2023學(xué)年上海高二數(shù)學(xué)教學(xué)同步練習(xí)（滬教版2020必修第三冊(cè)）

10.2空間的平行直線（第1課時(shí)）（作業(yè)）

（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2021.上海市南洋模范中學(xué)高二階段練習(xí)）給出下列命題：

①若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等；

②若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角或直角相等；

③若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；

④若兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，則這兩條直線平行

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2021?上海市新場中學(xué)高二期中）空間四邊形ABC￡>,E、F、G、”分別是48、BC、CD.AO的中點(diǎn)，

當(dāng)4C、8。滿足（）時(shí)，四邊形EFG”是菱形.

A.AC=BDB.AC垂直2。

C.AC平行8。D.AC=BQ且4c垂直3。

3.（2019?上海市羅店中學(xué)高二期中）在四面體A8CO中，M、N分別是AACD、ABCD的重心，連接DM、

ON分別延長并交AC、BC于點(diǎn)E、F,則AB、AE.BF、E尸中，與MN平行的直線的條數(shù)是（）

A.。條B.1條C.2條D.3條

4.（2021?上海?閔行中學(xué)高二期中）若空間三條直線。、b、c滿足:,力，bile,則直線。與c（）

A.一定平行B.一定垂直C.一定是異面直線D.一定相交

二、填空題

5.（2021?上海市延安中學(xué)高二期中）已知空間四邊形兩對(duì)角線的長分別為8和10,所成的角為60。，依次

連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是.

6.（2021?上海市亭林中學(xué)高二期中）已知。、b、c為不重合的三條直線，且a〃c,bile,則。與b的位置

關(guān)系是.

7.（2021?上海市控江中學(xué)高二期中）空間四邊形A6C。中，E、尸、G、H分別是A8、8C、CZ\D4的中點(diǎn)，

S.AC1BD,則四邊形EFGH的形狀是.

8.（2016?上海?曹楊二中高二期中）設(shè)E、尸、G、//分別是空間四邊形ABC。的邊A3、BC、CD.DA

的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的形狀一定是.

JT

9.（2021.上海.華東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如果。4〃。/4,OBHO^i,ZAOB=-,則

NAQ/Bi=.

10.（2021?上海外國語大學(xué)閔行外國語中學(xué)高二期中）設(shè)NA與D8的兩邊分別平行，若/4=40。，則

ZB=

三、解答題

II.（2019?上海?華師大二附中高二階段練習(xí)）在正方體48/。。/-ABC。中，E、F分別是BC、A/D的中

點(diǎn).

（1）求證：四邊形是菱形;

（2）作出直線A/C與平面的交點(diǎn)（寫出作圖步驟）.

12.（2019?上海?華師大二附中高二期中）在正方體ABC。-中，E,尸分別是BC，A。的中點(diǎn).

求證：字可四邊形B、EDF是菱形.

4

【能力提升】一、單選題

1.（2022.上海.高三專題練習(xí)）空間中八條直線兩兩平行，且兩兩之間的距離相等，則正整數(shù)“至多等于（)

A.2B.3C.4D.5

2.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)角的兩邊分別和另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角

A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.無法確定

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，棱長為1的正方體AB8-ABCQ中，P為線段4片的中點(diǎn)，分

別為線段AG和棱BC上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

C.73D.2

4.（2022.全國?高一專題練習(xí)）若NAOB=N4O/B/,且。4〃。/4,OA與0/4方向相同，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.08〃。向且方向相同

B.OB//OIBI,方向可能不同

C.與。田/不平行

D.OB與0由/不一定平行

5.（2020?全國?高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確的結(jié)論有（）

①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；

②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等；

③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；

④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、多選題6.（2021.山東濰坊.高二期中）（多選題）下列說法中，正確的結(jié)論有（）

A.如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等

B.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等

C.如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

D.如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行

7.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知空間四邊形ABC。，順次連接四邊中點(diǎn)所得的四邊形可能是（）

A.空間四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

三、填空題

8.（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）空間四邊形43a＞中，E,F,G,"分別是AB,DA,BC,CO的中點(diǎn)，

四邊形EFHG是形；當(dāng)______時(shí)，四邊形是菱形；當(dāng)_____時(shí)，四邊形是矩形；當(dāng)_______

時(shí)，四邊形是正方形.

