專題11.8“8字”模型經(jīng)典問題特殊訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專題11.8“8字”模型經(jīng)典問題特殊訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________一．選擇題（共6小題）1．如圖，五角星的五個角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180° B．90° C．270° D．240°【答案】A【分析】連接CD，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，再由三角形的內(nèi)角和定理，即可得出五角星的五個角之和．【解析】解：連接CD，設(shè)BD與CE交于點O，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．故選：A．【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行推理是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖所示，∠α的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案．【解析】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故選：A．【點評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練運用三角形內(nèi)角和定理，本題屬于基礎(chǔ)題型．3．如圖，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，則∠D的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等求出∠DEC，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余計算即可．【解析】解：∵AB⊥BD，∠A＝40°，∴∠AEB＝50°，∴∠DEC＝50°，又AC⊥CD，∴∠D＝40°，故選：A．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．4．如圖所示，已知∠1＝60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（）A．180° B．360° C．240° D．200°【答案】C【分析】根據(jù)“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和”可知∠B+∠D+∠C+∠E＝180°﹣60°＝120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠A+∠F＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝120°+120°＝240°．【解析】解：∵∠3＝∠B+∠D，∠2＝∠C+∠E，∠2+∠3＝180°﹣60°＝120°，∴∠B+∠D+∠C+∠E＝180°﹣60°＝120°，∵∠A+∠F＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝120°+120°＝240°．故選：C．【點評】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和．（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件．5．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為（）A．720° B．900° C．1080° D．1260°【答案】C【分析】連KF，GI，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理得到7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7﹣2）×180°＝900°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，由三角形內(nèi)角和定理可得到∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)．【解析】解：連KF，GI，如圖，∵7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7﹣2）×180°＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+∠2），即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°．故選：C．【點評】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°（n≥3的整數(shù)）．6．如圖，BP平分∠ABC交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．根據(jù)角平分線的定義，得到∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE，進(jìn)而推斷出∠A+∠C＝2∠P，從而解決此題．【解析】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故選：B．【點評】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共12小題）7．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360°【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【解析】解：如圖，∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案為：360°．【點評】此題考查三角形的內(nèi)角和，角的和與差，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．8．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是180°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】本題運用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和，將已知角轉(zhuǎn)化在同一個三角形中，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解．【解析】解：如圖，∵∠1＝∠B+∠E，∠2＝∠1+∠C，∠A+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故答案為：180°．【點評】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．9．如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360度．【答案】360．【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，則這幾個角是一個四邊形的四個內(nèi)角，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．【解析】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案為：360．【點評】此題主要考查了三角形的外角以及四邊形的內(nèi)角和，正確掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接AD，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠B+∠C＝∠1+∠2，然后利用四邊形內(nèi)角和為360°可得答案．【解析】解：連接AD，在△AOD和△BOC中，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠B+∠C＝∠1+∠2，∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，故答案為：360°．【點評】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是掌握四邊形內(nèi)角和為360°．11．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知∠1＝∠B+∠2，∠2＝∠D+∠E，∠A+∠1+∠C＝180°，由此不難證明結(jié)論．【解析】解：如圖，∵∠1＝∠B+∠2，∠2＝∠D+∠E，∠A+∠1+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，故答案為：180．