新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 橢圓的焦點三角形（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．C【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可【詳解】由題意橢圓的長軸為，由橢圓定義知∴故選：C2．C【分析】利用橢圓定義得到，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，進而可得，即得．【詳解】∵，為橢圓的兩個焦點，∴，，的周長為，即，若最小，則最大．又當軸時，最小，此時，故，解得．故選：C.3．D【分析】設為橢圓的左焦點，則由橢圓的定義可得：，當共線時，△ABF周長取得最大值，從而可得出答案.【詳解】解：設為橢圓的左焦點，則由橢圓的定義可得：，當共線時，，當不共線時，，所以△ABF周長的最大值為20.故選：D.4．A【分析】設，與橢圓方程聯(lián)立可得，由可求得，可知為橢圓右焦點，由焦點三角形周長可構造方程求得的值，進而得到，由此可得到所求三角形面積.【詳解】設，；由得：，，，解得：，，，即為橢圓的右焦點，的周長為，即，，解得：，，，.故選：A.5．A【分析】記，，根據(jù)雙曲線定義結合余弦定理可得，再利用三角形面積公式可推得，即可求得答案.【詳解】記，，，∵，∴，在中，由余弦定理得，配方得，即，∴，由任意三角形的面積公式得，∴，而，，，故選：A.6．A【分析】由于為定值，所以當點到的距離最大時，面積取得最大值，即當與短軸的一個端點重合時，面積的最大【詳解】由，得，所以，由橢圓的性質(zhì)可知當與短軸的一個端點重合時，面積的最大，所以面積的最大值為，故選：A7．D【分析】根據(jù)圖形在中，利用余弦定理解出，再由橢圓的定義式，整理出關于的式子，最后代入已知三角函數(shù)值中，得到關于得二次式，從而可求橢圓離心率.【詳解】解：如圖在中，，即①，即②且，故①+②得：，即.所以，代入到中，整理得：，故兩邊除以得：解得：或，又，所以.即橢圓C的離心率為.故選：D.8．A【分析】根據(jù)橢圓性質(zhì)要使題設條件成立只需在橢圓左右頂點時，此時應用余弦定理可得，進而求n的范圍.【詳解】由橢圓的性質(zhì)知：當在橢圓左右頂點時最大，∴橢圓上存在一點使，只需在橢圓左右頂點時，此時，，即，又，∴，解得，又，∴.故選：A.9．C【分析】由正弦定理的邊角關系及橢圓的定義、性質(zhì)，即可求目標式的值.【詳解】由題設知：是橢圓的兩個焦點，又B在橢圓上，所以，而，，故.故選：C10．B【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到，，進而利用得出，進而可求出【詳解】解：由橢圓的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因為，，所以，所以，故選：B11．D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和橢圓的定義可得是的中位線，，可得Q點的軌跡是以O為圓心，以5為半徑的圓，由此可得選項.【詳解】是焦點為、的橢圓上一點，的外角平分線，，設的延長線交的延長線于點，，，，由題意知是的中位線，，點的軌跡是以為圓心，以5為半徑的圓，當點與軸重合時，與短軸端點取最近距離，故選：D．12．B【分析】利用余弦定理結合橢圓的定義可求得、，即可得出結論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數(shù)為.故選：B.13．B【分析】根據(jù)橢圓中焦點三角形的周長，，以及的關系即可解出，從而解出離心率．【詳解】設橢圓的焦距為，因為的周長為54，所以，即.因為橢圓的短軸長為18，所以，因為，所以，所以.故橢圓的離心率為故選：B．14．C【解析】設P（x，y），根據(jù)橢圓方程求得兩焦點坐標，根據(jù)∠F1PF2是鈍角推斷出PF12+PF22＜F1F22代入P坐標求得x和y的不等式關系，求得x的范圍．【詳解】解：設P（x，y），由橢圓方程得橢圓焦點坐標為為F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），且∠F1PF2是鈍角??（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20?x2+5+y2＜10?x2+4（1﹣）＜5?x2＜．所以．故選：C．