《圓錐曲線的方程》教材分析與教學(xué)建議新教材人教A版

人教A版選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線的方程》教材分析與教學(xué)建議2021年9月24日一、本章教材在整冊教材及高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用《圓錐曲線的方程》是在學(xué)習(xí)《直線和圓的方程》的基礎(chǔ)上，進一步運用坐標(biāo)法研究幾何問題，通過行星運行軌道，拋物運動軌跡等，讓學(xué)生了解圓錐曲線的背景與應(yīng)用，在平面直角坐標(biāo)系中，建立它們的標(biāo)準(zhǔn)方程認(rèn)識橢圓、雙曲線、拋物線的幾何特征，運用平面解析幾何的方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。二、本章教材與原教材相應(yīng)內(nèi)容的主要區(qū)別和聯(lián)系1.新教材《曲線與方程》不再作為獨立單元呈現(xiàn)在舊教材的課本中：2-1課本35頁例題2求解線段垂直平分線后，給出了求解原曲線方程的步驟：（第36頁）新教材選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線的方程》對應(yīng)舊教材中《圓錐曲線與方程》，舊教材選修2-1中把《曲線與方程》作為一個獨立的單元來處理，選修教材1-1和新教材都是是將這部分內(nèi)容滲透到圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，并在章末小結(jié)中（課本143頁）給出了曲線的方程與方程的曲線的定義；通過例題和習(xí)題把求曲線方程的常用方法一一作了介紹,除了建立三種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；由定義或待定系數(shù)法確定圓錐曲線的方程外，在例題、習(xí)題中都設(shè)置了21個求軌跡方程的問題：橢圓有8個：課本108頁例2,例3；109頁練習(xí)4；113頁例6；115頁習(xí)題3。1中6，8,9,10。雙曲線中共設(shè)置了7個求軌跡方程的題：121頁的探究；5頁例5；126頁的練習(xí)1；127頁習(xí)題3。2中5,10,11,14。拋物線中共設(shè)置了4個：137頁例6；138頁練習(xí)第5題；習(xí)題3.3中的第9、11題。再加上145頁的復(fù)習(xí)參考題中的第9,11題。2.課本例題、習(xí)題有所調(diào)整橢圓的例題(7個)，練習(xí)題(共11個)（原來分兩個練習(xí)，現(xiàn)在是三個練習(xí)），習(xí)題(14個)，總體個數(shù)沒變，具體題目內(nèi)容和順數(shù)有所調(diào)整；新教材中的例7是與舊教材中的例7相關(guān)的一個變式，而舊教材中的例7放到了新教材課后習(xí)題13題的位置上；課后習(xí)題第2題刪除了一個與例1同類型的一個小題，保留了原來的兩個小題，刪除了舊教材的習(xí)題第3題（給出方程畫橢圓）；新教材習(xí)題14題是原來的A組中的第8題。雙曲線：例題6個沒變，課本121頁練習(xí)新增第4題；課本124頁和127頁練習(xí)由原來的5個增加到7個，刪除了一個，新增了3個：習(xí)題3.2的習(xí)題數(shù)量由原來的10個增加到14個：新增第7，11,12,14題。拋物線：6個例題，其中例2改了一個數(shù)據(jù)（深度由原來的2m改為1m），例6由原來的直線與拋物線的位置關(guān)系換成了求軌跡方程（課本137頁）：練習(xí)由原來的7個增加到11個；136頁練習(xí)1中4個小題的體干表述有所改變，課本138頁5個練習(xí)均為新增。注意用好教科書中的例題、習(xí)題從當(dāng)前教學(xué)實際看，各種教輔資料中充斥著大量解析幾何題，諸如單動點軌跡問題、雙動點軌跡問題、多動點軌跡問題，圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍問題、最值問題、定值問題、對稱問題、存在性問題……·些題目的解答往往需要一些特定技巧，需要學(xué)生投入大量時間和精力，但對理解圓錐曲線的定義與性質(zhì)卻起不了多大作用。這種現(xiàn)狀需要改變。教科書中的例題與習(xí)題，其選編的原則是幫助學(xué)生深入理解圓錐曲線的幾何特征，熟練運用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系，并能解決有一定綜合性的問題，通過解題感悟解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想。