2023解三角形熱點50題訓(xùn)練

2023解三角形熱點50題訓(xùn)練

1.(2023?漳州模擬)如圖，平面四邊形內(nèi)接于圓O,內(nèi)角8＞。，對角線AC的長為7,圓O的半

徑為述.

3

(1)若3c=5,AD=CD,求四邊形ABC。的面積；

(2)求AA8C周長的最大值.

C

2.(2023?貴州模擬)已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,K—+—=—+1.

sinBsinAah

(1)求角C的大??；

(2)若a+6=2,求c的取值范圍.

3.(2023?江寧區(qū)一模)在凸四邊形ABCD中，ZBAD=90°,NBCD=120。,AD=3,AB=4.

(1)若ZA8C=45。，求CD;

(2)若NBCD的角平分線交對角線皮)于點E,求BC+CE+CD的最大值.

4.(2023?大慶模擬)已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,面積為S,且_____.

在①2s=GA8-AC,②2cOS，B+0=1+cos2A,③c=6asinC-ccosA這三個條件中任選一個，補充在

2

上面的問題中，并根據(jù)這個條件解決下面的問題.

(1)求A；

(2)若6+c=g,點。是3c邊的中點，求線段45長的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

5.(2023?泉州模擬)在梯形A8C/)中，AD//BC,ADLCD,BC=3,ACsinZBCA=^ABcosZABC.

(1)若AA8C的面積為36，求AC;

(2)若CD=6,求tanN/i4c.

6.(2023?吉林模擬)已知AAfiC的三個角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且Z?cosC+ccos3=6.

(1)求邊a；

(2)若AABC是銳角三角形，且,求AA3C的面積S的取值范圍.

要求：從①A=±,②6+c=10從這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并給出解答.如果選擇

4

多個條件分別解答，按第一個解答計分.

7.(2023?山東模擬)在AABC中，AB=2AC,。是邊上一點，NCAD=2NBAD.

(1)若N84C=網(wǎng)，求處的值；

4CD

(2)若AC=1,求AD的取值范圍.

8.(2023?五華區(qū)校級模擬)如圖，在平面四邊形ABC。中，ABLAC,ADLCD,ZABC=ZADB=3>0°,

AC=2.

(1)求cosZAS；

(2)求比)的長.

三.解三角形(共42小題)

9.(2023?江蘇模擬)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,1+sin2A=(3tanB+2)cos2A.

(l)若C=2,求tanB的值；

4

(2)若A=B,c=2,求A48C的面積.

10.(2023?漣源市模擬)已知a,b,c分別為銳角AABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且〃?=(“,力-c),

”=(cosA,cosC),且/〃//〃.(1)求角A的大??；

(2)求2的取值范圍.

C

11.(2023?湖南模擬)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且生上=cosC+石sinC.

a

(1)求A的大??；

(2)若AABC為銳角三角形，求巴上的取值范圍.

b

12.(2023?紅山區(qū)模擬)在A48c中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2c+6=2acos8.

(1)求角A；

(2)若角A的平分線與8C交于點M,BM=4幣，CM=2",求線段AM的長.

13.(2023?全國一模)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.從下面①②③中選取兩個作

為條件，證明另外一個成立.

Q)a1—c2=be?,?b+bcosA=V3asinB；(3)sinA=>/3sinC.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

14.(2023?桃城區(qū)校級模擬)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=2,D是邊BC

6

rAAJr口sinZBADsinZ.CAD3_

上的一點，且--------+---------=——?BC?

bc2a

(1)證明：AD=-a；

3

(2)若CD=2BD,求cosNADC.

15.(2023?渝中區(qū)校級模擬)在AABC中，,ZB,NC的對邊分別為a,b,c,已知3sinC+4cosc=5.

2

(1)求證：tanC=—；

4

(2)若/+6=1,求邊c的最小值.

16.(2023?南寧模擬)在MBC中，角A、B、。的對邊分別為。、b、c,已知

S-c)(sinB+sinC)=tz(sinA-sinC),

(1)求8；

(2)若AABC為銳角三角形，b=6,求的取值范圍.

