北師大版小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)奧數(shù)講座第十三課（簡(jiǎn)單的統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題）

五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)專題講座第十三課《簡(jiǎn)單的統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題》難題練習(xí)及題目答案

五年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第十三講簡(jiǎn)單的統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題

笫十三講簡(jiǎn)單的統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題

這一講我們討論有關(guān)物資調(diào)運(yùn)、下料問(wèn)題及配套生產(chǎn)等實(shí)例。

例1某工地A有20輛卡車，要把60車渣土從A運(yùn)到B,把40車轉(zhuǎn)從C運(yùn)到D（工地

道路圖如右圖所示），問(wèn)如何調(diào)運(yùn)最省汽油？

分析把渣土從A運(yùn)到B或把侍從C運(yùn)到D,都無(wú)法節(jié)省汽油只有設(shè)法減少跑

空車的距離，才能省汽油。解：如果各派10輛車分別運(yùn)渣土和修，那么每運(yùn)一

車渣土要空車跑回300米，每運(yùn)一車磚則要空車跑回360米，這樣到完成任務(wù)總

共空車跑了

300X60+360X40=32400（米）。

如果一輛車從人一3—€：-1y，人跑一圈，那么每運(yùn)一車渣土、再運(yùn)一車轉(zhuǎn)要

空車跑

300X60+360X40=32400（米）。

如果一輛車從A-BfC-D-A跑一圈，那么每運(yùn)一車渣土、再運(yùn)一車轉(zhuǎn)要

空車跑

240+90=330（米）.

因此，先派20輛車都從A開(kāi)始運(yùn)渣土到B,再空車開(kāi)往C運(yùn)轉(zhuǎn)到D后空車返

回A,這樣每輛車跑兩圈就完成了運(yùn)磚任務(wù).然后再派這20輛車都從A運(yùn)渣土到B

再空車返回A,則運(yùn)渣土任務(wù)也完成了.這時(shí)總共空車跑了

330X40+300X20=19200（米）.

后一種調(diào)運(yùn)方案比前一種減少跑空車13200米，這是最佳節(jié)油的調(diào)運(yùn)方

案。

說(shuō)明：“節(jié)省跑空車的距離”是物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題的一個(gè)原則：下面通過(guò)例子

再介紹“避免對(duì)流”的原則。

例2一支勘探隊(duì)在五個(gè)山頭A、B、C、D、E設(shè)立了基地，人數(shù)如右圖所示.為調(diào)

整使各基地人數(shù)相同，如何調(diào)動(dòng)最方便？（調(diào)動(dòng)時(shí)不考慮路程遠(yuǎn)近）

分析在人員調(diào)運(yùn)時(shí)不考慮路程遠(yuǎn)近的因素，就只需避免兩個(gè)基地之間相

互調(diào)整，即“避免對(duì)流現(xiàn)象

解：五個(gè)基地人員總數(shù)為

17+4+16+14+9=60（人）

依題意，調(diào)整后每個(gè)基地應(yīng)各有

60+5=12（人）o

因此，需要從多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E調(diào)人.為了

避免對(duì)流，經(jīng)試驗(yàn)容易得到調(diào)整方案如下：

先從D調(diào)2人到E,這樣E尚缺1人；再由A調(diào)1人給E,則E達(dá)到要求.此時(shí)，A

尚多余4人，C也多余4人，總共8人全部調(diào)到B,則B亦符合要求。

調(diào)動(dòng)示意圖如右圖所示.這樣的圖形叫做物資流向圖.用流向圖代替調(diào)運(yùn)方

案，能直觀地看出調(diào)運(yùn)狀況及有無(wú)對(duì)流現(xiàn)象，又可避免列表和計(jì)算的麻煩，圖

巾箭頭表示流商，箭桿上

的數(shù)字表示流量。

說(shuō)明：發(fā)生對(duì)流的調(diào)運(yùn)方案不可能是最優(yōu)方案.這個(gè)原則可以證明：

如右圖，設(shè)A1

B2=a千米,B2Bl=bT米,B1A2

=c千米.如果從A]

運(yùn)1噸貨物到Bl,同時(shí)

又從-%

'運(yùn)1噸貨物到B2,那么在B1B2之間A[

的物資從西向東運(yùn)輸,一'2的貨物從東向西運(yùn)輸，兩

者發(fā)生對(duì)流，干是這樣調(diào)動(dòng)的總噸千米數(shù)為

AlJ、

(a+b)+(b+c)=a+L2b.

