zhuān)著中至

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.

【詳解】

《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專(zhuān)著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝

時(shí)期.記這5部專(zhuān)著分別為a,b,c,d,e,其中a,6,c產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.從這5部專(zhuān)著中選擇2部作為“數(shù)

學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事■件有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10種情況，所選2部專(zhuān)著中至少有一部

是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的基本事件有加,ae,bc,M,0e,cd,ce,,共9種情況，所以所選2部專(zhuān)著中至

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的概率為2=—=5.故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的

關(guān)鍵，基本事件的探求方法有（1）枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；（2）樹(shù)狀圖法：適合于較

為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫(xiě)出：先（A，BJ,（A，鳥(niǎo)）….（A，紇），

再（4,耳），（4，與）…（&紇）依次（怎4）（怎為）….（人,紇）…這樣才能避免多寫(xiě)、漏寫(xiě)現(xiàn)象的發(fā)生.

5.D

【解析】

l>a=log73>0,"="gl7<°,C=3<”>1得解.

3

【詳解】

l>a=log73>0,"=】og|7<0,0=3。7>1,所以匕<。<。，故選D

3

【點(diǎn)睛】

比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見(jiàn)的方法.

6.C

【解析】

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：

由圖可知，該幾何體是在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A4GA中截去四棱錐用-ABC。所形成的幾何體,

17

該幾何體的體積為v=r一彳x『*1=

33

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用三視圖計(jì)算幾何體的體積，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算，即可求得AnC(.B.

【詳解】

集合。=R,A={x|x>0},3={x|x?l}

所以G，8={x|x<l}

所以AcQ8={x|x〉0}c{x|x<l}=1x|O<x<l|

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.

【詳解】

_25(6+45)

?25―Z=50=>q+Q25=4%=4.

2

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查基本量的計(jì)算，難度容易.

9.B

【解析】

根據(jù)/<0,可知命題，的真假，然后對(duì)X取值，可得命題g的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.

【詳解】

對(duì)命題P：

可知A=(-l)2-4<0,

所以VxeR,x2-x+l>0

故命題P為假命題

命題q：

取x=3,可知32>23

所以*eR,X2>2X

故命題q為真命題

所以力八夕為真命題

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用，識(shí)記真值表，屬基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

3

依題意可得/(3-幻=/(幻，即函數(shù)圖像關(guān)于％=二對(duì)稱(chēng)，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;

【詳解】

解：由/(3-x)=ln(3-x)+ln[3-(3-x)]=ln(3-x)+lnx=f(x),

3

.-./(3-x)=/(x),所以函數(shù)圖像關(guān)于x對(duì)稱(chēng)，

又r(x)='一；=：'―：、，在(0,3)上不單調(diào).

x3-xx(x-3)'

故正確的只有C,

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的判定，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

分段求解函數(shù)零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論即可求得結(jié)果.

【詳解】

作出y=/-x和y=5-x,>=4國(guó)的圖像如下所示:

函數(shù)g(x)=/(%)-4國(guó)有三個(gè)零點(diǎn)，

等價(jià)于V="X)與N=4國(guó)有三個(gè)交點(diǎn)，

又因?yàn)椤?gt;0,且由圖可知，

當(dāng)尤W0時(shí)y=/(x)與y=4國(guó)有兩個(gè)交點(diǎn)A,O,

故只需當(dāng)x>0時(shí)，y=/(x)與y=*|有一個(gè)交點(diǎn)即可.

若當(dāng)x〉0時(shí)，

ae(0,1)時(shí)，顯然口=□(口)與1=4間有一個(gè)交點(diǎn)口，故滿足題意；

a=l時(shí)，顯然=(L)與=4舊|沒(méi)有交點(diǎn)，故不滿足題意；

ae(l,5)時(shí)，顯然=)(□)與=4]|也沒(méi)有交點(diǎn)，故不滿足題意；

ae[5,+8)時(shí)，顯然y=〃x)與>=可X有一個(gè)交點(diǎn)C，故滿足題意.

綜上所述，要滿足題意，只需ae(0,l)U[5,+oo).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.

12.B

【解析】

由三視圖可知，該三棱錐如圖，其中底面ABC是等腰直角三角形，PC平面ABC,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即

可.

