2023年江蘇省常州市重點(diǎn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷

2023年江蘇省常州市重點(diǎn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（本大題共6小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知x=2是一元二次方程/+匕刀-c=0的解，則-4b+2c=（）

A.8B.—8C.4D.—4

2.在下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

A.x2-V-3=xB.x2+y2=4

C.捻—1=0D.x（l-2x2）=5x2

3.若關(guān)于x的一元二次方程（卜一2）/+》+/-4=0有一個(gè)根是0,則k的值是（）

A.-2B.2C.0D.一2或2

4.一元二次方程x（x+1）=3（x+1）的解是（）

A.x=-1B.x=3

C.xx=-1,x2=3D.無實(shí)數(shù)解

5.一元二次方程/—-3=0的根的情況是（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

6.關(guān)于x的一元二次方程a/-%—[=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)「缶一2,-。+3）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

7.已知與，冷是關(guān)于x的一元二次方程/―軌一1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則白+[=.

8.若關(guān)于x的一元二次方程/+bx+c=0的兩個(gè)根分別是%]=—3,x2=5,貝此+

9.把一元二次方程產(chǎn)一4%-8=0化成（x-m）2=n的形式，則m+n的值為.

10.關(guān)于久的一元二次方程/+3%+m=0沒有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是.

11.已知方程2/+歷：+c=0的兩根為2和-2,分解因式2/+bx+c=.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形48。的直角頂點(diǎn)4在第二象限，以AB為邊

在AB的左側(cè)作菱形4BCD,滿足8因/%軸，過點(diǎn)B作BEJ.AD交4。于點(diǎn)E,AE=12DE,反比

例函數(shù)y=*k手0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)E,與BC邊交于點(diǎn)F,分別連接EF,OE,。尸.若，EOF=

則k的值為.

三、解答題(本大題共5小題，共52.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

13.(本小題20.0分)

按要求解方程：

(1)直接開平方法:4(t-3尸=9(2t—3)2；

(2)配方法：2/-7X-4=0；

(3)公式法：3/+5(2x+1)=0：

(4)因式分解法：3(%—5)2=2(5—x).

14.(本小題7.0分)

己知關(guān)于久的一元二次方程/-(2fc+l)x+fc-2=0.

(1)求證：無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根與，x2,滿足匕-g=一2卜+3.求k的值.

15.(本小題9.0分)

閱讀材料并解決下列問題：

材料1若一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)的兩根為與、x2＞則+x2=xTx2=

材料-2已知實(shí)數(shù)m,n滿足Tn?—巾—1=0,n2—n—1=0,且mHn,求'+?的值.

解：由題知m,n是方程=o的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)材料1,得租+凡=1,

mn=—1,

n,mm2+n2(m+n)2—2mn1+2?

-'-m+n=^r=一嬴一=—=-3-

根據(jù)上述材料解決下面的問題：

(1)一元二次方程5%2+10%—1=0的兩根為％1，則％1+x2=，xlx2=.

2

(2)已知實(shí)數(shù)m,九滿足37n2—3m-1=0,3n—3n—1=0,且6Wn,求?n2rl+加標(biāo)的值.

(3)已知實(shí)數(shù)p,q滿足p2=7p—2,2q2=7q-L且pH2q,求p?+4q2的值.

16.（本小題6.0分）

如圖，已知P是。。外一點(diǎn).用兩種不同的方法過點(diǎn)P作0。的一條切線,要求：用直尺和圓規(guī)作

圖（保留作圖的痕跡）.

17.（本小題10.0分）

在四邊形ABCD中，0是邊BC上的一點(diǎn).若AOABmAOCD,則點(diǎn)。叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”

（1）正方形“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；

（2）如圖，在四邊形4BC0中，邊BC上的點(diǎn)。是四邊形ABC。的“等形點(diǎn)”.已知CD=4，克，

0A=5,BC=12,連接AC,求AC的長(zhǎng)；

（3）在四邊形EFGH中，EH〃FG.若邊FG上的點(diǎn)。是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求器的值.

BOC

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由題意得：

把x=2代入方程/+bx—c-0中，

22+2b-c=0,

???2b—c=—4,

-4b+2c=-2(26-c)

=-2x(-4)

=8>

故選：A.

根據(jù)題意，把x=2代入方程x2+bx-c=0中，進(jìn)行計(jì)算可得2b-c=-4,然后再把所求的式

子變形為一4b+2c=-2(2b-c),即可解答.

本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握求代數(shù)式中的整體思想是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】A

【解析】解：4、是一元二次方程，則此項(xiàng)符合題意；

8、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，則此項(xiàng)不符題意；

C、馬不是整式，不是一元二次方程，則此項(xiàng)不符題意；

X乙

D、方程x(l-2/)=5/整理為x-2/=5x2,未知數(shù)的最高次數(shù)是3,不是一元二次方程，則

此項(xiàng)不符題意；

故選：A.