四、解答題

9.（2019?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）空間四邊形ABCQ中E、F、G、4分別為AB、BC、CC、A。上的點(diǎn)

（1）求證：當(dāng)E、&G、H分別為各邊的中點(diǎn)時(shí);四邊形EFGH為平行

四邊形;

（2）當(dāng)E、&G、H滿足什么條件時(shí)，四邊形E尸GH為梯形？說明理由.

10.（2016?上海?曹楊二中高二期中）如圖，A是△8CO所在平面外一點(diǎn)，M、N為AABC和△AC。重心,

BD=6；

（1）求MN的長;

（2）若A、C的位置發(fā)生變化，MN的位置和長度會(huì)改變嗎？

11.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐A-8CD中，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA

的中點(diǎn).

⑴求證：四邊形EFG4是平行四邊形;

（2）若AC=BD,求證：四邊形EFG”是菱形；

（3）當(dāng)AC與8。滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形?

12.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）如果。4//。0，OB/ZO^,那么NAO3與NAQ瓦之間具有什么關(guān)系？

13.（2021?廣東?忠信中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在正方體A8CO-44CQ中，M,M分別是棱AO和4。

的中點(diǎn).

（1）求證:四邊形BAM”為平行四邊形;

(2)求證：NBMC=NBMG.

14.（2021.全國?高一課時(shí)練習(xí)）在如圖所示的正方體ABC。-A/B/G2中，E,F,?,B分別是棱AB,

AD,BC,GS的中點(diǎn),

求證：（1）后尸2鳥耳；

⑵/EAF=/ECFi.

15.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，平面a〃夕，線段AB分別交a,/?于",N線段AO分別交%?于C,。

線段8尸分別交a,尸于F,E.若AM=9,MN=11,M3=15,S.c=78.求.END的面

16.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，E,E，分別為長方體ABCD-A'8'CTy的棱4D,A'D的中點(diǎn)，求證

ZBEC=ZBEC.

D'C

AB17.（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）在三棱柱ABC—48/G中，M,N,P分別為

A,Ci,AC和A8的中點(diǎn).求證：NPNA尸NBCM.?

10.2空間的平行直線（第1課時(shí)）（作業(yè)）

（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2021.上海市南洋模范中學(xué)高二階段練習(xí)）給出下列命題：

①若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等；

②若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角或直角相等;

③若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；

④若兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，則這兩條直線平行

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由平行角定理，可以判斷①的真假；根據(jù)直線夾角的定義，可以判斷②的真假；根據(jù)直線垂直的

兒何特征，我們可以判斷③的真假；根據(jù)平行公理，可以判斷④的真假.

【詳解】解：①中，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故①錯(cuò)誤;

②中，如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等，故②正確;

③中，如圖，在長方體中，如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角不一定相等或互

補(bǔ)，如圖a，c,bLd,但兩角不一定相等，故③錯(cuò)誤；

④中，如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故④正確；

F、G、H分別是48、

A.AC=BDB.AC垂直8。

C.AC平行BOD.AC=BO且AC垂直8?！敬鸢浮緼

【分析】先利用三角形中位線定理及平行四邊形的判定定理證明四邊形EFG”為平行四邊形，然后再根據(jù)

菱形的定義即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連結(jié)AC,BD,

-.￡>F、G、”分別為空間四邊形ABC。的邊A8、BC、CD、AO的中點(diǎn),

"1"1

:.EH=-BD,FG=-BD,

22

ii

:.EH=FG'

四邊形EFG”為平行四邊形,

所以當(dāng)AC=8。時(shí)，有EF=EH,

所以由菱形的定義如四邊形EFG〃為菱形.

故選：A.