【點睛】結論點睛：本題考查橢圓的標準方程的應用，中，為銳角，為直角，為鈍角．15．C【分析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點三角形及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB的距離，又三角形的內(nèi)切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.16．A【分析】由的面積的最大值時，點P在短軸的頂點處，求得，有，繼而有，則有，由此可得選項.【詳解】解：因為的面積的最大值時，點P在短軸的頂點處，所以，即，又，所以，所以，則，所以，所以此橢圓上使得為直角的點有個，故選：A.17．C【分析】利用題設條件給出的幾何圖形特征知，點M到直線PF1、PF2的距離都等于點M到x軸的距離，由此計算三角形面積得解.【詳解】解：因為平分角，是角的外角平分線，所以到的距離等于到軸的距離1，到的距離等于到軸的距離1，如圖，橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，作一圓與線段F1P，F(xiàn)1F2的延長線都相切，并且與線段PF2也相切，切點分別為D，A，B，，，所以(c為橢圓半焦距)，從而點A為橢圓長軸端點，即圓心M的軌跡是直線x=a(除點A外)，因點M(2,1)在的平分線上，且橢圓右端點A(2,0)，所以點M是上述圓心軌跡上的點，即點M到直線F1P，PF2，F(xiàn)1F2的距離都相等，且均為1，與的面積之和為.故選：C18．D【分析】利用橢圓的定義即可求解.【詳解】設的內(nèi)切圓的半徑為，由，則，，所以，，由，即，即，若的內(nèi)切圓的半徑最大，即最大，又，所以.故選：D19．B【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可知，，設，由以及橢圓定義可得，，在中再根據(jù)余弦定理即可得到，從而可求出橢圓的離心率．【詳解】由橢圓的對稱性，得.設，則.由橢圓的定義，知，即，解得，故，.在中，由余弦定理，得，即，則，故.故選：B.20．D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，可判斷四邊形是正方形，由橢圓和圓的對稱性為橢圓的下頂點，則圓的半徑就是過焦點的弦的長度，設，在直角三角形中利用勾股定理求得可得.【詳解】如圖，設圓心為，切點分別為，圓在處的切線分別為，其中為兩條切線的交點，則根據(jù)題意可得，則四邊形是正方形，由橢圓和圓的對稱性可得直線的斜率分別為，因此為橢圓的下頂點，于是圓的半徑就是過焦點的弦的長度，連接，設，則，在直角三角形中，有，即，解得，因此所求半徑的長為.故選：D.【點睛】關鍵點睛：解決本題得關鍵是判斷出為橢圓下頂點，將求半徑轉化為求弦長度.21．B【分析】分別利用橢圓和雙曲線的定義，可求得，的表達式，根據(jù)有相同的焦點，可得c相等，可得m，n的關系，整理可得，即可得答案.【詳解】根據(jù)橢圓與雙曲線的焦點都在軸上，不妨設在第一象限，是左焦點，是右焦點，則由橢圓與雙曲線的定義有：，可得，，即，因為兩者有公共焦點，設半焦距為，則，，所以，所以，所以，即，是直角三角形．故選：B.22．A【解析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和橢圓的定義可得是的中位線，，可得Q點的軌跡是以O為圓心，以5為半徑的圓，由此可得選項.【詳解】因為P是焦點為，的橢圓上的一點，為的外角平分線，，設的延長線交的延長線于點M，所以，，所以由題意得是的中位線，所以，所以Q點的軌跡是以O為圓心，以5為半徑的圓，所以當點Q與y軸重合時，Q與短軸端點取最近距離故選：A.23．A【分析】由題中所給結論得，由的周長為16結合橢圓定義得，進而可得結果.【詳解】依題意得，則，由的周長為16結合橢圓定義可得，所以，，又橢圓焦點在軸上，故橢圓方程為.故選：A.24．C【解析】利用橢圓的定義可得當三點共線時，最大且此時，計算出焦點三角形的面積后可求點到軸的距離.【詳解】連接，則，所以，當且僅當三點共線時等號成立.如下圖，當三點共線時，有，故當三點共線時，有.因為且，故，所以，解得，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：利用對稱性和橢圓的定義得到線段長最大時焦點三角形滿足的性質(zhì)，再結合解三角形的方法得到所求的距離.25．B【分析】根據(jù)橢圓方程可得，再結合三角形周長，得，進而可得離心率.