17.(2023?南通二模)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知色冷0=把它.

a-cosCsinC

(1)若。we,證明：a2=b+c；

(2)若B=2C,證明：2c>b>~

3

18.(2023?廣東模擬)已知A4BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且8=遙，A=-,

4

(2-G)tanB=G.

(1)求A3；

(2)若與A4BC在同一個平面內(nèi)，且=工，求C￡>的最大值.

4

19.(2023?邢臺模擬)如圖，在平面四邊形中，ACYAD,AC=AD=7,AB=3.

(1)若。8=8,求AABC的面積；

(2)若Nfi4C=NAD3,求BD.

D

V__-^>c

B

20.(2023?張家界模擬)記AABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

asin(B+C)=仇sinB-sinC)+csinC.

(1)求A；

(2)若4=2百，求A4BC的面積的最大值.

21.(2022秋?安順期末)從①bcosC+(2a+c)cosB=0；@sin2A-sin2B+sin2C+sinAsinC=0；③

cosB+cos-=0,這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.

2

在A4BC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，若選.

(1)求角5的大??；

(2)若點。在AC邊上，滿足AC=4AJD,且43=4,BD=3,求8C邊的長.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

22.(2022秋?杭州期末)設(shè)MBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若

(2a-c)sinA+(2c-a)sinC=2bsinB.

(1)求3；

(2)當AABC為銳角三角形，6=2時，求A4BC的周長的取值范圍.

23.(2023?湖北模擬)在AABC中，記角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2汰雙4+a=。+。，

且c=2,點。在線段BC上.

(1)若NA￡)C=—,求4)的長；

4

(2)若8D=2Z)C,AA8C的面積為36,求絲幺生的值.

sinZ.CAD

24.(2023?沙坪壩區(qū)校級模擬)在AA8C中，a,b,c分別是AA8C的內(nèi)角A,B,C所對的邊，且

b_a-c

sinA+sinCsinB-s\nC

(1)求角A的大小;

(2)記A48C的面積為S,若求出1的最小值.

2S

25.(2023?鹽亭縣校級模擬)在AABC中，4。=曲,￡＞為NABC的角平分線上一點，且與8分別位于邊AC

的兩側(cè)，若ZAZX7=15O。，4)=2.

(1)求AZMC的面積；

26.(2023?湖北模擬)記A43C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知必cosC=2a+c.

(1)求3；

(2)設(shè)。=9,若點”是邊AC上一點，2AM=MC,且=求的面積.

27.(2023?南平模擬)某商場計劃在一個兩面靠墻的角落規(guī)劃一個三角形促銷活動區(qū)域(即AABC區(qū)域),

地面形狀如圖所示.已知己有兩面墻的夾角乙4c8=2，NC54為銳角，假設(shè)墻C4,CB的可利用長度(單

4

位：米)足夠長.

(1)在AABC中，若3C邊上的高等于求sin/C4B；

4

(2)當A3的長度為6米時，求該活動區(qū)域面積的最大值.

28.(2023?桃城區(qū)校級模擬)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

<7(cosB+cosC)+(〃+c)cos(3+C)=0.

(1)求A；

(2)若。為線段8c延長線上的一點，且BD=3CD,求sinNACD.

29.(2023春?海珠區(qū)月考)在①cos8+2cosAsin(C+*=0,②。sin8+csinC=asinA-/?sinC,③向量

機=(2〃+c,a),?7=(cosA,cosC),/%_!_〃這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

在AA3C中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為.、b、c,且,

（1）求角A的大小;

（2）O是線段8c上的點，且AD=8力=2,8=3,求AA8D的面積.

30.（2023?汕頭一模）如圖，在AABC中，。是邊上的一點，a=ZBAD,p=ZDAC.

/八、十口口BDAB-sina

(1)證明：——=--------

DCACsin/

（2）若￡＞為靠近B的三等分點，AB=2出，AC=2,"=90。，N8AC為鈍角，求

31.（2023?邵陽一模）如圖，P為AA8C內(nèi)的一點，N8AP記為a,NA3P記為《，且a,夕在A4BP中

的對邊分別記為加，n,(2m+n)sin/?=yfincos0,a,/7e(0,g).

