專題24.8切線的性質(zhì)（限時(shí)滿分培優(yōu)訓(xùn)練）-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）主題24.8切線的性質(zhì)（限時(shí)滿分培優(yōu)訓(xùn)練）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022秋?綏中縣期末）下列結(jié)論正確的是（）A．圓的切線垂直于半徑 B．圓心角等于圓周角的2倍 C．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) D．平分弦的直徑垂直于這條弦【答案】C【分析】分別根據(jù)垂徑定理、圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、符合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，故本選項(xiàng)正確；D、平分弦的直徑垂直該弦（非直徑），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知切線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023?邵陽(yáng)模擬）如圖，已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為31°，過(guò)點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（）A．24° B．25° C．28° D．31°【答案】C【分析】先由PC為⊙O的切線得出∠PCO＝90°，再用等腰三角形性質(zhì)求出∠ACO＝∠PAC＝31°，最后利用三角形內(nèi)角和即可求解．【解答】解：∵PC為⊙O的切線，連接OC，∴∠PCO＝90°，∵OA＝OC，則∠ACO＝∠PAC＝31°，在△ACP中，∠P＝180°﹣31°﹣31°﹣90°＝28°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題是考查圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和的綜合運(yùn)用能力．3．（2023?岳麓區(qū)校級(jí)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，直線EC切⊙O于B點(diǎn)，若∠DBC＝α，則（）A．∠A＝90°﹣α B．∠A＝α C．∠ABD＝α D．∠ABD＝90°-1【答案】B【分析】由直線EC是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)可得：AB⊥EC，繼而求得∠ABD＝90°﹣α，又由AB是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，即可求得∠D＝90°，繼而可得∠A＝∠DBC＝α．【解答】解：∵直線EC是⊙O的切線，∴AB⊥EC，∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠ABD＝90°﹣α，∵AB是⊙O的直徑，∴∠D＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠DBC＝α．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)與圓周角定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2023?南崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB為⊙O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)A，BO交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙O上，若∠ABO的度數(shù)是32°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．29° B．30° C．32° D．45°【答案】A【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠AOC的度數(shù)，由圓周角定理即可解答．【解答】解：∵AB切⊙O于點(diǎn)A，∴OA⊥AB，∵∠ABO＝32°，∴∠AOB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ADC=12∠AOB=12故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線性質(zhì)、圓心角和圓周角的關(guān)系及解直角三角形的知識(shí)，熟記切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023?宿遷模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且CO＝CD，則∠A的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°【答案】C【分析】因?yàn)椤螩OD＝∠A+∠OCA，∠A＝∠COA，所以求出∠COD即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵CO＝CD，∴∠COD＝∠D＝45°，∵OA＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠COD＝∠OAC+∠OCA＝45°，∴∠A＝22.5°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（2022秋?海港區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知直線l的解析式是y=43x-4，并且與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．一個(gè)半徑為1.5的⊙C，圓心C從點(diǎn)（0，1.5）開始以每秒移動(dòng)0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著y軸向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙CA．3s或6s B．6s或10s C．3s或16s D．6s或16s【答案】D【分析】先求得AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再分兩種情況：圓心C在點(diǎn)B上方和下方，可證出△BDE∽△BOA，△BFG∽△BAO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求得BE，BF，再根據(jù)圓的移動(dòng)速度，求出移動(dòng)的時(shí)間．【解答】解：令x＝0，得y＝﹣4；令y＝0，解得x＝3；∴A（3，0），B（0，﹣4），∴AB＝5，∵DE⊥l，GF⊥l，∴△BDE∽△BOA，△BFG∽△BAO，∴DEOA=BE即1.53=BE解得BE＝2.5，BF＝2.5，∴圓移動(dòng)的距離為3或8，∵圓心C從點(diǎn)（0，1.5）開始以每秒0.5個(gè)單位的速度沿著y軸向下運(yùn)動(dòng)，∴移動(dòng)的時(shí)間為6s或16s．