3.（2019?上海市羅店中學(xué)高二期中）在四面體中，M、N分別是AACD、ABCZ）的重心，連接DM、

ON分別延長并交AC、BC于點(diǎn)、E、F,則A3、AE.BF、EF中，與MN平行的直線的條數(shù)是（）

A.。條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【分析】作出圖形，可知點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，利用重心的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)，結(jié)合平行線

的傳遞性，可得出與宜線MN平行的直線.

【詳解】如下圖所示：

由題意可知，點(diǎn)E、尸分別為AC、8c的中點(diǎn)，則EF//4},由重心的性質(zhì)可知

DMDN2

——=——=-,MN//EF,：.MN//AB,

DEDF3

若MNHAE,則g//山，矛盾，同理可知，與所也不平行,

因此，AB.AE、BF、E尸中，與MN平行的直線有兩條.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線平行的判定，涉及到重心性質(zhì)的應(yīng)用、中位線的性質(zhì)以及平行線的傳遞性，

考查推理能力，屬于中等題.

4.（2021?上海?閔行中學(xué)高二期中）若空間三條直線。、b、c滿足；_￡，，bile,則直線。與c（）

A.一定平行B.一定垂直C.一定是異面直線D.一定相交

【答案】B

【分析】根據(jù)等角定理可得出結(jié)論.

【詳解】Qa±b,則。、6所成的角為直角，

又因?yàn)閎〃c,所以，a、c所成的角為直角，即。，。.

故選：C.

二、填空題

5.（2021?上海市延安中學(xué)高二期中）已知空間四邊形兩對(duì)角線的長分別為8和10,所成的角為60。，依次

連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是.

【答案】10%

【分析】空間四邊形A8CO中，分別取A8、BC、CD、D4的中點(diǎn)E、F、G、H,連接EEFG、GH、HE,

則連接各邊中點(diǎn)可得平行四邊形，利用平行四邊形的面積公式可求出結(jié)果.

【詳解】如圖，空間四邊形ABCO中，

兩對(duì)角線AC、8。的長分別為8和10,所成的角為60。，

分別取AB、BC、CD、D4的中點(diǎn)E、F、G、H,連接EF、FG、GH、HE,

則EF//GH//AC,且EF=GH=^AC=4,

EHHGFHBD,史EH=GF=yBD=5,

：.ZWEF=60°,或尸=120°,

不妨取N”EF=60。

.??連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是：

SEFCH=sin60°=10g.故答案為：10A/3.

A

（2021?上海市亭林中學(xué)高二期中）已知。、b、c為不重合的三條直線，且

a!1c,力/c,則"與b的位置關(guān)系是.

【答案】平行

【分析】利用平行公理即可得到.

【詳解】因?yàn)閍〃c,b//c,且。、〃、c互不重合，

由平行公理得：a//b.

故答案為：平行

7.（2021?上海市控江中學(xué)高二期中）空間四邊形ABCD中，E、尸、G、H分別是A8、8C、CD、D4的中點(diǎn),

且AC，8。，則四邊形EFGH的形狀是.

【答案】矩形

【分析】先由中位線的性質(zhì)證明EFGH是平行四邊形，然后再由已知垂直即可求解.

【詳解】

因?yàn)椤闬F、G、”分別是A3、3C、CD、D4的中點(diǎn),

所以EHj/BD,FG//BD艮EH=FG=H，

所以四邊形EFG”為平行四邊形，又因?yàn)锳CLBD,HG//AC,EH//BD,

所以J_〃G,

所以四邊形EFG”為矩形，

故答案為：矩形.

8.（2016?上海?曹楊二中高二期中）設(shè)E、F、G、”分別是空間四邊形A8CO的邊AB、BC、CD,DA

的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的形狀一定是

【答案】平行四邊形

【分析】證明FG//EH，且FG=EH即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接30.因?yàn)镕G是ACBZ）的中位線，所以FG//BD,FG=\-BD.

2

又因?yàn)镋"是A4BQ的中位線，所以EH=；BD.