(1)求NAP3；

（2）若AB=2框,BP=2,PC=￡,記NAPC=6，求線段AP的長和AA8C面積的最大值.

32.（2023?廣州二模）在AA8c中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且6sin—±=asin8.

2

（1）求角A的大小;

（2）若角A的平分線交BC于。且4）=2,求。的最小值.

33.(2023?忻州模擬)在AA8C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,J@Lcos2A+cos(B+Q=0.

（1）求角A的大小;

（2）若BC=38。，且AA8C的面積是66,求AD的最小值.

34.（2023?葉縣模擬）如圖，P為半圓（A8為直徑）上一動點，OAVOB,04=08=2,記N54P=6.

（1）當。=15。時，求OP的長；

（2）當A7%O面積最大時，求6.

p

o

35.(2023?福州模擬)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.己知/一/=勿2.

(1)求處!叫的值：

tan>4

(2)求C的最大值.

36.(2023?湖北模擬)在AABC中，AB=9,點。在邊BC上，4)=7.

2

(1)若cos8=—,求的值，

3

(2)若cosN8AC=—,且點。是邊BC的中點，求AC的值.

3

37.(2023?浙江模擬)如圖，在AABC中，。為邊上一點，DC=3,AD=5,AC=7,ZDAC=ZABC.

(1)求的大小；

(2)求AABC的面積.

38.(2023?河曲縣校級開學(xué))已知cosa=2cos(c-g.

(1)求疝。。-。的值;

1+cosa

(2)在AABC中，A,B為銳角，且sinA=sina,cosB=2叵，求C的值.

10

39.(2023?黑龍江一模)在AABC中，內(nèi)角力，B,C所對的邊分別是a,b,c,已知2csin8=(2a-c)tanC,

角C的內(nèi)角平分線與邊河交于點E,

(1)求角5的大小;

(2)記ABCE,A4CE的面積分別為片，S2,在①c=2,b=>/5,②=孚力=近，人>。這兩個條件

中任選一個作為己知，求員的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

s?

40.（2023?湖南模擬）在AABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,匕，c,滿足中（sir?BTcos?硝=_/°+力,

且sinC=sin2B■

(1)求角B的大小;

（2）若AAfiC的面積為2道，求AC邊上的中線長.

41.（2023?新安縣校級開學(xué)）設(shè)AABC的內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,且竺包&=」一+^.

cosCcosAcosC

（1）求角A的大小；

（2）若包0=①，BC邊上的中線AM=JT7,求AABC的面積.

sinC3

42.（2023?玉溪模擬）在AABC中，角A,B,。的對邊長依次是a,b,c,b=2拒，

sin2A+sin2C+sinAsinC=sin2B.

（1）求角5的大??；

（2）當AABC面積最大時，求NS4c的平分線AD的長.

43.（2022秋?金華期末）在AABC,角A,8,C所對應(yīng)的邊是a,b,c,滿足￡=2cos2A+1,且5w2A.

a

（I）求證：3A=C；

（II）若C為鈍角，。為邊AC上的點，滿足絲=4COS2A-1,求處的取值范圍.

CDCD

44.（2022秋?道里區(qū)校級期末）在A4BC中，a,b,c分別為角A,B,。的對邊，且

2122

百csinA+""——-——b-c=0.

2b

（1）求角A的大小；

（2）若」—+—!—=二-,且。=逐，求AABC的面積.

tanBtanCtanA

45.（2023?合肥模擬）己知AABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,h,c,且從+2c?-2/=0.

（1）若tanC=L求A的大??；

3

（2）當A-C取得最大值時，試判斷AA8C的形狀.

46.（2023?順慶區(qū)校級模擬）在①G（a-bcosC）=csinB,?2a—c=2bcosC,③（a-A）（a+b）=（a-c）c這

三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題.

在AA8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足,b=20.

（1）若a+c=4,求AABC的面積；

（2）求AABC周長/的取值范圍.

47.（2022秋?深圳期末）如圖，有一個小矩形公園A8CD,其中A3=2O〃?，AD=\Qm,現(xiàn)過點C修建一

條筆直的圍墻（不計寬度）與AB和AZ）的延長線分別交于點E,F,現(xiàn)將小矩形公園擴建為三角形公園AEF.