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道關(guān)于一次函數(shù)的綜合題，考查了切線的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象與幾何變換，掌握分類討論思想是解此題的關(guān)鍵．7．（2023?石家莊模擬）已知PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，點(diǎn)C是⊙O上不同于點(diǎn)A、點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠P＝54°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°【答案】D【分析】連接OA，OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝∠OBP＝90°，進(jìn)而求出∠AOB，根據(jù)圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：連接OA，OB，∵PA、PB是⊙O的切線，∴OA⊥AP，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠APB＝54°，∴∠AOB＝126°，當(dāng)C在優(yōu)弧ACB上時(shí)，∠ACB=12∠AOB＝當(dāng)C′在弧AB上時(shí)，∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝117°，則∠ACB的度數(shù)為63°或117°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，連接OD、BD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若∠C＝40°，則∠B的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CDO＝90°，求得∠COD＝90°﹣40°＝50°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵CD是⊙O的切線，∴∠CDO＝90°，∵∠C＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵∠COD＝∠B+∠ODB，∴∠B=12∠COD故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2021?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，2），⊙A的半徑為1，P為坐標(biāo)軸上一動(dòng)點(diǎn)，PQ切⊙A于點(diǎn)Q，在所有P點(diǎn)中，使得PQ長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）【答案】D【分析】連接AQ、PA，如圖，利用切線的性質(zhì)得到∠AQP＝90°，再根據(jù)勾股定理得到PQ=AP2-1，則AP⊥x軸時(shí)，【解答】解：連接AQ、PA，如圖，∵PQ切⊙A于點(diǎn)Q，∴AQ⊥PQ，∴∠AQP＝90°，∴PQ=A當(dāng)AP的長(zhǎng)度最小時(shí)，PQ的長(zhǎng)度最小，∵AP⊥x軸時(shí)，AP的長(zhǎng)度最小，∴AP⊥x軸時(shí)，PQ的長(zhǎng)度最小，∵A（﹣3，2），∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂線段最短．10．（2022秋?西華縣期末）如圖，已知⊙P的半徑是1，圓心P在拋物線y＝（x﹣2）2上運(yùn)動(dòng)，且⊙P與坐標(biāo)軸相切時(shí)，滿足題意的⊙P有幾個(gè)．（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①和x軸相切，②和y軸相切，求出縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：①和x軸相切，∵則半徑為1的⊙P與x軸相切，∴P的縱坐標(biāo)為：±1，若P的縱坐標(biāo)為1，則1＝（x﹣2）2，解得：x1＝3，x2＝1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，3，1）或（1，1）；若P的縱坐標(biāo)為﹣1，﹣1＝（x﹣2）2，此時(shí)方程無(wú)解；②和y軸相切，∵則半徑為1的⊙P與y軸相切，∴P的橫坐標(biāo)為：±1，若P的橫坐標(biāo)為1，則y＝1，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），若P的橫坐標(biāo)為﹣1，則y＝（﹣1﹣2）2＝9，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，9），所以有3個(gè)不同的點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的性質(zhì)．注意根據(jù)題意得到P的縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)為±1是關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（2023?海南模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，PA交⊙O于點(diǎn)C，AB＝3，PB＝4，則BC＝125【答案】125【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABP＝90°，則利用勾股定理可計(jì)算出AP，然后利用面積法計(jì)算BC的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵PB是⊙O的切線，∴AB⊥PB，∴∠ABP＝90°，在Rt△ABP中，∵AB＝3，PB＝4，∴AP=32∵12BC?AP=12AB∴BC=3×4故答案為：125【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理．12．（2022秋?興縣期末）如圖，AB是⊙O的弦，BD是⊙O的切線，OD與AB相交A于與點(diǎn)E，且OD⊥OA，若OA＝6cm，OE＝3cm，則DB的長(zhǎng)度等于92cm【答案】92【分析】證明△DEB是等腰三角形，DE＝DB，設(shè)DB＝DE＝x，根據(jù)勾股定理得x2+62＝（x+3）2，解得x=92，則DB長(zhǎng)度等于【解答】解：連接OB∵AO＝BO＝6cm，∴∠BAO＝∠ABO，∵DB⊥BO，DO⊥AO，∴∠DBA+∠ABO＝90°∠EAO+∠AEO＝90°，∴∠DBA＝∠AEO．∵∠AEO＝∠DEB，∴∠DEB＝∠DBE，∴△DEB是等腰三角形，DE＝DB，設(shè)DB＝DE＝xcm，根據(jù)勾股定理得x2+62＝（x+3）2，解得x=9故答案為：92【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握等腰三角形和勾股定理的知識(shí)是解題關(guān)鍵．13．（2023?靖江市模擬）如圖，CB為⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)A，若∠A＝25°，則∠C的度數(shù)是40°.