而如果從A]

運(yùn)1噸貨物到B2,同時(shí)從A

運(yùn)噸貨物到栽蛟聳渥主智

21Bl,資糊-c顯然

a-c<a-L2bo

例3在一條公路上每隔100千米有一個(gè)倉(cāng)庫(kù)（如右圖，）共有5個(gè)倉(cāng)庫(kù).一號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有10R屯貨物，二

號(hào)倉(cāng)庫(kù)有20P屯貨物，五號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有4即屯貨物，其余兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)是空的。現(xiàn)在想把所有的貨物集中存

放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里，如果每噸貨物運(yùn)輸1公里需要〃5元運(yùn)輸費(fèi)，那么最少要多少運(yùn)費(fèi)才行？

二三四五

10噸20噸40噸

分析欲使花費(fèi)的運(yùn)輸費(fèi)少，關(guān)鍵在干運(yùn)輸?shù)呢浳锖吐烦瘫M可能少，實(shí)際經(jīng)驗(yàn)告訴我們一個(gè)

原則一一“小往大處靠”.下面就以兩地調(diào)運(yùn)問(wèn)題為例加以計(jì)算膜證：如上圖，在公路上A、B

兩地各有1卯屯、15噸麥子，間打麥場(chǎng)建在何處運(yùn)費(fèi)最少？

ACB

10'me

設(shè)打麥場(chǎng)建在c點(diǎn)，則總運(yùn)費(fèi)是（假定每噸小麥運(yùn)輸1千米的費(fèi)用是沅）

W=10XaXAC+15XaXBC

=10aXAC+10aXBC+5aXBC

=10aX（AC+BC）+5aXBC

=10aX（AC+BC）+5aXBC

=10aXAB+5a*BC

上式中l(wèi)OaXAB是固定的值，不隨C點(diǎn)的選取而改變；只有5aXBC隨BC的變化而改變，若BC

越小，則W也越小.當(dāng)BC=0時(shí)，即C點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，W的值最小因此打麥場(chǎng)建在B點(diǎn)時(shí)總運(yùn)費(fèi)是

lOaX.AB（元）為最少.顯然當(dāng)打麥場(chǎng)建在AB線段之外時(shí)，總運(yùn)費(fèi)都大干lOaXAB（元）。解：根

據(jù)“小往大處靠”的原則，先把一號(hào)倉(cāng)庫(kù)的屯貨物送往二號(hào)倉(cāng)庫(kù)集中，需運(yùn)費(fèi)

10X0.5X100=500（元）。

這時(shí)可以認(rèn)為二號(hào)倉(cāng)庫(kù)有3卯屯貨物，而五號(hào)倉(cāng)庫(kù)有4卸屯貨物，干是又應(yīng)把二號(hào)倉(cāng)庫(kù)的30P屯貨

物運(yùn)往五號(hào)倉(cāng)庫(kù)集中，需運(yùn)費(fèi)

30X0.5X300=4500（元）。

所以，把貨物集中存放在五號(hào)倉(cāng)庫(kù)時(shí)所花運(yùn)費(fèi)最少，需要

500+4500=5000（元）?

說(shuō)明：“小往大處靠”的原則也不是一成不變的，具體問(wèn)題還要具體分析。

再舉兩例如下：

例如一號(hào)倉(cāng)庫(kù)有2卯屯貨物，二號(hào)倉(cāng)庫(kù)有3卯屯貨物，其他倉(cāng)庫(kù)存貨照樣如前，那么應(yīng)該往哪個(gè)

倉(cāng)庫(kù)集中呢？首先仍應(yīng)把一號(hào)倉(cāng)庫(kù)的2促屯貨物運(yùn)往二號(hào)倉(cāng)庫(kù)集中，然后再把五號(hào)倉(cāng)庫(kù)的4促屯貨物

也運(yùn)往二號(hào)倉(cāng)庫(kù)集中，這樣運(yùn)費(fèi)最少。

又如一號(hào)倉(cāng)庫(kù)有3即屯貨物，二號(hào)倉(cāng)庫(kù)有200屯貨物，其他倉(cāng)庫(kù)存貨仍然如前，那么應(yīng)該往哪個(gè)

倉(cāng)庫(kù)集中呢？先把一號(hào)倉(cāng)庫(kù)的3卯屯貨物運(yùn)往二號(hào)倉(cāng)庫(kù)集中，再把五號(hào)倉(cāng)庫(kù)的4和屯貨物也運(yùn)往二號(hào)

倉(cāng)庫(kù)集中，這樣運(yùn)費(fèi)最省一（想想為什么？）

還有一點(diǎn)值得注意，在決定貨物往何處集中時(shí)，起決定作用的是貨物的重量，至干距離僅僅

是為了計(jì)算運(yùn)費(fèi).如果把本題中各個(gè)倉(cāng)庫(kù)之間的距離換成另外一些數(shù)值，仍應(yīng)該把貨物集中到五號(hào)

倉(cāng)庫(kù)。

本題可以推廣為一般命題：”一條公路上有n個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它們分別存貨A】

'噸、一%

"噸、…、an噸.