具體的題目主要是研究圓錐曲線的性質(zhì)。教學(xué)中應(yīng)注意這些題目的教學(xué)功能，使學(xué)生認(rèn)識到認(rèn)真解答這些題目的重要性，必要時可以對有關(guān)題目進行適當(dāng)?shù)淖兪酵卣埂?.圓錐曲線定義的引入方面橢圓定義的引入沒改變，通過探究實驗畫橢圓，讓學(xué)生觀察橢圓的幾何特征，抽象概括出橢圓的定義；雙曲線的定義的引入不再利用拉鏈畫圖探究，而是借助信息技術(shù)軟件《GeoGebra》進行探究，（見課本118頁）：拋物線定義的引入不是從二次函數(shù)的圖像引入而是利用橢圓、雙曲線的統(tǒng)一定義，借助信息技術(shù)展示作圖過程讓學(xué)生抽象概括出定義，見課本130頁引言：折紙實驗在圓Ｏ內(nèi)任取一點Ｆ（與點Ｏ不重合）．在圓周上任取一點Ｎ，將其與圓心Ｏ相連，得半徑ＯＮ．折疊圓形紙片，使點Ｎ與點Ｆ重合，將折痕與半徑ＯＮ的交點記作Ｍ．重復(fù)以上過程，得到下圖：折紙實驗讓學(xué)生活動起來了，不僅由此能抽象出橢圓的定義，還能發(fā)現(xiàn)折痕是橢圓的切線，進一步還可以研究橢圓的光學(xué)性質(zhì)．后續(xù)還可以折紙生成雙曲線、拋物線．但是學(xué)生可能會質(zhì)疑怎么想到要這樣折紙的，同時折紙實驗得到橢圓定義的過程對學(xué)生轉(zhuǎn)化和抽象的能力要求較高，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)軌跡上點的共同特征時會遇到較大困難．本章教材的編寫特點圓錐曲線是傳統(tǒng)內(nèi)容，對它的改革思路，總體上看是"削支強干"，以"精簡"為基調(diào)，并注重用向量方法進行拓展。因此人教A版在編寫本單元教材時，注意吸收以往教科書的優(yōu)點。強調(diào)在繼承的基礎(chǔ)上進行創(chuàng)新。具體的，在內(nèi)容的選擇上，圍繞圓錐曲線的核心概念、以橢圓、雙曲線、拋物線的主要性質(zhì)及其應(yīng)用為重點，做到削支強干;在結(jié)構(gòu)體系上，強調(diào)知識發(fā)生發(fā)展的邏輯合理性，加強背景和應(yīng)用，從而使學(xué)生在三種曲線的學(xué)習(xí)中經(jīng)歷完整的研究過程;注重按照學(xué)生學(xué)習(xí)心理組織教科書內(nèi)容，加強數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)和解題方法的分析，循序漸進地逐步提高論理要求;注重坐標(biāo)法思想內(nèi)涵的理解和應(yīng)用，減少機械套用、死記硬背;注重與平面幾何、函數(shù)等相關(guān)主線的聯(lián)系與綜合。強調(diào)代數(shù)運算與邏輯推理的融合，體現(xiàn)解析幾何的學(xué)科特征;注重利用數(shù)學(xué)史料，滲透數(shù)學(xué)文化等。本章教材的教學(xué)建議課時分配：教參給出本章教學(xué)約需13課時，建議增加3課時橢圓5課時雙曲線3課時拋物線3課時直線與圓錐曲線（重點是直線與橢圓）2課時文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作，解析幾何的形成與發(fā)展1課時復(fù)習(xí)與小結(jié)2課時如前所述，解析幾何的發(fā)明既是為了解決人類實踐活動中提出的問題，又是為了探尋科學(xué)研究的普適性方法，教材以歷史資料為素材，以用坐標(biāo)法研究幾何圖形的過程與方法為導(dǎo)向，從宏觀上提出系列問題，引導(dǎo)學(xué)生感受學(xué)標(biāo)法。這樣的處理對學(xué)生把握解析幾何的基本思想和學(xué)習(xí)方向很有好處，這是教師在分析和理解教材編寫意圖時需要關(guān)注的一個問題。五、貫徹實施“單元整體教學(xué)”單元的學(xué)習(xí)任務(wù)一般都有一個明確的主線，這個主線可以是外顯的知識技能，也可以是內(nèi)蘊于知識學(xué)習(xí)過程中的思想方法或?qū)W科素養(yǎng)。因此，一般又可根據(jù)學(xué)習(xí)主線的類型將學(xué)習(xí)單元分為兩類∶以知識技能為主題的學(xué)習(xí)單元和以思想方法或?qū)W科素養(yǎng)為主題的學(xué)習(xí)單元?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年）》指出∶通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱"四基"）。