根據(jù)公理4,FG//EH,且尸G=E".

所以四邊形EFG”是平行四邊形.

故答案為：平行四邊形

【點(diǎn)睛】主要考查知識(shí)點(diǎn)：簡單幾何體和公理四，證明平行四邊形常用方法：時(shí)邊

平行且相等；或?qū)叿謩e平行；或?qū)蔷€相交且平分.要注意：對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形.

■JT

9.（2021?上海?華東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如果。4〃。/4,OBHOIBLZA0B=-9則

/AQiB尸_______________

【答案】9或4

【分析】根據(jù)等角定理，結(jié)合直線的方向，即可得到答案；

【詳解】：。1//。4,0BH0B,

TT

當(dāng)直線,。氏。與中方向都相同或都相反時(shí)，幺。蜴=至，

當(dāng)直線。4,04，中方向有一條不同，一條相反時(shí)，幺。出=與，故答案為：（或等

10.（2021?上海外國語大學(xué)閔行外國語中學(xué)高二期中）設(shè)乙4與B8的兩邊分別平行，若24=40。，則

NB=.

【答案】40?；?40。.

【分析】根據(jù)等角定理即可得到答案.

【詳解】根據(jù)等角定理：一個(gè)角的兩邊平行于另外一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

故答案為：40?；?40。.

三、解答題

11.（2019?上海?華師大二附中高二階段練習(xí)）在正方體A/B/。。/-ABC。中，E、F分別是BC、A/D的中

點(diǎn)、.

（1）求證：四邊形是菱形;

（2）作出直線A/C與平面B/EFO的交點(diǎn)（寫出作圖步驟）.

【分析】（1）取4。中點(diǎn)G,連接FG,BG,可證四邊形B/BGF為平行四邊形，四邊形BEQG為平行四邊

形，得到四邊形B/ECF為平行四邊形，再由凡可得B/E=BiF,得到四邊形B/ED尸是菱形;

（2）連接A/C和AG,則A/C與AC/的交點(diǎn)O,即為宜線4c與平面B/EFO的交點(diǎn).

【詳解】（1）證明：取4）中點(diǎn)G,連接FG,BG,如圖1所示,

則BiB//FG,BiB=FG,

，四邊形8/BG尸為平行四邊形，則BG〃BiF,

由A8CO-4B/C/S為正方體，且E,G分別為8C,4力的中點(diǎn),

可得8EZ）G為平行四邊形，J.BG//DE,BG=DE,則B戶〃。E,且B/F=QE,

.,?四邊形B/￡￡>/為平行四邊形，由△B/5E四△B/A/F,可得B；E=BiF,

，四邊形8/￡￡>尸是菱形;

（2）連接A/C和A0,則A/C與AC/的交點(diǎn)。,

即為直線A/C與平面8/EPD的交點(diǎn)，如圖所示.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題,也考查了空間想象與邏輯推理

能力，是中檔題.關(guān)鍵是掌握正方體的性質(zhì)和熟練使用平行公理.

12.（2019?上海?華師大二附中高二期中）在正方體ABC。-AAGR中，E,F分別是的中點(diǎn).

求證：至回四邊形四項(xiàng)乃是菱形.

（分析】取B,C,中點(diǎn)G,連接G。、GE，證明四邊形GEDDt,FgGR都是

平行四邊形，從而得到四邊形瓦EDF是平行四邊形，再證明qE=8/,得到空間四邊形與即尸是菱形.

【詳解】證明：取8c中點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)GR、GE,

則GE||C,C||D、D,GE=C,C=D,D,

四邊形GEOR是平行四邊形，GDt\\ED,GDt=ED,

FD.IIB、G,FD\=4G:.四邊形尸2。"是平行四邊形，，BtF\\GD,B、F=GD,||ED,BtF=ED,

二四邊形四瓦不是平行四邊形,

B,E=BXF,空間四邊形片EOF是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查正方體內(nèi)線段之間的關(guān)系，空間四邊形的證明，屬于簡單

【能力提升】

一、單選題

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）空間中〃條直線兩兩平行，且兩兩之間的距離相等，則正整數(shù)〃至多等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】取與〃條平行線垂直的平面a,則”條直線在平面a內(nèi)的投影為〃個(gè)點(diǎn)，將直線問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)

的點(diǎn)的問題解決.