【點評】本題考查三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．12．如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【解析】解：如圖，∵∠1＝∠A+∠F，∠2＝∠1+∠E，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠B+∠C+∠D+∠2＝360°．故答案為：360°．【點評】此題考查三角形的外角性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，掌握三角形的外角性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于360°是解決問題的關(guān)鍵．13．如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H度數(shù)為360°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和，以及多邊形的內(nèi)角和即可求解．【解析】解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，∠3＝∠E+∠F，∠4＝∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝360°．故答案為：360°．【點評】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)以及多邊形的外角和定理，正確轉(zhuǎn)化為多邊形的外角和是關(guān)鍵．14．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【答案】180．【分析】如圖根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知：∠DNC+∠D+∠C＝180°，由三角形外角性質(zhì)可知：∠AMB＝∠A+∠E，∠DNC＝∠B+∠AMB，根據(jù)三個等式即可求解．【解析】解：如圖，設(shè)線段BD，BE分別與線段AC交于點N，M．∵∠AMB＝∠A+∠E，∠DNC＝∠B+∠AMB，∠DNC+∠D+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，故答案為：180．【點評】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記三角形的外角定理及內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．15．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用三角形外角性質(zhì)得到∠1＝∠B+∠F+∠C，然后利用五邊形的內(nèi)角和求∠A+∠B+∠C+∠F+∠D+∠E+∠G的度數(shù)．【解析】解：如圖，∵∠1＝∠B+∠2，而∠2＝∠F+∠C，∴∠1＝∠B+∠F+∠C，∵∠A+∠1+∠D+∠E+∠G＝∠A+∠B+∠C+∠F+∠D+∠E+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°．故答案為540．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180（n≥3）且n為整數(shù)），此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．也考查了三角形外角性質(zhì)．16．如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540度．【答案】540．【分析】連接CH，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠A+∠B＝∠1+∠2，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°列式計算即可得解．【解析】解：如圖，連接CH，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠A+∠B＝∠1+∠2，由多邊形的內(nèi)角和公式得，∠1+∠2+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝（5﹣2）?180°＝540°，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540°．故答案為：540．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，三角形的內(nèi)角和定理，熟記定理與公式并作輔助線構(gòu)造出三角形與多邊形是解題的關(guān)鍵．17．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．【答案】540°．【分析】連接CF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及對頂角的性質(zhì)可得∠D+∠E＝∠OCF+∠OFC，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可求解．【解析】解：連接CF，∵∠D+∠E+∠DOE＝∠OCF+∠OFC+∠COF＝180°，∠DOE＝∠COF，∴∠D+∠E＝∠OCF+∠OFC，∵∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．【點評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，對頂角的性質(zhì)，掌握多邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．18．如圖所示，AB、CD相交于點O，若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，∠A＝45°，∠BEC＝40°，則∠D的度數(shù)為35°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先根據(jù)角平分線定義得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等得到∠1+∠D＝∠4+∠E①，∠1+∠2+∠D＝∠3+∠4+∠A，即2∠1+∠D＝2∠4+∠A②，接著利用①×2﹣②得2∠E＝（∠D+∠A），由此即可解決問題．【解析】解：如圖，∵BE平分∠DBA交DC于F，CE平分∠DCA交AB于G，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠D＝∠4+∠E①，∠1+∠2+∠D＝∠3+∠4+∠A，即2∠1+∠D＝2∠4+∠A②，由①×2﹣②得∠D＝2∠E﹣∠A，∵∠A＝45°，∠BEC＝40°，∴∠D＝35°，故答案為35°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．解答的關(guān)鍵是找準(zhǔn)相關(guān)的三角形，然后利用三角形內(nèi)角和定理建立等量關(guān)系．三．解答題（共6小題）19．如圖，已知∠A＝50°，∠D＝40°（1）求∠1度數(shù)；（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【解析】解：（1）∠1＝∠A+∠D＝90°；（2）∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【點評】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．20．已知，如圖，線段AD、CB相交于點O，連結(jié)AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P．試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．【答案】2∠P＝∠B+∠D．【分析】根據(jù)“8字形”可得∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，∠1+∠P＝∠2+∠D，由角平分線的定義可得∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，整理可得結(jié)論．【解析】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：如圖，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠1+∠P＝∠2+∠D，∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，整理得，2∠P＝∠B+∠D．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形的內(nèi)角和定理，對頂角相等的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．21．圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：6個；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細(xì)觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進(jìn)而求出∠P的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【解析】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識的遷移能力．（1）中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出“8字形”中的角的規(guī)律；（2）是考查學(xué)生的觀察理解能力，需從復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)出“8字形”；（3）（4）直接運用“8字形”中的角的規(guī)律解題．22．平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系（1）已知AB平行于CD，如a圖，當(dāng)點P在AB、CD外部時，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，為什么？請說明理由．如b圖，將點P移動到AB、CD內(nèi)部，以上結(jié)論是否仍然成立？若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角即可；②利用平行線的特點作出平行線，再利用平行線的性質(zhì)即可；（2）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和即可；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到四邊形CDHM中，用四邊形的內(nèi)角和即可．【解析】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠B＝∠COP，∵∠COP＝∠BPD+∠D，∴∠B＝∠BPD+∠D，即：∠BPD＝∠B﹣∠D，②不成立，結(jié)論：∠BPD＝∠B+∠D，理由：如圖b，過點P作PG∥AB，∴∠B＝∠BPG，∵PG∥AB，CD∥AB，∴PG∥CD，∴∠DPG＝∠D，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠D；（2）結(jié)論：∠DPQ＝∠B+∠BQD+∠D，理由：如圖c，連接QP并延長，∵∠BP∠G是△BPQ的外角，∴∠BPG＝∠B+∠BQP，同理：∠DPG＝∠D+∠DQP，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠BQP+∠DQP+∠D＝∠B+∠BQD+∠D；（3）如圖d，∵∠DHM是△BFH的外角，∴∠DHM＝∠B+∠F，同理：∠CMH＝∠A+∠E，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠DHM+∠CMH+∠C+∠D＝360°．【點評】此題是四邊形的性質(zhì)，主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形的外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，是一個比較簡單也比較典型的中考?？碱}．23．如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．請直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：①仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：6個；②若∠D＝40°，∠B＝50°，試求∠P的度數(shù)；③若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出推理過程；若不存在，請說明理由；④若∠D和∠B為任意角，，∠DAB和∠BCD的三等分線AP和CP相交于點P，且∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請直接寫出結(jié)論；若不存在，請說明理由．【答案】（1）∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①6；②45°；③∠B+∠D＝2∠P；④2∠B+∠D＝3∠P．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理及對頂角相等即可得出結(jié)論；（2）①分別找以交點M、O、N為頂點的能構(gòu)成“8字形”的三角形；②利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系結(jié)合角平分線即可得出∠P的度數(shù)；③和②同理；④利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系結(jié)合“∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）∵∠A+∠D＝180°﹣∠AOD，∠B+∠C＝180°﹣∠COB，且∠AOD＝∠COB，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；故答案為∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①以M為交點的有1個，為△AMD和△CMP，以O(shè)為交點的有4個，為△AOD和△BOC，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，△AOM和△CON，以N為交點的有1個，為△ANP和△BNC，故答案為6個；②∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的結(jié)論得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P，∴∠P=50°+40°2③：∠B+∠D＝2∠P，理由如下：∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的結(jié)論得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P；④2∠B+∠D＝3∠P，理由如下：由（1）中結(jié)論得：∠2+∠P＝∠4+∠B，3∠2+∠D＝3∠4+∠B，整理得：2∠B+∠D＝3∠P．【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，解題關(guān)鍵是善于運用”8字形”的結(jié)論．24．閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為25°；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為∠P=∠B+∠D2【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點P，則∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝α+β-180°2．（用含有α和β應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點P，∠P＝180°-α-β2．（用含有α和β【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為∠P=2x+y3．（用拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【答案】探索一：∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：25°；探索三：∠P=∠B+∠D應(yīng)用一：α+β﹣180°，α+β-180°2應(yīng)用二：180°-α-β2拓展一：∠P=2x+y拓展二：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【分析】探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P＝∠B+∠D，再代入計算可求解；探索三：運用探索一和探索二的結(jié)論即可求得答案；應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點A，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再運用角平分線定義及三角形外角性質(zhì)即可求得答案；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點A，設(shè)T是CB的延長線上一點，R是BC延長線上一點，利用應(yīng)用一的結(jié)論即可求得答案；拓展一：運用探索一的結(jié)論可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再結(jié)合已知條