現(xiàn)在需要把所有的貨物集中存放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里，應(yīng)該選取哪個(gè)倉(cāng)庫(kù)可以使總運(yùn)輸費(fèi)最少？”它的

解法將涉及到一次函數(shù)的知識(shí)，同學(xué)們?cè)趯W(xué)過(guò)初三代數(shù)之后就會(huì)完全明白了。

例418咪長(zhǎng)的鋼筋要剪成4米或7米兩種尺寸，如何剪法最省材料?

分析顯然無(wú)殘料的剪法是最優(yōu)方案.干是考慮二元一次不定方程的整數(shù)解問(wèn)題。

解：設(shè)4米長(zhǎng)的剪x根，T米長(zhǎng)的剪、根，依題意列方程

4x+:y=189°

根據(jù)倍數(shù)分析法可知

7|x（即x是7的倍數(shù)）o

令Xi=O,則7y=189,解出%=27；

x-=7>則7y=161,解出n=23；

Xj=14,則7y=133,解出丫3=19,

X4=21,貝i|?y=105,解出y「15；

4=28,則7尸77,解出、飛=11；

x,=35>則7y=49,解出n=7；

x-=42?則7y=21,解出y；=3。

因此，有七種剪法都是最省材料的。

說(shuō)明：本例是最簡(jiǎn)單的下料問(wèn)題，屬干“線性規(guī)劃”的范疇，線性投劃是運(yùn)用一次方程

（組）、一次函數(shù)來(lái)解決規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)分支。投劃論研究的問(wèn)題主要有兩類：一類是確定了一

項(xiàng)任務(wù)，研究怎樣精打細(xì)算使用最少人力、物力和時(shí)間去完成它；另一類是在已有一定數(shù)量的人

力、物力和財(cái)力的條件下，研究怎樣合理調(diào)配，使它們發(fā)揮最大限度的作用，從而完成最多的任

務(wù)。

例5用10尺長(zhǎng)的竹竿做原材料，來(lái)截取3尺、4尺長(zhǎng)的甲、乙兩種短竹竿各10跟，至少要用去原材

料幾根？怎么截法最合算？

分析不難想到有三種截法省科：

截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，無(wú)殘料；

截法2截成3尺、3尺、3尺三段，殘料1尺；

截法3：截成4尺、4尺兩段，殘料2尺。

由千截法1最理想（無(wú)殘料），因此應(yīng)該充分應(yīng)用截法1.考慮用原材料5城，可以截成10跟3

尺長(zhǎng)的短竹竿，而4尺長(zhǎng)的僅有5城，還差5跟.干是再應(yīng)用截法3,截原材料25根，可以得到4尺長(zhǎng)

的短竹竿50根，留下殘料

2X25=50（尺）。

解：至少要用一5根原材料，其中5跟用截法1,25根用截法3,這樣的截法最省料.

說(shuō)明：一般說(shuō)來(lái)，一定長(zhǎng)度的條形材料要截取兩種毛坯的下料問(wèn)題，用本例的方法求解是比

較省料的，這種解法的理論根據(jù)要用到二元不等式及一次函數(shù)圖像，有興趣的讀者可參閱有關(guān)書(shū)

刊。

例6甲、乙兩個(gè)服裝廠每個(gè)工人和設(shè)備都能全力生產(chǎn)同一規(guī)格的西

服，甲廠每月用孑的時(shí)間生產(chǎn)上衣，?的時(shí)間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)900

套西服；乙廠每月用彳的時(shí)間生產(chǎn)上衣，方的時(shí)間生產(chǎn)褲子，全月恰好生

產(chǎn)120睡西服.現(xiàn)在兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長(zhǎng)多生產(chǎn)西服，那么現(xiàn)在每月比過(guò)去多生產(chǎn)西

服多少套？

分析根據(jù)已知條件，甲廠生產(chǎn)一條褲子與一件上衣的時(shí)間之比為2:3,因此在單位時(shí)間內(nèi)