根據(jù)一元二次方程的定義(只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元

二次方程)逐項(xiàng)判斷即可得.

本題考查了一元二次方程，熟記定義是解題關(guān)鍵.

3.【答案】A

【解析】解：把x=。代入(k—2)x2+x+fc2—4=0得：

fc2-4=0,

解得自=

2,k2=-2,

而k—2。0,

所以k——2.

故選:A.

先把％=代入肥-得解關(guān)于化的方程得的=然

0(k-2)%2+%+4=0U-4=0,2,k2=-2,

后根據(jù)一元二次方程的定義可確定k的值.

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解.

4.【答案】C

【解析】解：方程整理得：x(x+1)-3(x+1)=0,

分解因式得:(%+l)(x-3)=0,

可得x+1=?；騲—3=0,

解得：=-1,冷=3.

故選：C.

方程移項(xiàng)后，利用因式分解法求出解即可.

此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：%2-4x—3=0,其中a=1,b=-4,c=-3>

A=b2-4ac=(一守-4x1x(-3)=28>0,

???一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：C.

先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.

本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+bx+c=0(a于0)的根與/=b2-4ac有如下關(guān)系：

當(dāng)21>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4<0時(shí)，方

程無實(shí)數(shù)根.

6.【答案】B

【解析】解：???關(guān)于X的一元二次方程以2-》一,=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

ci0,A—(—1)—4ax(——)=0,

解得：a=-l.

u—2=—3,-a+3=2,

.?.點(diǎn)P(a-2,-a+3)在第二象限.

故選：B.

由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式/=0,即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a的值，

由a的值可得出a-2=-3,-a+3=2,進(jìn)而可得出點(diǎn)P在第二象限，此題得解.

本題考查了根的判別式、一元二次方程的定義以及點(diǎn)的坐標(biāo)，利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式

4=0,找出關(guān)于a的一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】一4

【解析】解：「X1，必是關(guān)于x的一元二次方程/—4%-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

??與?&=一，

?%1+%2=%1

則原式=等=4=-4.

xix2T

故答案為：-4.

利用根與系數(shù)的關(guān)系求出與+%2與均久2,原式通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，將各自的

值代入計(jì)算即可求出值.

此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

8.【答案】一17

【解析】解：,?,關(guān)于的一元二次方程/+的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是與=

xbx+c=0-3,%2=5,

:.-3+5=—b,-3x5=c,

解得：b=—2,c=—15,

二b+c=—2+(-15)——'—17,

故答案為：—17.

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出-3+5=-上—3x5=c,求出b、c的值，再求出答案即可.

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，注意：已知一元二次方程a/+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，a力0,

82一4acN0)的兩個(gè)根是%1，則％2+%2=-，X1,X2=

9.【答案】14

【解析】解：x2—4%—8=0,

移項(xiàng)，得/—4x=8,

配方，得/-4%+4=8+4,

???(X-2)2=12,

-m=2,n=12,

Am+n=2-+-12=14,

故答案為：14.

利用配方法把一元二次方程變形，進(jìn)而求出小、n,計(jì)算即可.

本題考查的是一元二次方程的解法，熟記配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】m>2.25

【解析】解：根據(jù)題意得：21=9-4m<0,

解得:m>2.25,

故答案為：m>2.25.

先計(jì)算“4”的值.再根據(jù)根的判別式列不等式求解.

本題考查了根的判別式，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】2(x+2)(x-2)

【解析】解：?方程2產(chǎn)+匕％+c=0的兩根為2和—2,

:.2x2+bx+c=2(x+2)(x—2),

故答案為：2(x+2)(x-2).

根據(jù)方程2/+bx+c=0的兩根為2和—2,即可解答.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握解一元二次方程-因式分解法是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】亨

【解析】

【分析】

本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，待定系數(shù)法，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征,

三角形的全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，菱形的性質(zhì).利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相應(yīng)線段的長(zhǎng)度

和利用線段的長(zhǎng)度表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)，，則AABE三△04H,

OH=AE；由4E=12DE,有AD：AE=12：13,又四邊形ABCC是菱形，所以AB=4D；在直

角三角形ZBE中，BE：AE：AB=5：12：13,所以BE：EM=BE：OH=5：12,FN：EM=7：

12；又反比例函數(shù)y=：(k二0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)尸和E,因?yàn)?￡=&4￡=孫,人，設(shè)E(17m,12n),

F(-第m,7jn),所以，SA￡0F=SnEMNF=1(12m+7m)■(^?n-12m)=y,解得/=.所

pi?oryAj21252

以々=—204x—=——.

