新高考數(shù)學一輪復(fù)習考點精講講練學案 導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．C【解析】【分析】先對已知條件取對數(shù)后得到，，.根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，比較大小.【詳解】由得即.同理得：，.令則.故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.所以.故選：C.2．B【解析】【分析】先得到為偶函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用題目條件判斷單調(diào)性，進而得出大小關(guān)系.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，可知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，即為偶函數(shù)，構(gòu)造，當，，故在上單調(diào)遞減，且易知為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，由，所以.故選：B.3．C【解析】【分析】判斷出，構(gòu)造函數(shù)，判斷時的單調(diào)性，利用其單調(diào)性即可比較出a,b的大小，即可得答案.【詳解】由，得，設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增，因為，所以，所以，故，則，即有，故.故選：C.4．C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求的遞增區(qū)間.【詳解】由題設(shè)，且，可得，所以遞增區(qū)間為.故選：C5．A【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，然后令，解出不等式即可得答案.【詳解】解：，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：A.6．A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)除法求導(dǎo)法則求導(dǎo)運算，再根據(jù)在成立，則在上單調(diào)遞增，運算求解．【詳解】∵令，則∴函數(shù)的遞增區(qū)間為故選：A．7．(1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得在上恒成立，令，再分、、三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計算可得.（1）解：由知定義域為，且①時，在上，故在上單調(diào)遞增；②時，當時，時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）解：由得，令①當時，在，恒成立，所以不可能；②當時在上單調(diào)遞減且，當時，，故在上存在，使得時，，則在上單調(diào)遞增，所以與題不符.

當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意.綜上所述，8．(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，對a分類討論：和兩種情況，分別求單調(diào)區(qū)間；（2）對，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，求出最小值，即可得到，即證.（1）函數(shù)的定義域為，.若，當時，，此時函數(shù)為增函數(shù)，當時，，此時函數(shù)為減函數(shù)；若，當時，，此時函數(shù)為減函數(shù)，當時，，此時函數(shù)為增函數(shù).（2）當時，令，則，當時，，此時函數(shù)在遞增，當時，恒成立.故在上，.9．(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，再分類討論求解不等式或的解集作答.（2）利用方程根的意義求出的關(guān)系等式，再變形換元，構(gòu)造函數(shù)并借助函數(shù)單調(diào)性推理作答.（1）函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，當時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，當時，當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，的遞增區(qū)間是，當時，遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（2）當a＝2時，方程，即為，依題意，，且，兩式相減，得，即，則，令，有，，從而得，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，而，因此，恒成立，所以．10．(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當時，構(gòu)造函數(shù)，則，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．答案見解析【解析】【分析】就分類討論導(dǎo)數(shù)的符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】的定義域為，，若，則恒成立，故在上為減函數(shù)；若，則當時，，當時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，綜上，當時，在上為減函數(shù)；當時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．12．（1）0；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)直接進行求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論思想進行求解即可.【詳解】（1）由題意得，令，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當時，取得極大值，也是最大值，所以，解得.（2）的定義域為.①即,則，故在單調(diào)遞增；②若,而,故,則當時，當、時，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.③若,即,同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述：當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)方程兩根之間的大小關(guān)系進行分類討論.13．(1)答案見解析；(2)和.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當時，在R上單調(diào)遞增，當時，的解為：，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；綜上可得：當時，在R上單調(diào)遞增，當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調(diào)性研究中對導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.14．（1）條件性選擇見解析，；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．