【詳解】取平面a,使得兩兩平行的"條直線與平面a垂直，則〃條直線在平面a內(nèi)的投影為"個(gè)點(diǎn)，且這

”個(gè)點(diǎn)之間的距離兩兩相等.

?的最大值為3,此時(shí)"個(gè)投影點(diǎn)組成一個(gè)正三角形.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間直線與直線的位置關(guān)系，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵，考查空間想

象能力，屬于中等題.

2.（2021.全國?高一課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)角的兩邊分別和另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角

A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.無法確定

【答案】C【詳解】解：如圖，當(dāng)/I,Z2,與/3的兩邊互相平行且在同一平面，

二/3=/4,Z4=Z1,Z4+Z2=180°；

.,.Z3=Z1,Z3+Z2=180°.

.,?這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

當(dāng)/I與N2的兩邊且方向相同（或相反）互相平行且不在在同一平面,

設(shè)4N2的頂點(diǎn)分別為A，A，

分別在兩對(duì)應(yīng)的平行邊取AB=AtBl,AC=AG，

連M,8綜Cq,因?yàn)锳B//A,Bt,AC//A.C,,

所以四邊形MQWAAGC為平行四邊形，

所以抽〃網(wǎng),M//CC”M=BB、=CC,,

所以BB"/Cq,從而四邊形是平行四邊形，

所以BC=片G,所以AABC三AA'B'C,

:.ABAC=ZB'A;C',即N1=N2,

若4,N2方向相反，則其中一個(gè)的對(duì)頂角跟另一個(gè)角方向相同,

同理可證一個(gè)角等于另一角的對(duì)頂角，

若4N3兩邊分別平行但方向不相同也不相反，

則N3的補(bǔ)角與N1方向相同或相反，

同理可證Z1等于N3的補(bǔ)角，此時(shí)NLN3互補(bǔ),

綜上：一個(gè)角的兩邊分別和另一個(gè)角的兩邊平行，

那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

點(diǎn)評(píng)：解決本題時(shí)要聯(lián)想平行線的性質(zhì)定理，正確認(rèn)識(shí)基本圖形，就不會(huì)漏掉互補(bǔ)的情況.

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，棱長為1的正方體ABC。-A4CQ中，尸為線段A片的中點(diǎn)，M,N分

別為線段AG和棱B￡上任意一點(diǎn)，則2HW+V5MN的最小值為（）

C.GD.2

【答案】D

【解析】取AC中點(diǎn)E,過M作M7F面A/CQ,可得AMFN為等腰直角三角形，由A4PM三A4EM,可

得PM=EM,當(dāng)MN_LBCi時(shí)，MN最小，由MF=^MN,故

2

（五、

2PM+y[2MN=2PM+—MN=2（EM+MF）22AAi=2,即可求解.

k2J

【詳解】取AC中點(diǎn)E,過M作MF_L面A4G2，如圖:

則AAPM=AA￡例，散PM=EM,

而對(duì)固定的點(diǎn)M,當(dāng)與G時(shí).，MN最小.

此時(shí)由怖_1面4聲6?！缚芍狝A/FN為等腰直角三角形，MF=^MN,

（萬、

故2PM+近MN=2PM+—MN=2（EW+MF）22AA=2.

\J

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

4.（2022?全國?高一專題練習(xí)）若NAOB=NAQ/B/,且。4〃0/4,OA與。4方向相同，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.OB〃O/B/且方向相同

B.OB//O1B1,方向可能不同

C.OB與OIBI不平行

D.與0/8/不一定平行

【答案】D

【詳解】如圖，

當(dāng)NA08=NA。g時(shí)，且OV/QA，與的方向相同，0B與。也是不一定平行，如上圖所示，故

選D.