（1）當AE多長時，才能使擴建后的公園AAE廠的面積最??？并求出4呼的最小面積.

（2）當擴建后的公園4司的面積最小時，要對其進行規(guī)劃，要求中間為三角形綠地（圖中陰影部分），周

圍是等寬的公園健步道，如圖所示.若要保證綠地面積不小于總面積的3,求健步道寬度的最大值.（小數(shù)

4

點后保留三位小數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：91.732,672.236,后=3.873.

參考公式…四=累

48.(2022秋?長沙期末)如圖，AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(h+c+a)(h+c-a)=3hc.

（1）求A的大小;

(2)若AABC內(nèi)點P滿足N/VW=NP3C=NPC4=NF4C,求N3PC的大小.

49.（2023?紅河州一模）在①俎乂--H■——=1,②ccosCsinA=（2b-c）sinCcosA這兩個條件中任選

sinA+sinBa+c

一個，補充到下面橫線上，并解答.

記AABC的內(nèi)角A,B,c的對邊分別為a,b,c,且

（1）求Z4；

(2)若|CB-C4|=4,cosB+cosC=1,求AABC的面積.

(注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.)

50.(2022秋?恩施州期末)請在這三個條件：①sinZABC=1；②AB=5；?AB=AC,中任選一個條件

補充在下面的橫線上，并加以解答.

如圖，銳角AABC中，sinZBAC=—,,BC=6,。在邊3c上，且匝＞=20C，點￡在邊AC上,

25

且8E_LAC,BE交AD于點F.

(1)求AC的長；

(2)求cosZZXC及AF的長.

2023解三角形熱點分類訓(xùn)練（答案）

參考答案與試題解析

正弦定理（共2小題）

1.（2023?漳州模擬）如圖，平面四邊形A88內(nèi)接于圓O,內(nèi)角5>。，對角線AC的長為7,圓。的半

徑為拽.

3

（1）若BC=5,AD=CD,求四邊形438的面積；

（2）求AABC周長的最大值.

C

【分析】（1）在AAOC中利用余弦定理求得NAOC=也，從而證得AACD為等邊三角形，求得其面積，再

3

在AABC中利用余弦定理求得舫=3,從而利用三角形面積公式求得A4BC的面積，由此得解;

（2）利用余弦定理得到（a+c）2=49+ac,從而利用基本不等式推得。+G,竽，由此得解.

【解答】解：（1）如圖所示，連結(jié)OA,OC,

在AAOC中，OA=OC=?，AC=7,

3

4949小

OA2+PC'-AC2￡

所以cos乙4OC=33

2OAOC2cx—492

3

因為OvNAOCv》，所以NAOC='，則NADC=三，

33

因為4)=8,所以AACD為等邊三角形，

所以5兇°.sin?=gx49x*=^l,

因為NABC+NADC=不，

所以NABC=",

3

在AABC中，AC2=BC2+AB2-2BC-ABcos—,即49=25+AB?+5AB,

3

又因為AB>0,

所以AB=3,

所以S所」AB-BCsinZABC=-x3x5x^-=^^-,

MBC2224

=

所以SABCD=S11ABe+^MCD16G-

(2)設(shè)3C=a,AB=c,

則在AA8C中，ZABC=—,AC=7,則“十。-49二」,gpa2+c2+ac=49,

3lac2

故(a+c)2=49+,

因為a>0,c>0,所以明,（史上）2,當且僅當a=c時，等號成立,

2

所以（a+c）2=49+ac,,49+（*）2,當且僅當a=c時，等號成立，

所以3（a+c）2,,49,則（a+c）2?,

43

因為a+c>0,故a+c,,與叵，當且僅當a=c時，等號成立，

所以a+c+AC,,2+7,即AABC周長的最大值為2+7.

33

【點評】本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式及基本不等式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

2.（2023?貴州模擬）已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且吧吧勺=三+1.

sinBsinAah

（1）求角C的大??；

（2）若a+0=2,求c的取值范圍.

【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再用余弦定理可求出角C；

（2）由（1）已知角C,可借助正弦定理化邊為角，再利用輔助角公式及正弦三角函數(shù)的性質(zhì)可解.