【解析】【分析】（1）選①，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)是函數(shù)的一個極值點，得函數(shù)在處得到函數(shù)值為0，即可得出答案；選②，根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即函數(shù)在處得導(dǎo)數(shù)值為3，即可的解；（2）由（1）得，求出函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得符號即可得出答案.【詳解】解：（1）選①．由題意知，，依題意得，，即，經(jīng)檢驗符合題意．選②．由題意知，，因為函數(shù)的圖象在處的切線方程為，所以，得．（2）由（1）得，，令得，或，列表：-13-0+0-所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．15．（1）(－∞，－1)和；（2）.【解析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，解不等式，求出單增區(qū)間；（2）利用三次函數(shù)的特征，要使f(x)有三個零點，只需f(x)極大值×f(x)極小值<0，解不等式即可.【詳解】解：(1)，則f′(x)＝3x2＋2x－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和.（2）由（1）知，在取得極大值，在取得極小值函數(shù)f(x)有三個零點，解得實數(shù)的取值范圍.【點睛】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：已知函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果>0，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果<0，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（2）函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則有；函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則有；16．(1)證明見解析(2)答案見解析【解析】【分析】（1）對f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最小值，即可得證；（2）對f（x）求導(dǎo)，對a分類討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可解出.(1)若a＝1，則f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，，令f′（x）＝0，可得x＝1，當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）在x＝1處取得極小值，也是最小值，最小值為f（1）＝1，故f（x）≥1.(2)f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0，（x＞0），當a≤0時，f′（x）＜0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當a＞0時，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，得0＜x，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增.綜上，當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當a＞0時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增.17．（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為2；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用求出，代入導(dǎo)函數(shù)可得單調(diào)性和極值；（2）條件等價于對任意恒成立，設(shè)，可得在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問題即可求解.【詳解】（1）由條件得，∵在點處的切線與垂直，∴此切線的斜率為0，即，有，得，∴，由得，由得．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，取得極小值．故的單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為2（2）條件等價于對任意恒成立，設(shè)．則在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，得恒成立，∴（對僅在時成立），故的取值范圍是18．（1）答案見解析；（2），.【解析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求解；（2）當時，得到，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，若，由，可得；由，可得，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；若，由，可得；由，可得，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）當時，可得，則，由，即，解得或，當變化時，與的變化情況如下表：-0+0-遞減極小值遞增極大值遞減所以當時，函數(shù)取得極小值；當時，函數(shù)取得極大值.19．(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)對給定函數(shù)求導(dǎo)，并求出單調(diào)區(qū)間而得解；(2)對要證的不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，再求其最值即可得解.【詳解】(1)由題意可得f(x)的定義域為，，由，得，由，得，則f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即時，f(x)取得最小值，故(2)要證成立，即證，只需證，就證，設(shè)g(x)=xlnx-x+1，函數(shù)g(x)是a=1時的函數(shù)f(x)，則由(1)可得g(x)min=g(1)=0，設(shè)則，由，得0<x<2；由，得x>2，則h(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，+∞)上單調(diào)遞減，即x=2時，h(x)取得最大值，故h(x)max=h(2)=0，因為g(x)與h(x)的最值不同時取得，所以g(x)>h(x)，即，故當x>0時，不等式恒成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：函數(shù)不等式的證明，等價轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.20．（1），在定義域上為增函數(shù)；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由可得（也可由求得），為確定的正負，設(shè)，再求導(dǎo)，由的正負確定單調(diào)性，從而得正負，得的單調(diào)性；（2）先利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，然后引入函數(shù)，求出，對其中的部分函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，利用剛證的不等式可得，從而遞增，因此可得是增函數(shù)（），因此得出單調(diào)性及最小值，得，于是得，結(jié)合已知得，由的單調(diào)性得證結(jié)論．