5.（2020?全國?高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確的結(jié)論有（）

①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；

②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等；

③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；

④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【詳解】①中，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故①錯(cuò)誤；②

中，如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等，故②正確；

③中，如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，在空間中，兩角大小關(guān)系不確定，故③錯(cuò)誤；④中,

如果兩條宜線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故④正確；故選B.

二、多選題

6.（2021?山東濰坊?高二期中）（多選題）下列說法中，正確的結(jié)論有（）

A.如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等

B.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等

C.如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

D.如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行

【答案】BD

【分析】由等角定理可判斷A的真假；根據(jù)直線夾角的定義可判斷B的真假；舉反例可判斷C的真假；由

平行公理可判斷D的真假.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故選項(xiàng)A

錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：如果兩條相交直線和另兩條相交宜線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等，故選

項(xiàng)B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，這兩個(gè)角的關(guān)系不確定，既可能相等也可能互

補(bǔ)，也可能既不相等，也不互補(bǔ).反例如圖，在立方體中，NAAG與NABG滿足C^IQB,

TT

但是NAAG=1二者不相等也不互補(bǔ).故選項(xiàng)c錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D：如果兩條宜線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

7.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知空間四邊形ABCO,順次連接四邊中點(diǎn)所得的四邊形可能是（）

A.空間四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】BCD

【分析】作出圖形，連接AC、BD,推導(dǎo)出所求四邊形為平行四邊形，再根據(jù)AC和8D的長度和位置關(guān)系

可判斷出所求四邊形的形狀.

【詳解】如下圖所示：

連接AC、BD,設(shè)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、D4的中點(diǎn),

則且同理可得FG//8D且尸G=LB/),所〃AC且EF=，AC,

222

EHHFGnEH=FG,則四邊形EFGH為平行四邊形.

?^AC1BD,則此時(shí)，四邊形EFG”為矩形；

②若AC=5￡>,則EH=EF,此時(shí)，四邊形EFG”為菱形；

③若AC_LBD且AC=B￡),則EHLEF且EH=EF,此時(shí),，四邊形EFG〃為正方形.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】本題考查空間四邊形截面形狀的判斷，考查了空間中平行線傳遞性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于

中等題.

三、填空題8.(2021?全國?高二課時(shí)練習(xí))空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,DA,BC,CD

的中點(diǎn)，四邊形EFEG是形；當(dāng)______時(shí)，四邊形EFEG是菱形；當(dāng)______時(shí)，四邊形EFHG是矩

形；當(dāng)______時(shí)，四邊形EFHG是正方形.

【答案】平行四邊BD=ACBDYAC3D=AC且_LAC

【分析】首先結(jié)合：角形的中位線證得G"〃成，且GH=EF,進(jìn)而得到EH7G為平行四邊形，然后結(jié)合

菱形、矩形以及正方形的幾何特征即可得出結(jié)論.

【詳解】

.4

/\/甲因?yàn)镋,尸別是A8,ZM的中點(diǎn)，所以EF"BD,EF=^BD

C

因?yàn)镚,，分別是A3,OA的中點(diǎn)，所以GH//8DG”=g8。，

因此GH〃￡F,且GH=EF,所以四邊形EFHG為平行四邊形,

因?yàn)锽O=AC,所以所=FH,所以四邊形EFHG為菱形，

因?yàn)?OJ.AC,所以EFLFH,所以四邊形EFEG為矩形，

因此當(dāng)班＞=AC且即，AC時(shí)，所以四邊形EFHG為正方形.

故答案為：平行四邊；BD=AC-,BD1AC-,80=4c且8。J_4c.

