2023屆北京市首師附高一數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1.終邊在x軸上的角的集合為()

A.{a\a=k7r,kGA^}B.{a\a=kjv,kGZ}

C.{a\a=2k兀,&eN}D.{a\a=2k7i,k&Z]

2.將函數(shù)/(x)=Acosox圖象向右平移/個單位得到函數(shù)g(x)的圖象，已知g(x)的圖象關于原點對稱，貝！的

最小正值為()

A.2B.3

C.4D.6

3.已知?是兩個不同的平面，給出下列四個條件：

①存在一條直線屋使得[‘a(chǎn)，a,伊

②存在兩條平行直線a，『使得"/日，a〃￡b〃a"b〃夕

③存在兩條異面直線a，b，使得aua"匕u夕a〃伊b〃a；

④存在一個平面/，使得y&，yJ,0

其中可以推出C的條件個數(shù)是

A.lB.2

C.3D.4

,.flog,x-l,x>0/,、、

4.已知函數(shù)，貝4/(力=1|21_6|,140，則/(/(一1)-1)=

A.210g23—2B.log27—1

C.2D.log26

5.下列四個函數(shù)中，在整個定義域內單調遞減是()

A.〃x)=(黑),B./(x)=|log,x

1UU42

c/x)=log;D.〃x)=j

/x〈0

6.已知函數(shù)〃x)=5一，g(x)=/(x)+a,若g(x)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()

Inx,x>0

A.(—1,0)

C.(O,l)D.(O,l]

uaw

7.log2a>log2b2>2*W()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分且不必要條件D.既不充分也不必要條件

8.把-375°表示成8+2E,ZeZ的形式，則。的值可以是()

9.某學生離家去學校，由于怕遲到，一開始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以縱軸表示離家的距離，橫

軸表示離家后的時間，則下列四個圖形中，符合該學生走法的是()

10.若關于3的不等式4'-108“》＜^在兀€(0,3恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.B.

D.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.函數(shù)/■(x)=Asin(0x+e)(A>O,o>O,陷<§一段圖象如圖所示?則/(x)的解析式為

(1Y-A-

12.函數(shù)/(冗)=《J的值域為.

13.函數(shù)/'(力=三］+4位的最大值與最小值之和等于

14.給出下列四個命題：

TTS77

①函數(shù)尸2sin(2十—")的一條對稱軸是x=—；

312

7T

②函數(shù)尸tanx的圖象關于點(一，0)對稱；

2

③正弦函數(shù)在第一象限內為增函數(shù)；

3

④存在實數(shù)a,使sina+cosa=—.

2

以上四個命題中正確的有一(填寫正確命題前面的序號).

x—4,%>4

15.函數(shù)/(x)={，若/(a)=4,則“=_____

x+3,x<4

16.函數(shù)/(x)=logx(6-x)+\/l-2sinx定義域為.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知函數(shù)/(x)=log”(l+x)-loga(1一x)(a>0,a。1)

(1)求函數(shù)/(x)的定義域，并判斷函數(shù)/(x)的奇偶性；

⑵求使./1(%)<0x的取值范圍

18.已知全集0=口，集合A=L-4x<0},B=^x|/w2<x<3m-2^.

(1)當m=2時，求d(AnB)；

(2)如果=求實數(shù)的取值范圍.

19.已知函數(shù)/'(X)=sin，x+Z^sinxcosx-cos4x

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)討論Ax)在區(qū)間。兀］上的單調遞增區(qū)間

20.已知函數(shù)/(x)=gsin(2xq),x&R,

(1)求/(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；

7171

(2)求/(x)在區(qū)間一；,二的最大值和最小值

_34_

21.(1)已知x>1，求、+，的最小值；

Xx-1

(2)求函數(shù)f(Q=的定義域

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1、B

【解析】利用任意角的性質即可得到結果

【詳解】終邊在x軸上，可能為x軸正半軸或負半軸，所以可得角a=故選B.

【點睛】本題考查任意角的定義,屬于基礎題.

2、B

【解析】根據(jù)圖象平移求出g(x)解析式，g(x)為奇函數(shù)，則g(0)=0,據(jù)此即可計算0的取值.

7T汽CD

【詳解】根據(jù)已知,可得g(x)=ACOS69=Acoscox----

I6

???g(x)的圖象關于原點對稱，所以g(O)=O,從而一竽=2+而，ZreZ,

62

所以。=一3-6攵，其最小正值為3,此時左=一1

故選：B

3、B

【解析】當",8不平行時，不存在直線汽與dS都垂直，...a’a，=a|￡，故：口正確;

存在兩條平行直線G，b，aIa，b\B'a\B'bIIa,則a"臺相交或平行，所以口)不正確；

存在兩條異面直線匕，aucCbc.39aIf39bI由面面平行的判定定理得支?引故確;

存在一個平面產(chǎn)使得1一夕則Q6相交或平行，所以(4)不正確；

故選5

4、B

【解析】因為〃x)=J晟:；；；；：，所以〃T)_1=|—2_6|T=7,/(/(-l)-l)=/(7)=log27-l,故選

B.