知識技能不等于數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但卻是發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效載體，現(xiàn)階段教科書基本是以外顯的知識為明線組織的，因此，教科書中自然的章節(jié)就是天然的單元。圓錐曲線部分包含橢圓、雙曲線、拋物線，從知識技能角度看，三者的知識結(jié)構(gòu)相近，知識間存在內(nèi)在的必然聯(lián)系，具有統(tǒng)一性。現(xiàn)行人教版教科書采用了"總——分——總"的方式，把三者整合在一起。教材先通過阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》總體建構(gòu)橢圓、雙曲線、拋物線的概念，引出大單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容。然后分三個小單元進行學(xué)習(xí)，每個單元的研究結(jié)構(gòu)是一致的，均從標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)兩個方面展開研究，最后在知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上;進行單元總結(jié)回顧，形成圓錐曲線學(xué)習(xí)與研究的大框架。教科書中對本章的整體設(shè)計如下∶顯然，教師只要按照教科書設(shè)計的上述過程進行教學(xué)設(shè)計并展開教學(xué)，就可以引導(dǎo)學(xué)生展開結(jié)構(gòu)化的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，建立清晰、穩(wěn)定和可利用的"橢圓與方程"的認(rèn)知結(jié)構(gòu)雙曲線、拋物線兩節(jié)內(nèi)容與橢圓同構(gòu)，所以設(shè)計思路完全一致。如果橢圓的基礎(chǔ)扎實，那么就可以讓學(xué)生通過類比橢圓的研究過程展開雙曲線和拋物線的自主學(xué)習(xí)，只要在雙曲線的漸近線，拋物線的背景與定義等幾個點上適當(dāng)啟發(fā)即可。從單元到課時，既需要站在高觀點、思想性、結(jié)構(gòu)化的視角對教學(xué)內(nèi)容進行整體設(shè)計，又需要用思想方法來引領(lǐng)課時實施，只有這樣，我們的課堂才能"既見森林又見樹木"，才能讓核心素養(yǎng)落地生根。本章夯實“四基”，提升“四能”，培養(yǎng)“六大核心素養(yǎng)”的措施、辦法等。在每一種圓錐曲線的研究中，教材從節(jié)引言開始，通過"觀察""恩考""探究"等欄目，根據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展需要提出層層遞進的問題，從而形成環(huán)環(huán)相扣的系列化數(shù)學(xué)活動。這些問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容時普遍都會遇到的，教材通過它們來引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，為學(xué)生獨立思考、自主探究構(gòu)建平臺。例如，在"橢圓"一節(jié)中，教材按知識的發(fā)展過程順次提出了如下問題∶教材以上述系列化情境與問題為載體，構(gòu)建了分析背景----探索幾何特征----選擇坐標(biāo)系、建立標(biāo)準(zhǔn)方程----探索不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程---通過方程研究幾可性質(zhì)"的系列化數(shù)學(xué)活動。具體地，在"橢圓"一節(jié)中，如前所述，教科書用前后連貫、循序漸進的十多個問題組成"問題串"，將內(nèi)容連成一體，引導(dǎo)學(xué)生有邏輯地展開學(xué)習(xí)與探究。這些問題既有針對整體思路的，也有針對具體內(nèi)容的;既有針對思想方法、研究策略的，也有操作性的、針對特例或細(xì)節(jié)的。它們是以橢圓知識的內(nèi)在邏輯為依據(jù)而設(shè)置的自然而然的學(xué)習(xí)主線，解決了這些問題就可以形成思想內(nèi)涵豐富的"橢圓與方程"知識體系。在"問題串"的引導(dǎo)下，學(xué)生可以完整地經(jīng)歷如下過程∶通過具體情境（如行星運行軌道），了解橢圓的背景與應(yīng)用;結(jié)合情境、通過動手操作清晰地描述圖形的幾何特征與問題，即橢圓是到兩個定點的距離之和為定長的動點的軌跡;結(jié)合幾何特征合理地建立坐標(biāo)系，用代數(shù)語言描述這些特征與問題;借助幾何圖形的特點，形成研究橢圓性質(zhì)的思路，利用方程，并通過直觀想象和代數(shù)運算得到結(jié)果；給出代數(shù)結(jié)果的幾何解釋，解決問題。