四、解答題

9.（2019?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）空間四邊形A8CD中E、&G、〃分別為AB、8C、CO、A。上的點(diǎn)

（1）求證：當(dāng)瓦F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH為平行

四邊形;

（2）當(dāng)歐F、G、H滿足什么條件時(shí)，四邊形EFG”為梯形？說明理由.【分析】根據(jù)題意，結(jié)合中位線證明

四邊形EFGH的一組對(duì)邊平行且相等，即可證明四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）根據(jù)題意，要使四邊形EFG”為梯形，只需滿足一組對(duì)邊平行而另一邊不平行，結(jié)合相似三角形即可求

解.

【詳解】（1）在AABC中，因E、尸分別為A3、BC的中點(diǎn),

所以EF〃AC,且EF=g4C,

同理用〃AC,且“G=[AC,

2

所以用〃EF,且HG=EF,

所以四邊形EFGH為平行四邊形;

⑵①當(dāng)41=黑CFCGuAECFn,

—=—且一豐—時(shí)四邊形EFG”為梯形.

ACCBCDABCB

A.pAfJ

因?yàn)橐?—,所以△A￡HS/^ABD,所以EH〃BD,

ABAC

同理FG〃8D,

所以FG〃E〃,

又因?yàn)锳黑T/三CF，所以痔與用不平行，

ADCO

所以四邊形EFGH為梯形.

ArCFAHCGAFAH

②當(dāng)而，,茄=而且7T耘時(shí),四邊形MG”為梯形.證明過程同理于①.

?AEAHCFCG、、AECFAECFAHCGAEAH.

故當(dāng)——=——，一=—且一H——或一=—，——=——a且一關(guān)——時(shí)，

ABACCBCDABCBABCBADCDABAD

四邊形EFGH為梯形.

10.（2016.上海.曹楊二中高二期中）如圖，A是△88所在平面外一點(diǎn)，M、N為AABC和4人。重心,

BD=6；

（1）求MN的長;

（2）若A、C的位置發(fā)生變化，MN的位置和長度會(huì)改變嗎？

【答案】（1）2；（2）位置改變，長度不改變；【分析】（I）利用三角形的重心的性質(zhì)，可得M、N分

別是A4BC與MCD的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，得槳=槊=1,由此利用平行線的性質(zhì)與三角形中位線定理,

AEAF3

算出MN與8。的關(guān)系，即可得到MN的長.

（2）由（1）可得位置改變，長度不改變.

【詳解】解：（1）延長AM、AN,分別交BC、C￡＞于點(diǎn)E、F,連結(jié)EF.

M、N分別是MBC和MCD的重心,

??AE、?分別為MBC和AACD的中線，且黑=等號(hào)，

2

可得MN//EF且MN=EF,

尸為MCD的中位線，可得=

:.MN=-BD=2；

3

（2）由（1）可得位置改變，長度不改變.

本題著重考查了三角形的重心性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和三角形的中位線定

理等知識(shí)，屬于中檔題.

11.（2021.全國?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐A—BCD中，E,F,G,”分別是邊AB,BC,CD,DA

的中點(diǎn).

A

⑴求證：四邊形EFGH是平行四邊形;

(2)若AC=8。，求證：四邊形EFGH是菱形；

(3)當(dāng)AC與30滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形？

【答案】⑴見解析；⑵見解析；(3)AC=8D且ACLB。【分析】⑴利用三角形中位線的性質(zhì)，根據(jù)平行

四邊形的判斷方法，即可得到結(jié)論；

(2)利用有一組鄰邊相等的平行四邊形，可證結(jié)論.

(3)根據(jù)鄰邊相等且垂直即可得解.

(1)

E,F,G,H分別是邊AB,BC,CRZM的中點(diǎn).

二EF//AC,GH//AC,EF=；AC,GH=^AC,

EF//GH,EF=GH,

四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)同(1)可得EH〃FG,EF=FG=LBD

若AC=BD,則EF=E”，

:四邊形EFGH是平行四邊形，

二四邊形EFG”為菱形.

(3)要使EFGH為正方形，則需滿足EH=FG=EF="G且EFLEH,

即AC=8。且AC_LB。即可.