【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBC＝90°，再根據(jù)圓周角定理可得∠BOC＝50°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：連接OB，∵CB為⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，∴∠OBC＝90°，∵∠A＝25°，∴∠BOC＝2∠A＝50°，∴∠C＝90°﹣∠BOC＝40°，故答案為：40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．14．（2023?賓陽(yáng)縣一模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長(zhǎng)線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是40°．【答案】40°．【分析】利用圓周角定理，切線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥PA，∴∠PAB＝90°，∵∠B=12∠AOC，∠ABC＝∴∠AOC＝50°，∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠AOC＝40°．故答案為：40°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，熟練掌握上述定理是解題的關(guān)鍵．15．（2021?泰州）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，5），⊙A與x軸相切，點(diǎn)P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點(diǎn)B．若∠APB＝30°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，11）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接AB，過(guò)點(diǎn)A分別作AC⊥x軸、AD⊥y軸，利用根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知△PAB、△AOC為直角三角形，AB＝AC＝5，利用直角三角形中30°角的性質(zhì)和勾股定理分別求出AP、AD的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出OD、PD的長(zhǎng)度即可求得答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A分別作AC⊥x軸于點(diǎn)C、AD⊥y軸于點(diǎn)D，連接AB，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D是上方時(shí)，如圖，∵AD⊥y軸，AC⊥x軸，∴四邊形ADOC為矩形，∴AC＝OD，OC＝AD，∵⊙A與x軸相切，∴AC為⊙A的半徑，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（8，5），∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，∵PB是切線，∴AB⊥PB，∵∠APB＝30°，∴PA＝2AB＝10，在Rt△PAD中，根據(jù)勾股定理得，PD=PA∴OP＝PD+DO＝11，∵點(diǎn)P在y軸的正半軸上，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，11），故答案為：（0，11）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是把所求的線段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圓的切線作半徑．16．（2021?涼山州）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，⊙C的半徑為3，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為3．【答案】3．【分析】連接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=12×60°＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BH=12AB＝2，CH=32BC=32×4＝23，由切線的性質(zhì)得到【解答】解：連接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如圖，∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，∴AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=1∴BH=12AB＝2，CH=32BC=3∵PQ為⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，在Rt△CPQ中，PQ=C∵點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，CP最小，即CP的最小值為23，∴PQ的最小值為12-3=3故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．三、解答題（本大題共7小題，共52分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（2022秋?荔灣區(qū)校級(jí)期末）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，∠BAC＝25°．求∠P的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)切線性質(zhì)得出PA＝PB，∠PAO＝90°，求出∠PAB的度數(shù)，得出∠PAB＝∠PBA，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，∴AC⊥AP，∴∠CAP＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣25°＝65°，∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣65°﹣65°＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長(zhǎng)定理，切線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目具有一定的代表性，難度適中，熟記切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18．（2023?槐蔭區(qū)模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，⊙O的切線BD交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：∠DBC＝∠OCA；（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解答；（2）23【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBD＝∠OBC+∠DBC＝90°，再根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，加上∠OBC＝∠OCB，于是利用等量代換得到結(jié)論；（2）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CB=233，然后證明∠D＝∠CBD＝30°得到CD【解答】（1）證明：∵DB是⊙O的切線，∴BD⊥AB，∴∠OBD＝∠OBC+∠DBC＝90°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°．∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠DBC＝∠OCA；（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CB=33AC∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∴∠D＝90°﹣∠COB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°．∴∠DBC＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠DBC．∴CB＝CD．∴CD=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．19．（2023?西安一模）如圖，AB為⊙O的直徑，OD為⊙O的半徑，⊙O的弦CD與AB相交于點(diǎn)F，⊙O的切線CE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，EF＝EC．（1）求證：OD垂直平分AB；（2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為3，且BF＝BE，求OF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）1．【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCF+∠ECF＝90°，然后根據(jù)等邊對(duì)等角，等量代換求出∠ODF+∠OFD＝90°，證得OD⊥AB即可；（2）設(shè)BF＝BE＝x，則EC＝EF＝2x，OE＝3+x，在Rt△OCE中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x，然后根據(jù)OF＝OB﹣BF計(jì)算得出答案．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵CE切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥CE，∴∠OCF+∠ECF＝90°，∵OC＝OD，EF＝EC，∴∠OCF＝∠ODF，∠ECF＝∠EFC，又∵∠OFD＝∠EFC，∴∠ODF+∠OFD＝90°，∴∠DOF＝90°，∴OD⊥AB，∵OA＝OB，∴OD垂直平分AB；（2）解：設(shè)BF＝BE＝x，則EC＝EF＝2x，OE＝3+x，在Rt△OCE中，OC2+CE2＝OE2，∴32+（2x）2＝（3+x）2，解得：x1＝2，x2＝0（舍去），∴OF＝OB﹣BF＝3﹣2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解一元二次方程，熟知圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．20．（2023?永壽縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，DE切⊙O于點(diǎn)E，BD⊥DE于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，連接BE．（1）求證：BE平分∠ABC；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解答．（2）CD的長(zhǎng)為2．【分析】（1）由DE切⊙O于點(diǎn)E知OE⊥ED，結(jié)合BD⊥DE于點(diǎn)D知OE∥BD，從而得∠OEB＝∠EBD＝∠OBE，即可得證；（2）作DEEM⊥AB，由（1）中角平分線知ED＝EM，連接AC，證四邊形CHDF是矩形可得DE＝CF=12AC，根據(jù)勾股定理求得AC，進(jìn)而求出【解答】解：（1）如圖，∵DE切⊙O于點(diǎn)E，∴OE⊥ED，∵BD⊥DE，∴OE∥BD，∴∠OEB＝∠EBD，∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠EBD＝∠OBE，∴BE平分∠ABC；（2）連接AC，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，∵BE平分∠ABD，∴ED＝EM，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACD＝∠D＝∠DEF＝90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴DE＝CF=12∵AB＝10，BC＝6，∴AC=AB則EM＝ED＝CF＝AF=12AC＝∴OF=OA∴EF＝OE﹣OF＝2，∴CD＝EF＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理及矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21．（2023?鏡湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD為⊙O的弦，且AB∥CD，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AE與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F．（1）求證：∠EAC＝∠ADC（2）若AB＝4，BC＝6，求DC的長(zhǎng)．【答案】（1）見解答；（2）5．【分析】（1）作直徑AM，連接CM，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠EAM＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠ACM＝90°，則利用等角的余角相等得到∠EAC＝∠M，然后利用圓周角定理得到∠M＝∠ADC，從而得到∠EAC＝∠ADC；（2）先證明AB=AC，則根據(jù)垂徑定理得到AM⊥BC，所以BC∥AE，再證明四邊形ABCE為平行四邊形得到AE＝BC＝6，CE＝AB＝4，接著證明△EAC∽△EDA，然后利用相似比求出ED，從而得到【解答】（1）證明：作直徑AM，連接CM，如圖，∵AE為⊙O的切線，∴AE⊥AM，∴∠EAM＝90°，∵AM為直徑，∴∠ACM＝90°，∵∠EAC+∠CAM＝90°，∠M+∠CAM＝90°，∴∠EAC＝∠M，∵∠M＝∠ADC，∴∠EAC＝∠ADC；（2）解：∵AB＝AC，∴AB=∴AM⊥BC，而AM⊥AE，∴BC∥AE，∵AB∥CD，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝6，CE＝AB＝4，∵∠EAC＝∠EDA，∠AEC＝∠DEA，∴△EAC∽△EDA，∴EA：ED＝EC：EA，即6：ED＝4：6，解得ED＝9，∴CD＝ED﹣EC＝9﹣4＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．22．（2022秋?合川區(qū)期末）如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的⊙O分別與邊AD，CD相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF．（1）求證：AE＝CF；（2）若⊙O的半徑為2-2，求正方形ABCD【答案】（1）見解析；（2）1．【分析】（1）根據(jù)一組