【詳解】解：（1），切線斜率，所以，此時，則，可得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因此恒成立，故在定義域上為增函數(shù)（2）先證不等式，設(shè)，則，可得在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當時，即成立，，令，則，設(shè)，則，利用不等式得，那么，所以是增函數(shù)，故是增函數(shù)，又因為，在時，，時，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，.所以，即，當時，取等號，所以，又由得，所以，又在定義域上為增函數(shù)，所以，即得證.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式成立．證明不等式的關(guān)鍵是引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，這樣明確，即求得的最小值為0即可．本題考查了學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，分析問題解決問題的能力，運算求解能力，本題屬于難題．21．(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）由題可求，利用二次函數(shù)的性質(zhì)通過分類討論可求；（2）由題可得函數(shù)的最小值為，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，可求函數(shù)的最大值為，即證.(1)∵，函數(shù)的定義域，∴，設(shè)，函數(shù)是開口向下的拋物線，又．①當時，，又，即，因此在上單調(diào)遞減．②當時，有兩個不等實根，設(shè)兩個根為，且．，可知，解得，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)要證明成立，即就是證明成立．當時，由上可知，函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此函數(shù)的最小值為．設(shè)．因此，當時，在區(qū)間上遞增，當時，在區(qū)間上遞減，所以的最大值為，因此對任意，總有，故．【點睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.22．（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當時，；當時；當時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)椋谑敲}轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.23．（1）；（2），在單調(diào)遞減；，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，進而得出切線方程；（2）分類討論，函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)研究討論導(dǎo)數(shù)的正負，進而得到單調(diào)性；（3）解法1：等價轉(zhuǎn)化為.先將不等式左邊看成以a為自變量的函數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進而得到.由（1）可知，當時，，得，然后利用放縮證得；解法2：（3）不等式等價于.由（1）可知，當時，，得，先利用，得到，從而為證原不等式，只需證構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進而得證.【詳解】（1），則，于是點處切線方程為：，即.（2）若，則定義域，，在單調(diào)遞減.若，則定義域為，.由得，由得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.解法1：（3）不等式等價于.設(shè)，.設(shè)，則，所以.而，所以，在單調(diào)遞減，所以.由（1）可知，當時，，得.所以.因此當時，.解法2：（3）不等式等價于.由（1）可知，當時，，得，從而.設(shè)，在單調(diào)遞增.因為，所以當時，，當時，.所以.因此.所以當時，.【點睛】利用，進行放縮是解決同時含有指數(shù)對數(shù)的不等式證明得常用方法，值得注意體會和掌握.24．(1)時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)；(3)證明見解析.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)將原問題進行等價轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍；(3)方法一：結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.【詳解】(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.綜上可得，時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，令，則，記，記，又，所以時，時，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實數(shù)的取值范圍是.(3)[方法一]【最優(yōu)解】：有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).由(2)可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時為正，從而題中的不等式得證.[方法二]：分析+放縮法有2個不同零點，不妨設(shè)，由得（其中）．且．要證，只需證，即證，只需證．又，所以，即．所以只需證．而，所以，又，所以只需證．所以，原命題得證．[方法三]：若且，則滿足且，由（Ⅱ）知有兩個零點且．又，故進一步有．由可得且，從而．．因為，所以，故只需證．又因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故只需證，即，注意時有，故不等式成立．【整體點評】本題第二、三問均涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題，其中第三問難度更大，涉及到三種不同的處理方法，方法一：直接分析零點，將要證明的不等式消元，代換為關(guān)于的函數(shù)，再利用零點反代法，換為關(guān)于的不等式，移項作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析范圍.方法二：通過分析放縮，找到使得結(jié)論成立的充分條件，方法比較冒險！方法三：利用兩次零點反代法，將不等式化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為與0比較大小，代入函數(shù)放縮得到結(jié)論.25．選①②③，答案均為：的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和．【解析】【分析】選①，根據(jù)在處取得極小值2，則有，從而可求得a，b，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；選②，根據(jù)在處取得極大值6，則有，從而可求得a，b，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；選③，根據(jù)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值，再根據(jù)的極大值為6，極小值為2,可求得a，b，即可得出答案.【詳解】解：選條件①．易知，由，得．所以，令，得或，令，得．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和．