12.(2021?全國?高一課時(shí)練習(xí))如果。4//00,OBHOR,那么ZAO3與NAG耳之間具有什么關(guān)系？

【答案】相等或互補(bǔ)

【分析】按NAO8與NA0內(nèi)在同一平面內(nèi)和不在同一平面內(nèi)分別推理判斷作答.

【詳解】當(dāng)NAO8與鳥在同一平面內(nèi)時(shí)，令。8交4/0/于點(diǎn)M,如圖：

因04〃01A，貝lJNA0B=NAM8,NCOB=NO、MB,

又OB//O,B},則幺0￡=ZAtMB,因此，ZAOB=/4日與，NC0B+4。國=Z.0.MB+NAMB=180,

顯然C與A可換位，

所以NAO3與NA。筋之間相等或互補(bǔ)；

當(dāng)NAO3與幺0萬不在同一平面內(nèi)時(shí),

若射線OA與O/A/同方向，射線OB與0/8/同方向,

在射線與。/4上分別取點(diǎn)E,E],使OE=O￡,在射線。8與。向上分別取點(diǎn)。，。/，使

連接00/,DDi,EE,,ED,EIDI,如圖,

因。A〃qA，則四邊形0EB0/是平行四邊形，EE)11001,且用尸。。/,同

理。。/〃00〃BLDD,=OOI,

于是得且EE/=O￡>/,則四邊形OEE/D是平行四邊形，即有E慶臼

從而有AEOD祥ERD、,則ZEOD=,即NAOB=ZA.QB,,

射線0C是射線。4的反向延長線，則有NC0B+40B=180°，即NC08+NA。冉=18(X,顯然C與A可

換位,

因此，NAOB與乙404之間相等或互補(bǔ)，

若射線OA與0/4方向相反或射線0B與。/8/方向相反，則射線0A的反向延長線與Oi\i同方向或射線

0B的反向延長線與。向同方向，在其反向延長線I：按上述同樣的方式進(jìn)行，可得NAOBH內(nèi)之間相

等或互補(bǔ)，

所以N4O8與幺。青之間相等或互補(bǔ)，

綜上得：NAO8與NA。內(nèi)之間相等或互補(bǔ).

13.(2021?廣東?忠信中學(xué)高一階段練習(xí))如圖，在正方體ABC。-A4GA中，M,M分別是棱A。和

的中點(diǎn).

(1)求證:四邊形為平行四邊形;

(2)求證：NBMC=ZB\MG.

【分析】(1)根據(jù)正方體的性質(zhì)和平面幾何知識(shí)可得證;

(2)根據(jù)空間兩個(gè)角相等定理或三角形全等可得證.

【詳解】解：⑴：A8CD-A瓦CQ為正方體????AO=AQ,且AD//AR,

又必分別為棱A。，AQ的中點(diǎn)，且AM〃A陷,

二四邊形為平行四邊形，...=明且MM"4V

又A4,=B片且的〃陰，MM]=BB,且MMJ/BB、,

二四邊形為平行四邊形.

(2)法一：由(1)知四邊形BBM"為平行四邊形，

同理可得四邊形CCMM為平行四邊形，和NBMC方向相同,

.4.4BMC=ZB,M.C,.

法二：由⑴知四邊形84MM為平行四邊形，.?.瓦=

同理可得四邊形CCMM為平行四邊形，,CM=CM.

又;?B?=BC,：.,.：NBCM=NB￡M].14.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）在如圖所

示的正方體A8CO-A/8/C/功中，E,F,EhB分別是棱AB,AD,BQ,C/功的中點(diǎn)，

求證：⑴E尸幺耳耳；

Q）/EAIF=NEICFI.

試題分析：（D連接BO,B、D、,由三角形中位線定理可得所〃18。，%F=BR,根據(jù)正方體的性質(zhì)可

—22

得故而可得結(jié)論；（2）取AM的中點(diǎn)M,連接首先證明四邊形BC耳M是平行四邊

形，得到MB//CK，再證四邊形EBMA是平行四邊形及平行的傳遞性，得到AE