5、C

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質判斷A,利用特殊值判斷3,利用對數(shù)函數(shù)的性質判斷C,利用偶函數(shù)的性質判斷。

【詳解】對于A,7(*)=(器))是指數(shù)函數(shù)，在整個定義域內單調遞增，不符合題意；

對于8,/(x)=-log/,有/(2)=彳*108|2=-彳，/(4)=-xlog,4=--,不是減函數(shù)，不符合題意；

X2224萬，

對于C,/(x)=l°g|X為對數(shù)函數(shù)，整個定義域內單調遞減，符合題意；

2

2,_

對于。，/(力=/=癢，為偶函數(shù)，整個定義域內不是單調函數(shù)，不符合題意，

故選C

【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質、單調性是定義，對數(shù)函數(shù)的性質以及偶函數(shù)的性質，意在考查綜合利用所學

知識解答問題的能力，屬于中檔題

6、B

【解析】利用數(shù)形結合的方法，作出函數(shù)/(力的圖象，簡單判斷即可.

【詳解】依題意，函數(shù)y=的圖象與直線尸一。有兩個交點，

作出函數(shù)圖象如下圖所示，

由圖可知，要使函數(shù)y=/(x)的圖象與直線丫=一。有兩個交點，則即一1〈。＜0.

故選：B.

【點睛】本題考查函數(shù)零點問題，掌握三種等價形式：函數(shù)零點個數(shù)等價于方程根的個數(shù)等價于兩個函數(shù)圖象交點個

數(shù)，屬基礎題.

7、A

【解析】解指數(shù)不等式和對數(shù)不等式，求出兩個命題的等價命題，進而根據(jù)充要條件的定義，可得答案

【詳解】"2">2""Oua>bn,

wan

log2a>log2/?”oa>b>O,

“a>h>0”是“。>人”的充分而不必要條件，

故"log?a>log2h”是“2">2〃”的的充分而不必要條件，

故選：A

8、B

【解析】由-375°=-15°-36()°結合弧度制求解即可.

【詳解】V-375°=-15°-360°,375°=(卡—2兀卜(1

故選：B

9、A

【解析】縱軸表示離家的距離，所以在出發(fā)時間為，=0可知C,D錯誤，再由剛開始時速度較快，后面速度較慢，可根

據(jù)直線的傾斜程度得到答案.

【詳解】當時間1=0時，s=0,故排除C,D；

由于剛開始時速度較快，后面速度較慢，

所以前段時間的直線的傾斜角更大.

故選：A.

【點睛】本題考查根據(jù)實際問題抽象出對應問題的函數(shù)圖象，考查抽象概括能力，屬于容易題.

10>A

【解析】轉化為當時，函數(shù).丫=4'-］的圖象不在y=l°g〃X的圖象的上方，根據(jù)圖象列式可解得結果.

【詳解】由題意知關于x的不等式4'-：<log〃x在xwjo,；恒成立，

所以當時，函數(shù)y=4'的圖象不在〉=10g?！返膱D象的上方，

0<a<l

由圖可知(11，解得!<a<l.

2/4

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：利用函數(shù)y=4'-/的圖象與函數(shù)yulog?！返膱D象求解是解題關鍵.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

271

11、/(x)=3sin—X-------

510

【解析】由函數(shù)的最值求出A,由周期求出3,由五點法作圖求出<P的值，從而得到函數(shù)的解析式

32兀jr2

【詳解】由函數(shù)的圖象的頂點的縱坐標可得A=3,再由函數(shù)的周期性可得二?'=4兀-三，二3=一

4co45

2兀71

再由五點法作圖可得=x：+(p=O,;.中=一二

5410

故函數(shù)的解析式為f(x)=3sin

故答案為f(x)=3sin1|x_m]

【點睛】本題主要考查函數(shù)y=Asin(3x+(p)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A,由周期求出s,由五點法

作圖求出①的值，屬于中檔題

-1)

12、-,+<?

[2J

【解析】由函數(shù)f(x)定義域求出1一/的取值范圍，再由(g),的單調性即可得解.

r1

【詳解】函數(shù)/(x)=-的定義域為R,而1-犬41,當且僅當x=0時取“="，又(5),在R上單調遞減，

于是有(獷嶺4

門/r1

所以函數(shù)的值域為[],+8

故答案為：-5+00j

13、0

【解析】先判斷函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則最大值與最小值互為相反數(shù)

【詳解】解：根據(jù)題意，設函數(shù)/(X)的最大值為例，最小值為N,

又由/(_%)=+sin(-x)=p^-j+sinrU-/(x),則函數(shù)/(x)為奇函數(shù),

則有M=-N,則有M+N=O；

故答案為0

【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性，利用奇函數(shù)的性質求解是解題關鍵

14、①?