【詳解】因為，所以.因為的周長為，所以，所以，所以橢圓的離心率為，故選：B.26．C【分析】因為，所以設，根據(jù)比例關系和橢圓的定義分別求出，的長，由勾股定理可知，在中，求的值即為直線的斜率，計算正切值即可求出結果.【詳解】解：因為，所以設，則有，根據(jù)橢圓定義：，可知：，，因為，所以，即，解得：所以，，在中，即為直線的斜率，又，所以直線的斜率為2.故選：C.27．B【分析】利用焦點三角形的面積公式及橢圓的定義可得，進一步得F1PQ為等邊三角形，且軸，從而可得解.【詳解】由橢圓的定義，，由余弦定理有：，化簡整理得：，又，由以上兩式可得：由，得，∴，又，所以F1PQ為等邊三角形，由橢圓對稱性可知軸，所以.故選：B.28．B【分析】由橢圓定義得，由余弦定理可得，再由三角形面積公式得和的關系，從而求得，然后可得離心率．【詳解】解：設，，則，由余弦定理得，即，所以，因為，所以，整理得，即，整理得，所以，，，故選：B.29．A【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和橢圓定義列方程組可解.【詳解】因為，所以，又記，則，②2-①整理得：，所以故選：A30．D【分析】由已知三角形面積得，結合等邊及求得得橢圓方程．【詳解】由題意可得，且，，解得，，，所以橢圓的方程為，故選：D．31．D【分析】根據(jù)過F2且垂直于長軸的直線交橢圓于A，B兩點，求得通徑|AB|＝3，再求得,然后再由求解.【詳解】不妨設A點在B點上方，由題意知：F2(1，0)，將F2的橫坐標代入橢圓＋＝1中，可得A點縱坐標為，所以|AB|＝3，所以又(其中S為△ABF1的面積，C為△ABF1的周長).所以，故選：D【點睛】本題主要考查題意的通徑，焦點三角形的周長和面積以及三角形的內(nèi)切圓問題，屬于基礎題.32．C【分析】設，.根據(jù)圓錐曲線定義與勾股定理可得，從而可得，結合，可得結果.【詳解】設，.在橢圓中，，所以.在雙曲線中，，所以，所以，即，得，即.因為，所以，解得.故選：C33．B【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義以及焦點三角形中用余弦定理、離心率公式即可求解.【詳解】不妨設P為第一象限的點，在橢圓中：①,在雙曲線中:

②,聯(lián)立①②解得,,在中由余弦定理得：即即橢圓的離心率，雙曲線的離心率，故選：B【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查三角形的三邊關系，考查運算能力，屬于中檔題．34．D【解析】根據(jù)橢圓方程，解得，然后由橢圓的定義求解.【詳解】因為橢圓方程為，所以，由橢圓的定義得：，所以，所以的周長是8故選：D35．A【分析】由題設易知為橢圓的兩個焦點，結合橢圓定義及焦點三角形性質(zhì)有，，最后應用正弦定理的邊角關系即可求目標式的值.【詳解】由題設知：為橢圓的兩個焦點，而B在橢圓上，所以，，由正弦定理邊角關系知：.故選：A36．C【分析】根據(jù)橢圓的定義及簡單性質(zhì)，轉化求解即可得出答案．【詳解】解：由橢圓：，得：，當點在橢圓上時，周長最大，為，當點在軸上時，去最小值，為，又因點為橢圓內(nèi)部的動點，所以周長的取值范圍為.故選：C.37．BCD【分析】A．根據(jù)橢圓定義分析的周長并判斷；B．根據(jù)橢圓定義以及已知條件先求解出的值，結合三角形的面積公式求解出并判斷；C．根據(jù)三角形等面積法求解出點到軸的距離并判斷；D．根據(jù)向量數(shù)量積運算以及的值求解出結果并判斷.【詳解】A．因為，所以，故錯誤；B．因為，，所以，所以，所以，故正確；C．設點到軸的距離為，所以，所以，故正確；D．因為，故正確；故選：BCD.38．BD【分析】連接，分析得出，記，，利用三角形的面積公式以及橢圓的定義可得出關于、，解出的值，即為所求.【詳解】連接，因為，則，，因為，，記，，則，由橢圓的定義可得，所以，，解得或，所以或故選：BD.39．ACD【分析】用橢圓的焦點三角形和內(nèi)接矩形等知識分別對四個選項判斷即可.【詳解】對于橢圓，設，，，則，由此可得…①，所以的面積.對于選項A：若，則，故A正確；對于選項B：由①知（當且僅當即點是短軸端點時取等號），所以，因此不可能是，故B錯誤；對于選項C：由以上分析可知，不可能是鈍角，由對稱性不妨設是鈍角.先考慮臨界情況，當時，易得，此時，結合圖形可知，當是鈍角時，故C正確；對于選項D：令，，則橢圓內(nèi)接矩形的周長為，其中銳角滿足，.