【詳解】

由三視圖可知，該三棱錐如圖所示：

其中底面A8C是等腰直角三角形，尸平面ABC,

由三視圖知，PC=2,AB=272,

因?yàn)镻C，5cpe_LAC,AC=8C,AC_LC8,

所以AC=BC=2,PA=P8=A5=272,

所以S“AC=SAPCS=SA4CB=gx2x2=2,

因?yàn)锳E46為等邊三角形，

所以SMAB=曰Al=乎X(2立『=2百'

所以該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為2K.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖還原幾何體并求其面積；考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)

鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.V2

【解析】

22

雙曲線二-馬=1(。＞0力＞0)的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩條漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)重合，可得一條漸近線的斜率為1,即。=。，

即可求出雙曲線的離心率.

【詳解】

22

解：???雙曲線二-3=13＞0,"0)的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩條漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)重合，

a~b

???一條漸近線的斜率為1,即

c=\f2a?.'.e——=-\/2,

a

故答案為：、歷.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定一條漸近線的斜率為1是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.{-1}

【解析】

由3={x|x=2〃—1,〃ez}可得集合B是奇數(shù)集，由此可以得出結(jié)果.

【詳解】

解：因?yàn)?={x|x=2〃-l,〃ez}

所以集合8中的元素為奇數(shù)，

所以An8={-1}.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.

15.1

【解析】

113

判斷函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，周期為2,判斷g(x)為偶函數(shù)，計(jì)算/(0)=0,/(1)=1,g(0)=g(-)=g(--)=g(p=0,

畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像到答案.

【詳解】

/(—x)=f(x)知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f(x)=f(2-x),函數(shù)關(guān)于X=1對(duì)稱(chēng)。

/(x)=/(2—x)=/(x—2),故函數(shù)/*)為周期為2的周期函數(shù)，且/(0)=0J⑴=1。

g(x)=|xcos(萬(wàn)x)|為偶函數(shù)，g(0)==°，g⑴=1，

當(dāng)0,—時(shí)，g(x)=XCOS(TTX),g'(x)=cos(7rx)-〃xsin(?x),函數(shù)先增后減。

(13]

當(dāng)時(shí)，g(x)=rc°sgo，g*(x)=^xsin(^x)-cos(^x),函數(shù)先增后減。

在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)在[-上當(dāng)上的圖像，發(fā)現(xiàn)在[-上當(dāng)內(nèi)圖像共有1個(gè)公共點(diǎn),

2222

13

則函數(shù)力(幻在一個(gè)F上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

22

故答案為：6.

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，確定函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱(chēng)性，周期性，畫(huà)出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.

16A

10.------

3

【解析】

利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離

【詳解】

由題在長(zhǎng)方體中，匕_A°￡=；xgx2xlxl=；,

22

A]D=^5,DE=>/2,EAi=ylA]A+AE=^.

所以+,所以。

SAA,DE=《X應(yīng)X6=半

設(shè)點(diǎn)A到平面AQE的距離為〃

V..DC=—x^-xh=—>解得

A”3233

故答案為：旦

3

【點(diǎn)睛】

此題考查求點(diǎn)到平面的距離，通過(guò)在三棱錐中利用等體積法求解，關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)證明見(jiàn)解析；(2)2.

【解析】

(1)利用面面垂直的判定定理證明即可；

/3

(2)由PF-AFC，知(X+l)FC—PC9所以可得出V[)_PFB—Vp_BDC—Vp_BDC=^F-BCD'因此,B-PAE~^D-PFB

的充要條件是2里=四，繼而得出4的值.

24

【詳解】

解：(1)證明：因?yàn)椤鱍4O是正三角形，E為線段的中點(diǎn)，

所以P￡J_AT>.

因?yàn)锳BC。是菱形，所以AD=A3.

因?yàn)镹BAD=60。，

所以△/WO是正三角形，

所以3E_LA￡>,而B(niǎo)EcPE=E,

所以ADJ_平面PBE.

又ADUBC,

所以8CL平面「8E.

因?yàn)锽Cu平面PBC,

所以平面P8C,平面P3E.

(2)由方=尤正，知(2+l)bC=PC.

所以，VR-PAE=QVP-ADB=5Vp-BCO=-2"F-BCD,

VD-PFB=Vp_BDC-VF-BDC=^F-BCD?

因此，匕.E=:%"FB的充要條件是_=￥，

所以，A=2.

即存在滿足而=九而(/i>0)的點(diǎn)/，使得/JA￡=1%_PFB，此時(shí)4=2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面與平面垂直的判定、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力

和創(chuàng)新意識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，屬于難題.