甲廠生產(chǎn)的上衣與褲子的數(shù)量之比也是2：3（注意：在固定時(shí)間內(nèi)，數(shù)邕與每件所用時(shí)間成反

比）;同理可知，在單位時(shí)間內(nèi)乙廠生產(chǎn)上衣與褲子的數(shù)邕之比是3：4。

由于所以甲廠善于生產(chǎn)褲子，乙廠善于生產(chǎn)上衣下面簡(jiǎn)

43

單說(shuō)明理由：

如果甲廠生產(chǎn)深褲子，則相當(dāng)甲廠生產(chǎn)6件上衣；如果讓乙廠生產(chǎn)這6件上衣，則相當(dāng)千生產(chǎn)

S條褲子.這就是說(shuō)，甲廠生產(chǎn)深褲子時(shí)乙廠只能生產(chǎn)S條褲子.顯然甲廠善于生產(chǎn)褲子.類似地，如

果乙廠生產(chǎn)9#上衣，則相當(dāng)于乙廠生產(chǎn)12條褲子；如果讓甲廠生產(chǎn)這12條褲子，則相當(dāng)甲廠生產(chǎn)

S件上衣.這就是說(shuō)，乙廠生產(chǎn)W牛上衣時(shí)甲廠只能生產(chǎn)S件上衣顯然乙廠善于生產(chǎn)上衣.

解：兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長(zhǎng)，安排乙廠全力生產(chǎn)上衣由

于乙廠用9月生產(chǎn)1200件上衣，那么乙廠全月可生產(chǎn)上衣

4

1200+7=2100（件）。

同時(shí)，安排甲廠全力生產(chǎn)褲子，則甲廠全月可生產(chǎn)褲子

2

900+5=2250（條）。

為了配套生產(chǎn)，甲廠先全力生產(chǎn)2100條褲子，這需要

14

2100+2250=記（月）。

然后甲廠再用5月單獨(dú)生產(chǎn)西服

900X卷=60（套）o

干是，現(xiàn)在聯(lián)合生產(chǎn)每月比過(guò)去多生產(chǎn)西服

（2100+60）-（900+1200）=60（套）。

說(shuō)明：本例是線性規(guī)劃中勞力組合問(wèn)題.勞力組合最簡(jiǎn)單的情況就是效率比問(wèn)題.這里給出多

種勞力（或機(jī)械）干兩種配套活的一般分工原則：

設(shè)甲生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品的數(shù)量比為魯，乙生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品的數(shù)

瓦

量比為善.如果獸〉獸，則甲善于生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙善于生產(chǎn)B產(chǎn)品.

b2瓦b2

五年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第十三講簡(jiǎn)單的統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題習(xí)題

習(xí)題十三

L某鄉(xiāng)共有六塊甘蔗地，每塊地的產(chǎn)量如下圖所示.現(xiàn)在準(zhǔn)備建設(shè)一座糖

r,問(wèn)糖廠建于何處總運(yùn)費(fèi)最?。?/p>

_2.產(chǎn)地41、A2、A3和銷售地Bl、B2,B3、B4都在鐵路線上，位置如下圖

所示.己知Al、A2、A3的產(chǎn)量分別為5噸、3噸、2噸；Bl、B2,B3、B4的銷售

量分別是1噸、2噸、3噸、4f屯試求出使總運(yùn)輸噸公里數(shù)最小的調(diào)運(yùn)方案。

BiAi取A2A3

3.把長(zhǎng)239米的鋼筋截成17米和24米長(zhǎng)的鋼筋，如何截法最省材料?

4.鋼筋原材料每件長(zhǎng)7.3米，每套鋼筋架子用長(zhǎng)2.9米、21米和L5米的鋼筋

各1段.現(xiàn)在需要綁好鋼筋架子100套，至少要用去原材料幾件？截料方法怎樣最

省？

5.某車間有銃床3臺(tái)，車床3臺(tái)，自動(dòng)機(jī)床1臺(tái)，生產(chǎn)一種由甲、乙兩個(gè)零件

組成的產(chǎn)品.每臺(tái)銃床每天生產(chǎn)甲零件10個(gè)，或者生產(chǎn)乙零件20個(gè)；每臺(tái)車床每

天生產(chǎn)甲零件20個(gè)，或者生產(chǎn)乙零件30個(gè)；每臺(tái)自動(dòng)機(jī)床每天生產(chǎn)甲零件30

個(gè)，或者生產(chǎn)乙零件80個(gè)一如何安排這些機(jī)器的生產(chǎn)任務(wù)才能獲得最大數(shù)量的成

套產(chǎn)品？每天最多可生產(chǎn)多少套產(chǎn)品？

五年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第十三講簡(jiǎn)單的統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題習(xí)題解答