【解析】對于①,將*=得代入得如停一g[=1，；?x=得是對稱軸,命題正確;

對于②，由正切函數(shù)的圖象可知，命題正確;

7T

對于③，正弦函數(shù)在2k7T,2k7T+-上是增函數(shù)，但在第一象限不能說是增函數(shù)，所以③不正確;

對于④,sinx+cosx=V2sinlx+~，最大值為狡，不正確;

故填①②.

15、1或8

【解析】當。24時，/(a)=a-4,當。＜4時，/(a)=a+3,分別計算出“的值，然后在檢驗.

【詳解】當時，4=4,解得。=8,滿足條件.

當。＜4時，/(a)=a+3=4,解得〃=1,滿足條件

所以。=1或8.

故對答案為：1或8

【點睛】本題考查分段函數(shù)根據(jù)函數(shù)值求自變量，屬于基礎題.

、

7乃T］5萬

0,—u—,6

16、6」6

67

【解析】根據(jù)題意列出x滿足的條件，解不等式組

x>0且%。1x>0且xw1

x<6,解得0<xW工或V〈x<6,從而函數(shù)的定義域為

【詳解】由題意得6-x>0,即<

,166

1-2sinx>0

sinx<—

2

?7n1

0,丁U--,6.

6」L6；

(7t~\5〃,

故答案為：0,—u—,6.

I6」6)

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)定義域為｛x|—奇函數(shù)；(2)(0,1)

fl-x>0

【解析】(1)只需解不等式組，即可得出/1(X)的定義域；求/(-x)即可得到f(-x)=-f(x),從而得

[1+尤>0

出/(x)為奇函數(shù)；

(2)討論a：a>l,和OVaVl,根據(jù)/(x)的定義域及對數(shù)函數(shù)的單調性即可求得每種情況下原不等式的解

詳解】解：(1)要使函數(shù)/(x)=log“(l+x)—log“(l-x)(a>0且awl)有意義，

[1+x>0

則〈，解得

l-x>0

故函數(shù)“X)的定義域為關于原點對稱，

Xf(-x)=logo(1-x)-loga(1+x)=-/(x),所以，/(X)為奇函數(shù)

(2)由/(x)<(),即108式1+》)一1(唱“(17)<0=>108〃(1+*)<108?(1-*),

當時，原不等式等價為l+x<l—x,解得x<()?當0<a<l,原不等式等價為l+x>l—x,解得x>0

又因為/(x)的定義域為(-1,1),所以，當a>1時，使<()的x的取值范圍是(一1,0).當0<a<1時，使<()

的x的取值范圍是(0」)

18、(1)R.

(2){〃6〃72,mwR}

【解析】(1)由集合交補定義可得.

(2)由ADB=A可得8=4建立不等關系可得解.

【小問1詳解】

當〃z=2時，A=(0,4),8={4},408=0,①(An3)=R

【小問2詳解】

因為=所以31A,

B=0,3m—2Vm2，加<1或機>2,

B手0,>1<m<2,

f1<m<2

TH2>0

(3m-2<4

綜上：加的取值范圍是{“加。2,相￡母

19、(1)最小正周期是乃

TT、冗

(2)單調遞增區(qū)間0,-,

_3」L6_

【解析】⑴由三角恒等變換得/(x)=2sin(2x-J再求最小正周期；

JT77*

(2)整體代換得函數(shù)的增區(qū)間為版"—版■+2#eZ,再結合xe[0,4]求解即可.

【小問1詳解】

解：f(x)=sin4x+2A/3sinxcosx-cos4X

=(sin2x+cos2x^sin2x—cos2x)+\/3sin2x

=V§sin2x-cos2x=2sin一方1.

_2萬24

所以，r=冏=T="，即最小正周期為〃.

【小問2詳解】

解：令2k兀----<2x-----42ATTH■—,keZ,解得A：7<x<k7i+—,kGZ,

26263

因為xw[0,萬

TTJ57F4

所以，當％=0時，得其增區(qū)間為0,-；當攵=1時，得其增區(qū)間為—,71;

3o6

715萬

所以，/(幻在區(qū)間。兀]上單調遞增區(qū)間為0,y

20、(1)最小正周期為乃，單調遞增區(qū)間及方次乃+^]?eZ：(2)/(x)在一],￡上的最大值為也，最小

63134」4

值為總

【解析】

jr-rr-rr24

(1)由正弦型函數(shù)的性質，應用整體代入法有2br--42x-2424乃+一時單調遞增求增區(qū)間，由丁=」

262⑷

求最小正周期即可.