【解答】解：（1）由已知及正弦定理，得g+2=￡+1,

baah

HPa2+b2-c2=ah,

-a2+tr-c2ah1

cosC=------------=------=-

2ab2ab2

又CG(O,-),

2

(2)由(1)及正弦定理得‘一=—上——

smAsin/；-/!)

a+b=2,

.乂開..

csin(------A)

csinA

=2，

22

°sinA+si吟-A)|sinA+*°sASin(y)

0<A<-

2

乃62633

0<B=--A<—

32

sm(A+—)G(--,1］，

62

1

c=-------------

.,.冗、

sm(A+—)

【點評】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于

中檔題.

二.三角形中的幾何計算(共6小題)

3.(2023?江寧區(qū)一模)在凸四邊形A8CO中，ZBAD=9O°,ZBCD=120°,AD=3,AB=4.

(1)若NABC=45。，求CD；

(2)若/BCD的角平分線交對角線處于點E,求BC+CE+C。的最大值.

【分析】(1)先求出sinNC3Z)=也，再利用正弦定理求解即可；

10

(2)由余弦定理得/+產(chǎn)+孫=25,利用基本不等式得到0<x+為*1,利用三角形的面積公式求出

CE=且，再得至ljBC+CE+8=2(x+y)--^-,然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

x+yy

【解答】解：如圖,

(1)Za4Z)=90°,AD=3,AB=4,:.BD=5,

An3AP4

在A/WD中，sinZABD=——=-,cosZABD=——=-,

BD5BD5

ZABC=45°,/.sin/CBD=sin(45°-ZABD)=與(cos/ABD-sinNASD)=[x]=備

CDBD

在ABC。中，由正弦定理得,

sinZCBZ)-sin120°

CD=5x旦與W；

10V33

(2)設(shè)BC=x,CD=y,

在MiCD中，由余弦定理得BO?=+/一2“*(一！)=/+J+旬=25,

(x+?-孫=25,/.孫=(工+y)2-25,

(x+?.,上、2(x+y)?n,io0

443

CE為ABCD的角平分線，.\ZDCE=ZBCE=60°f

SgCE+S&CDE=SgcD

l.x.C￡x^+l廣小走，.蟲,

:.CE=^—

22222-2x+y

.?4IT?「八_孫?-、,_(x+y>+^_2(x+y)2-25_25

..BC+Ch,+CD=-------Fx+y=-------------------------------------=2(x+y)----------，

x+yx+yx+yx+y

:z=2(x+y)-3-在(0,岐]上為增函數(shù)，

x+y3

.?.當X+y=粵3時,

BC+CE+CD=2(x+y)--絲-取得最大值為竺叵.

x+y6

【點評】本題考查A4BC的面積公式，正弦定理，余弦定理的運用，考查基本不等式的運用，函數(shù)的單調(diào)

性，屬于中檔題.

4.（2023?大慶模擬）已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,面積為S,且_____.

在①2s=02COS2^^--1+COS2A,③c=GasinC-ccosA這三個條件中任選一個，補充在

2

上面的問題中，并根據(jù)這個條件解決下面的問題.

(1)求A；

⑵若""石，點。是8c邊的中點，求線段45長的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【分析】(1)若選①，由題意利用三角形的面積公式，平面向量數(shù)量積的運算，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

可求tanA=>/5,結(jié)合Ae(0,7r),即可求解A的值；

若選②，利用二倍角公式，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式化簡己知等式可得2cos2A+cosA-1=0,結(jié)合

AG(0,^-),可得cosA=」，即可求解A的值；

2

若選③，利用正弦定理，兩角差的正弦公式化簡已知等式sin(A-C)=L可求A-2e(_C,四)，進而即

62666

可求解A的值.

(2)由題意可得AO=g(A8+AC),兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算可求4加=(〃-亭2+(,根

據(jù)0<8〈百，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解AD的范圍.

【解答】解：(1)若選①，因為2S=6A8-AC,

所以2x」Z?csinA=GbccosA,可得tanA=^￡=&,

2cosA

又因為AKO,4),

所以A=工.