在橢圓的給出方面我們也可以采用：由圓到橢圓我們在實施教學(xué)時，先將直立的圓柱形玻璃水杯傾斜，讓學(xué)生觀察水面的邊界的變化;接著，借用"橢"字的釋義（"長圓形"），觸發(fā)學(xué)生思考。我們研究橢圓的定義（未知）不太容易，能否"以退為進"，由圓的發(fā)生定義（已知）怎樣改變條件得到橢圓?進一步，教師提問∶用一條繩子（無彈性）能畫出圓嗎?怎么畫?為什么?接著，讓學(xué)生2人—組嘗試畫出其他的圖形。開放的情境，引發(fā)了學(xué)生思維的發(fā)散，預(yù)設(shè)的結(jié)果已基本實現(xiàn)。有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，將繩子兩端不重合時，固定兩端，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形呈現(xiàn)了我們印象中的"橢圓"的形狀;還有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然繩長一樣，但畫出的橢圓有的圓一些，有的扁一些。有的學(xué)生還發(fā)現(xiàn)有時畫不出軌跡來;有時軌跡會是一條線段。設(shè)計從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，通過畫圖活動，"逼"學(xué)生改變條件畫出更多的圖形，從而發(fā)現(xiàn)橢圓的生成。然后學(xué)生回顧畫圖活動，讓原來有思路的學(xué)生更有邏輯，原來無意畫出橢圓或沒想法也沒畫出橢圓的學(xué)生有了思考問題的入口點，最后，學(xué)生用語言描述畫出的橢圓，逐步過渡到橢圓定義，整個活動的設(shè)計，關(guān)注到學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，人教Ａ版、北師大版和湖南教育版教材都采用了“移項平方”的方法，在等式兩邊構(gòu)造出大量相同項，消去后起到化簡的效果;人教B版教材通過構(gòu)造共軛無理數(shù)對去根號，這個方法很多學(xué)生不容易想到，但這樣做只需經(jīng)歷一次平方，所以在驗證曲線方程定義時要容易一些，其中，北師大版教材給出了對"以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上"的嚴(yán)格證明過程供學(xué)生參考，人教A版只說明了"以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上"是成立的，但未證明。在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)的實際教學(xué)中，由于推導(dǎo)過程較長、運算量較大，很多教師常常采用直接講授，或者告知結(jié)論，將推導(dǎo)過程留為作業(yè)的方式。這樣設(shè)計看似節(jié)省了課上時間，可以完成更多的練習(xí)，卻失去了提升學(xué)生思維水平和運算能力的契機。處理方法：直接平方，移項平方，構(gòu)造共軛無理數(shù)與聯(lián)系等差數(shù)列等方式處理。另外：在本節(jié)課中，我們鼓勵學(xué)生在認(rèn)真分析方程特點的基礎(chǔ)上，自己推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，因為有了前面猜想橢圓方程的鋪墊，學(xué)生已經(jīng)能把握化簡整理的方向∶需要通過平方去掉方程中的根號。那么怎樣減少運算量?引導(dǎo)學(xué)生"三思而后行"，多想常常就能少算，但少算不代表不算。最后要讓學(xué)生自己完成方程的推導(dǎo)。解析幾何的教學(xué)一定要注重綜合性，以單元整體教學(xué)幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的整體性，這是由解析幾何的內(nèi)容特征所決定的。以上的教學(xué)思路，先是把握圓錐曲線的基本要素、不變量，再從"相互關(guān)系""相互轉(zhuǎn)化"等角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、獲得性質(zhì)，然后通過邏輯推理證明其正確性。在發(fā)現(xiàn)曲線性質(zhì)的過程中，運算、距離、角度、斜率、不變量等核心概念提供了基本思路和方法。這樣的教學(xué)比較準(zhǔn)確地體現(xiàn)了圓錐曲線的整體性，以數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法為核心，圍繞"以圓錐曲