18.(1)—一/；!,neN*.(2)T=n-3"

n

【解析】

(1)先設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為d(d>0),然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件可列出關(guān)于d的方程，解出d的

值，即可得到數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)即；

(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列｛瓦｝的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用錯(cuò)位相減法計(jì)算前"項(xiàng)和T“.

【詳解】

(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列｛?｝的公差為d(d>0),則

O4as=(l+3d)(l+4d)=11,

整理，得12/+7d-10=0,

52

解得d=-二(舍去)，或d=7，

43

2、2〃+1

??。”=1+—(z71-1)=--------,〃WN*?

33

2Az+1

(2)由(1)知，b?=a?-3n=——?3"=(2n+l)?3,rl,

3

Tn=b\+bi+by^...+bn=3xl+5x3*+7x32+...+(2n+l)*3"1>

.?.3T?=3X3,+5X32+...+(2M-1)?3nl+(2n+l)?3",

兩式相減，可得：

-2T?=3xl+2x31+2x32+...+2?3?'1-(2n+l)?3”

=3+2x(3,+32+...+3n-1)-(2"+l)?3"

3-3n

=3+2x-----------(2n+l)?3”

1-3

=-2n*3n,

9H

:.TH=n3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，以及運(yùn)用錯(cuò)位相減法計(jì)算前〃項(xiàng)和.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，方程思想，錯(cuò)位相

減法的運(yùn)用，以及邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.屬于中檔題.

19.(1)—；(2)叵

37

【解析】

(D利用正弦定理將邊化成角，可得sinC=sin(4—C)+J^,展開(kāi)并整理可得sin(C—^)=1,從而可求出角C；

36

(2)由余弦定理得c?="+。2一2"cosC,進(jìn)而可得(。+人)2=7,由。+。=3,可求出次?的值，設(shè)A5邊上的

高為〃，可得AABC的面積為』MsinC=』M,從而可求出入.

22

【詳解】

(1)由題意，由正弦定理得sinCsinB=sinBsin(二一C)+gsin3.

3

因?yàn)?e(0,兀)，所以sinB>0,所以sinC=sin(二-0+6,展開(kāi)得sinC=^cosC_」sinC+6,整理得

322

兀

sin(C--)=l.

因?yàn)?<°<兀，所以—?<c—￡<稱(chēng)，故0一5=1,即。==.

666623

(2)由余弦定理得片=片+從一切元osC,貝!1。2+〃+"。=7,得(。+。)2-。/?=7,故〃。=3+。)2-7=9-7=2,

故的面積為,absinC=sin-

232

設(shè)AB邊上的高為〃，有近3,故〃=且，

227

所以A3邊上的高為叵.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔

題.

20.(1)a>2(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)/'(x),由/'(x)WO在(l,y)上恒成立，采用分離參數(shù)法求解;

(2)觀察函數(shù)/(x),不等式湊配后知，利用a=2時(shí)可證結(jié)論.

【詳解】

(1)因?yàn)閥=/(x)在(1,討)上單調(diào)遞減，

ja2

所以/(*)=彳-即a2不在上恒成立

22

因?yàn)閥=一尸在。，位)上是單調(diào)遞減的，所以一尸￡(0,2),所以。22

yJX7X

n

(2)因?yàn)椤?gt;m>0,所以一>1

m

由(1)知，當(dāng)。=2時(shí)，y=/(x)在(1,內(nèi))上單調(diào)遞減

所以/</0)

77回-]<0

即In——2

mm,

所以2+ln〃<2.—+Inm.

Vm

【點(diǎn)睛】

本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式.解題關(guān)鍵是把不等式與函數(shù)的結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，利用函數(shù)

的特例得出不等式的證明.

a=4

21.〈

h=-l

【解析】

由M不存在逆矩陣，可得ab=T,再利用特征多項(xiàng)式求出特征值3,0,Ma=3d，利用矩陣乘法運(yùn)算即可.

【詳解】

因?yàn)椤安淮嬖谀婢仃?，det(M)=]：=0,所以。匕=一1.

b4

2+1—CL,o

矩陣”的特征多項(xiàng)式為/⑷=42_4=2-32-4^=r-3.(

令/(/1)=0,則4=3或4=0,

所以"￡=3二,即八4]=

—1+。=3a=4

所以《"4=3’所以

b=—1

【點(diǎn)睛】

本題考查