3

若選②，因為2cos2史￡=l+cos2A,

2

所以2cos2——―=2sin2—=l-cosA=2cos2A,整理可得2cos?A+cosA-1=0,

22

解得854=」或-1,

2

又因為Ae(0,%),可得COSA￡(-1」)，

所以cosA=—,

2

所以4=工.

3

若選③，因為c=V5〃sinC-ccosA,

所以由正弦定理可得sinC=>/3sinAsinC-sinCeosA,

又因為C為三角形內(nèi)角，sinCwO,

所以1=百5抽4一834=2§皿4一看)，可得sin(A-^)=；,

又因為Ae(O,m，A--G(--,—),

666

所以A-2=C,可得A=C.

663

(2)因為人+c=/,所以0<。<6,

因為。是8C的中點，所以AZ)=g(A3+AC),

.22->>

平方得4AD~=(AB+AC)2=用+AC+2AB-AC,

222222

所以4Az>2=c2+b+2bccos-=c+b+bc=(b+c)-bc=3-b(3-b')=b-y/3b+3=(b-—)+-,

324

因為0cb<6，所以6=@時，44^=2,可得|A0=3,

244

所以2,,4A6<3,可得

442

故線段A力長的取值范田為弓，斗.

【點評】本題考查了三角形的面積公式、平面向量數(shù)量積的運算、正弦定理、三角函數(shù)恒等變換以及二次

函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

5.(2023?泉州模擬)在梯形/WCD中，AD//BC,AD1CD,3c=3,ACsinZBCA=73ABcosZABC.

(1)若AABC的面積為36，求AC；

(2)若CD=6,求tanABAC.

【分析】(1)在直角三角形中可得sinZBCA=sinACAD=—,cosZABC=—,代入整理可得DC=叢BM,

ACAB

由三角形的面積公式可求得CD的值，進而應(yīng)用勾股定理可求得AC的值；

(2)由。C=75BM及勾股定理可解得AC、AB的值，在AA8C中運用余弦定理解得COSN8AC,由同角

三角函數(shù)的平方關(guān)系及商式關(guān)系可求得tanN3AC的值.

【解答】解：(1)過點A作交BC于點如圖所示，

AD/IBC,ADA.CD

r)c

，NBC4=NC4D,則sinN8C4=sinNCW=—,

AC

因為cosZABC=—,ACsinZBCA=>/§AficosZABC,

AB

所以ACx生=GA8X跑，即。C=GB”，

ACAB

又因為5MBe=gBC-C￡>=3G,BC=3,

所以8=6，所以8M=2,所以CM=8C-3M=3-2=1,

所以在RtAAMC中，AC=>JAM2+MC2=y/CD2+MC2=7(2^)2+12=V13.

(2)由(1)知，DC=6BM,又因為OC=G，

所以8M=1,所以CM=2,所以AC=J7,

所以AB=4AM2+BM2=4CD-+BM2=2,

AB2+AC2-BC24+7-9-Jl

在AABC中,cosZBiAC=

2ABAC2x2x5-14

所以sinABAC=Jl-cosZBAC=

14

sinABAC

所以tanNBAC==3\/3.

cosNBAC

【點評】本題主要考查三角形中的幾何計算，考查正余弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬

于中檔題.

6.(2023?吉林模擬)已知AABC的三個角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且hcosC+ccos3=6.

(1)求邊a；

(2)若AABC是銳角三角形，且,求AABC的面積S的取值范圍.

要求：從①A=工，②6+c=10從這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并給出解答.如果選擇

4

多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【分析】(1)解法一，利用余弦定理將角化邊；解法二，利用正弦定理將邊化角；

(2)若選擇①，利用正弦定理得到。=6&sin8,c=6應(yīng)sinC,則=4csinA,將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于3的

三角函數(shù)，結(jié)合AABC是銳角三角形，求出8范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出A4BC的面積的取值范圍；

若選擇②，依題意可得c=10-b,由AABC為銳角三角形利用余弦定理求出人的取值范圍，利用余弦定理表

示出cosC,即可得到sinC,將S^c轉(zhuǎn)化為關(guān)于匕的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【解答】解：(1)解法一：因為bcosC+ccos8=6,

由余弦定理，得+c'「+c--「=4=6;

2ab2ac

解法二：因為力cosC+ccos3=6，

由正弦定理，得2R(sin5cosC+sinCeosZ?)=6,

/.27?sin(B+C)=6,

2RsinA=6,即。=6.

b上=

(2)選擇①：因為60,

sinAsinBsinC

sin

4

所以〃=6應(yīng)sinB,c=6>/2sinC,

所以SMBC=ghesinA=18\/2sinBsinC=18后sinBsin(B+?)