5

【解答】

解：延長(zhǎng)ZM交y軸于點(diǎn)H,延長(zhǎng)EB交x軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)尸作工軸的垂線，垂足為N,則四邊形OMEH

和四邊形EFNM是矩形，

???Z.EAB+Z.ABE=40AH+^BAE=90°,

???乙ABE=Z.OAH,

-AB=AC,

???△4BEw404H(44S),

???OH=AE；

-AE=12DE,

-?AD：AE=13：12,

??,四邊形4BCD是菱形，

:.AB=AD；

則在RtZkABE中，BE：AE：AB=5：12：13,

設(shè)BE=5a,則4E=12a,AB=13a,

:.OH=AE=12a,AH=BE=5a,

???EB=5a,BM=7a,EF=AE+AH=17a,

:.FN=BM=7a,

?.?反比例函數(shù)y=g(/cH0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)尸和E,

k=xE-yE=xF-yF,

設(shè)E(-17m,12m),F(一竿m,7ni),

:.k=-17x12m2=-204m2,

120419

7n

???S〉EOF=S四EMNF=2(12+7m)?(—m-12m)=

解得小=

OO

.CC)21252

-,-k=-204X85=---

13.【答案】解：(l)4(t-3)2=9(2t-3)2,

2(t-3)=±3(2t-3),

即2(t-3)=3(2t一3)或2(t-3)=-3(2t-3),

所以0=[,七=y；

(2)2/-7%-4=0,

27

--x=o2,

+=2+C)2,

解得與—4.x2=

(3)3/+5(2x+1)=0,

3x2+10%+5=0,

???Q=3,b=10,c=5,

Azl=102-4x3x5=40>0,

_^2-4ac_-10±2/^0_-5±/T0,

AX=2a=2x3=3

-5-xfT0

.』=^—，》2=^-；

(4)3(%-5)2=2(5-%),

3(久-5產(chǎn)+2(%—5)=0,

(%-5)(3%-154-2)=0,

%-5=0或3%-15+2=0,

=

所以％1=5,x2y-

【解析】(1)先把方程兩邊開方得到2(t-3)=±3(2t-3),然后解兩個(gè)一次方程即可；

(2)利用配方法得到Q-g2=81,然后利用直接開平方法解方程；

(3)先把方程化為--般式，再計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；

(4)先移項(xiàng)，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為％-5=0或3x-15+2=0,然后解兩個(gè)一次方程即

可.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法和公式法.

14.【答案】⑴證明：21=[-(2k+I)]2-4x1x(fc-2)

=4爐+4k+1-4k+8

=4/c2+9>0,

??.無論々為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出/+%2=2々+1,%1%2=-2,

vxr-x2=-2k+3,

22

???(%i—x2)=4/c—12fc+9,

2

???(%i+x2)—4%i久2=4k2-12k+9,

???(2k+l)2-4(fc-2)=4k2-12k+9,

解得k=0.

【解析】(1)根據(jù)根的判別式得出4=[-(2k+l)]2-4xlx(fc-2)=4/c2+9>0,據(jù)此可得答

案；

(2)先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出Xi+外=2k+1,%1%2=fc-2,由與一%2=-2%+3知。1一

2

打)2=4小-12/c+9,BPC%!+x2y-4XXX2=4fc-12/c+9,從而列出關(guān)于k的方程，解之可得

答案.

本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握右是方程/+px+q=0的

兩根時(shí)，xx+x2=-p,xrx2=q.

15.【答案】一2一

【解析】解：(1)在57+10%—1=0中，a=5,b=10,c=—1,

,b、c1

???xr+x2=--=-2,x1x2=

故答案為:—2,—

(2)vm,九滿足37n2-3m-1=0,3n2-3n-1=0,mn,

ri可以看作3%2一3%-1=0的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

/.m4,-n=1.,mn=-1

???m2n+mn2=mn(m+n)=—-1xl=--1；

(3)由題意知p與2q即為方程/-7%+2=0的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

:.p+2q=7,2pq=2,

Ap2+4q2=(p+2q)2-4Pq=72-2x2=45.

(1)5/+10%-1=o中，Q=5,b=10,c=-1,則%i+外=—，=-2,%1%2=(=一'

(2)由題意zn,ri可以看作3支2-3%-1=0的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，由此可得結(jié)論；

(3)由題意知p與2q即為方程/-7%+2=0的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，由此可得結(jié)論.

本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

16.【答案】解：如圖1、如圖2,P。和PD'為所作.

圖2

【解析】方法一：如圖1中，連接0P,以0P為直徑作圓交O。于。、。'，根據(jù)圓周角定理可判斷P。、

PD'為。。的切線；

方法二：先以。點(diǎn)為圓心，0P為半徑作圓，再作大圓。的直徑PP',PP'交小圓于4