由得，所以，周長的范圍是，即，故D正確.故選：ACD.【點睛】結論點睛：對于橢圓，，則△的面積.40．AD【分析】根據(jù)橢圓方程求得，根據(jù)橢圓的性質(zhì)及點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，可得，所以焦點為,根據(jù)橢圓的定義，所以A正確；橢圓的離心率為，所以B錯誤；其中面積的最大值為，所以C錯誤；由原點到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D正確.故選：AD41．ABC【分析】對于A，利用焦點三角形的面積公式可求解，對于B，利用三角形的面積公式求出三角形的高與比較即可判斷，對于C，三角形是鈍角三角形，求出三角形是直角三角形的面積，進而可求出范圍，對于D，利用橢圓的參數(shù)方程以及三角函數(shù)的性質(zhì)求出即可【詳解】由橢圓可得，則，對于A，設，，則，由此可得，所以的面積為所以，所以A正確，對于B，因為，則，所以由橢圓的對稱性可知滿足題意的點有個，所以B正確，對于C，因為是鈍角三角形，所以中有一個角大于，當時，設，則，因為，所以解得，所以，所以是鈍角三角形時，有，所以C正確，對于D，令，，則橢圓內(nèi)接矩形的周長為（其中且滿足），由得，所以橢圓內(nèi)接矩形的周長的范圍為，即，所以D錯誤，故選：ABC42．CD【分析】由橢圓方程可確定，根據(jù)離心率，焦點三角形周長為可確定AB錯誤；當為橢圓短軸端點時最大，由此可確定，知C正確；根據(jù)可知D正確.【詳解】對于A，由橢圓方程知：，，離心率，A錯誤；對于B，由橢圓定義知：，，的周長為，B錯誤；對于C，當為橢圓短軸端點時，，，，即，，C正確；對于D，，，，D正確.故選：CD.43．【分析】先證明則四邊形OMPN是平行四邊形，進而根據(jù)橢圓定義求出a，再求出c，最后求出答案.【詳解】因為M,O,N分別為的中點，所以，則四邊形OMPN是平行四邊形，所以，由四邊形OMPN的周長為4可知，，即，則，于是的周長是.故答案為：.44．【分析】由題意畫出圖形，設，由余弦定理求得，再由橢圓定義求解與的關系，在中，再由余弦定理列式求得橢圓的離心率.【詳解】如圖,設又,由橢圓定義知,,可得：即，在中,由余弦定理可得,，即.即,解得:.故答案為:45．【分析】利用橢圓的定義可得，進而可得，即得.【詳解】∵，，，∴，又，∴，，∴，∴，∴橢圓C的方程為.故答案為：.46．【分析】畫出圖形，由條件可得出，，然后可得出為橢圓的右焦點，然后由橢圓的定義可得，從而可算出的值，然后利用算出答案即可.【詳解】如圖所示，由題意得，，，直線的方程為，把代入橢圓方程解得，∴，∵在直線上，∴，解得.又，∴，解得，令0，則，即，∴為橢圓的右焦點，∴，由橢圓的定義可知，，∵的周長為6，∴，∵，∴，∴，∴.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓的定義與性質(zhì)，熟練掌握橢圓中的基本關系式是解題的關鍵，考查學生的分析能力和運算能力，屬于中檔題.47．【分析】由題可判斷點在以，為焦點的橢圓上，則當點在橢圓短軸端點時，面積最大，進而求解即可.【詳解】由題，因為，所以點在以，為焦點的橢圓上，所以，，則，所以面積的最大值為，故答案為：48．2【分析】由三角形面積公式、向量數(shù)量積的坐標表示及P在橢圓上列方程可得、，即可求參數(shù)b.【詳解】由題設，，且，可得，又，則，綜上，，又，則.故答案為：249．（1）；（2）或【解析】（1）由橢圓的定義可知，焦點三角形的周長為，從而求出.寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)交點橫坐標為，求出和，從而寫出橢圓的方程；（2）設出P、Q兩點坐標，由可知點為的重心，根據(jù)重心坐標公式可將點用P、Q兩點坐標來表示.由點在圓O上，知點M的坐標滿足圓O的方程，得式.為直線l與橢圓的兩個交點，用韋達定理表示，將其代入方程，再利用求得的范圍，最終求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知.，直線的方程為∵直線與橢圓的另一個交點的橫坐標為解得或(舍去)，∴橢圓的方程為（2）設.∴點為的重心，∵點在圓上，由得，代入方程，得，即由得解得.或【點睛】本題考查了橢圓的焦點三角形的周長，標準方程的求解，直線與橢圓的位置關系，其中重心坐標公式、韋達定理的應用是關鍵.考查了學生的運算能力，屬于較難的題.50．（1）20；（2）不變，理由見解析【分析】根據(jù)