選條件②．易知，由，得．所以，令，得或，令，得．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和．選條件③．易知，由題意可知，令，得，則，隨的變化情況如表所示．+0-0+極大值極小值所以，解得．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和．26．(1)當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間是(2)（i）（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）先求定義域，求導(dǎo)，對進行分類討論，求對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）結(jié)合第一問中函數(shù)的單調(diào)性及極值，最值，找到不等式，解不等式，求出實數(shù)a的取值范圍；（ii）構(gòu)造差函數(shù)，證明極值點偏移問題.(1)定義域為，，①當時，有恒成立，是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，無遞減區(qū)間；②當時，由，解得，由，解得，故函數(shù)的增區(qū)間，減區(qū)間是．綜上：當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間是(2)（i）由（1）知：當時，在上單調(diào)遞增，函數(shù)不可能有兩個零點；當時，因為在上遞增，在上遞減，因為，故，設(shè)，，則，當時，，當時，，故在處取得極大值，也是最大值，，所以，故，即取，則因此，要使函數(shù)且兩個零點，只需，即，化簡，得，令，因為，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又，故不等式的解為，因此，使求實數(shù)a的取值范圍是：.（ii）因為，所以，，下面先證明，根據(jù)（1）的結(jié)果，不妨設(shè)，則只需證明，因為在時單調(diào)遞增，且，，于是只需證明，因為，所以即證，記，，，所以在單調(diào)遞增，則，即證得，原命題得證.【點睛】極值點偏移問題，可以通過構(gòu)造差函數(shù)進行解決，也可以變多元為多元求解，利用對數(shù)平均不等式也能解決，選擇哪種方案，需要結(jié)合函數(shù)特點進行選擇.27．（1）極大值為；極小值為；（2）答案見解析．【解析】【分析】（1）時，先求導(dǎo)以及的根，再列表判斷單調(diào)性，即求得極值；（2）先寫定義域，求導(dǎo)以及的根，再討論根是否在定義域內(nèi)和兩個根的大小關(guān)系，確定導(dǎo)數(shù)的正負情況，即得函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】解：（1）當時，，定義域為，．令，解得，或．當變化時，，的變化情況如下表：＋－＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增當時，有極大值，且極大值為；當時，有極小值，且極小值為．（2）函數(shù)定義域為，．令得或．①若，則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．②若，即，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.③若，即，則當時，，單調(diào)遞增，④若，即，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是．28．（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間，；（Ⅱ）有且只有一個零點.【解析】【分析】（Ⅰ）求得導(dǎo)函數(shù)，進而求得導(dǎo)函數(shù)的零點，得到導(dǎo)函數(shù)的正負區(qū)間，從而得到原函數(shù)的增減區(qū)間；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合零點存在定理得到零點個數(shù).【詳解】（Ⅰ）當時，，所以.令，解得，和，當或，，所以，是單調(diào)增區(qū)間；當，，所以是單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ），，∵，成立，∴令,解得，∵，，∴函數(shù)在上上的單調(diào)性是：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.易知.當時，∴當時，只要,即且時，即時必有，∴當時，函數(shù)在上只有一個零點.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點問題，屬基礎(chǔ)題，其中利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵；利用放縮法判定當足夠大時函數(shù)值大于零，是利用零點存在定理證明有一個零點的必要步驟.29．（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，對m討論，得到單調(diào)性；（2）當時，先求出，由題意，原不等式等價于，，利用導(dǎo)數(shù)求出，進而求出m的范圍.【詳解】（1），所以當時，有恒成立，在單調(diào)遞增，當時，由解得：，在上單調(diào)遞增；由解得：，在上單調(diào)遞減；（2）當時，，根據(jù)題意，不等式等價于，，對于，，，所以在上單增，所以，則有，設(shè)，則，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，又，所以，即的取值范圍是.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)恒（能）成立問題求參數(shù)的范圍：①參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值問題；②不能參變分離，直接對參數(shù)討論，研究的單調(diào)性及最值；③特別地，個別情況下恒成立，可轉(zhuǎn)換為（二者在同一處取得最值）.30．（1），單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)得，討論、、判斷在上的符號，即可得的單調(diào)性；（2）由題設(shè)可得，易知且，要使在上有三個零點，即在上有兩個不相等的實根，討論參數(shù)a，當時構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，進而求的取值范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，，而上，∴當時，上恒成立，單調(diào)遞增；當時，上，單調(diào)遞減；上，單調(diào)遞增；當時，上恒成立，單調(diào)遞減；（2）由題意，，又，∴，得，∴，而，∴要使在上有三個零點，即上只有一個零點即可，故在上有兩個極值點，∵，則在上有兩個不相等的實根，而，∴由（1）知：當時，遞增，不合題意；當時，遞減，不合題意；當時，在遞減，遞增；而，令且，則，∴當時，有遞減；當時，有遞增；∴，即，∴只需，即，此時在上有三個零點.∴的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，將問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個不相等的實根，討論參數(shù)，并構(gòu)造中間函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究最值的符號、單調(diào)性，進而求出參數(shù)范圍.31．(1)(2)答案見解析【解析】【分析】（1）求出、，由直線的點斜式方程可得答案；（2）求出，分、、、討論的正