=1872sincosB+孝sinB)

=18sinBcosB+18sin2B

=9sin28+9-9cos26

=9^sin(28-?)+9,

因為A4BC是銳角三角形，

0<B<—

所以2,又c=網(wǎng)一3,所以生<B<乙,

,、Cn442

所以.所以仔<sin(23予1,

所以9<9夜sin(2B--)?9夜，

所以18VSi，9忘+9,即AABC的面積S的取值范圍是(18,972+9].選擇②,因為。+c=10,則c=10-6,

cos」'J>。

2hc

cos8——2

因為是AABC是銳角三角形，所以“>0,

2ac

^b2-c2

cosC=-a-------------->0n

lab

Ir+c2-^=/+(10-力2-36>0

即4a2+c2-b2=36+(10-b)2-b2>0,解得—<b<—,

=36+Z?2-(10-Z?)2>0

-a2-c25/?-16

因為cosC=---------------=----------

2ab3b

所以sinC=VI^正=4依-2)(8-絲

3b

2〈死,

所以S1sAec=—a^sinC=3Z?-之)—"_4yl-b+10Z?-16,

視c23b55

iSg(x)--x2+IOx-16=-(x-5)2+9(y<x<—),

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當x=5時，g*）取最大值為g（5）=9,

、匕16好144vi3416

當x=W時，^(x)=—,X|y-5|=|y-5|,

所以g(x)e(石，9J,BP-/>2+10Z>-16€(—,9],所以>/-加+10〃-16€(不，3],

所以竺<心對，12，即AABC的面積S的取值范圍是(竺，⑵.

5j/iov、5""

【點評】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題.

7.(2023?山東模擬)在A48C中，AB=2AC,D是邊BC上一點,ZCAD=2ZBAD.

（1）若N84C=網(wǎng)，求處的值;

4CD

（2）若AC=1,求49的取值范圍.

【分析】（1）首先求出NS4。、ZC4Z）,再在AAB。、AAC。、AABC中分別利用正弦定理計算可得;

（2）設(shè)44￡>=。，則NC4￡>=21,ABAC=3a,由面積公式表示出隊研、$.四、火山，即可得到

4cos2a—13

sin3a=AZXsina+sinacosa),從而得到AD=---------,令l+cosa=r,則AD=4f+二一8?設(shè)

1+cosat

4

/（。=4/+士-8利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出/⑺的值域，即可得解.

【解答】（1）解：由NB4C=ZCAD=2ZBAD,

4

可得NBAQ=2,ZCAD=-

42

在A48Z)中，由正弦定理得BDJ〉‘n；

sinB

在AACE>中，由正弦定理得CD=AD，sinNCAP；

sinC

在A/WC中，由正弦定理得電￡=空，

sinBAC

,?71

匚匚“BDsinN8AosinCSin7ABy[2r-

所以一=--------------=-----=—x2=V2.

CDsinZCADsin30JAC2

sin—

2

(2)由AC=1,得AB=2.

設(shè)ZJW)=a,則NC4D=2a,ZBAC=3a,

所以S^zvBiCnt-=-2AB?ACsinZ.BAC=sin3a,ix/\niJ=-2AB?ADsin/BAD=ADsina,

SMCD=^AC-ADsinZCAD=ADsinacosa,

則sin3a=A￡)(sina+sinacosa),

,,4csin3asinacos2a+cosasin2a4cos2a-1

故AD=-----------------------=----------------------------------=---------------

sina+sinacosasin+sinacosa1+cosa

,3

設(shè)1+cosa=t，則AD=4,十二一8.

t

因為0