投資中的數(shù)學問題

投資中的數(shù)學問題復旦大學數(shù)學學院陸立強2023/12/25主要內(nèi)容等比級數(shù)貨幣的時間價值年金問題投資決策2023/12/25等比級數(shù)等比數(shù)列等比數(shù)列之和2023/12/25就有留意到公式于是2023/12/25貨幣的時間價值〔1〕概念和記號P：本金—投資金額n：投資期限r(nóng)：利率—單位本金在單位時間〔期〕中的獲利,衡量投資價值的重要目的I：利息—投資的收益，I=f(P,n,r)S：本利和，S=P+I2023/12/25貨幣的時間價值〔2〕概念和記號利息公式1

單利公式當n>1時，單利公式存在缺陷2023/12/25復利公式

復利利息公式2023/12/25闡明不難證明

復利公式和單利公式中的利率r為單期利率，普通根據(jù)年利率折算而來。2023/12/25年利率和單期利率

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期長年利率（%）期利率（%）活期0.360.0013月1.710.42756月1.980.991年2.252.252年2.795.583年3.339.995年3.60182023/12/25例銀行年利率為2.25%,一年結(jié)息一次,假設三年后要得到本利和600元,應存入多少錢?即應存入561.26元。解設存入錢數(shù)為P，由2023/12/25即約需26年.例假設本金700元，存一年期，利率為2.25%。假設要本利和到達1240元，需存多少時間？解2023/12/25貨幣的時間價值現(xiàn)值—n期后持有的貨幣〔面值S)如今的價值時間和利率是貨幣價值變化的“幕后推手〞背景：貨幣的數(shù)目隨著時間(n)而變終值—現(xiàn)有貨幣〔面值P〕在n期后的數(shù)值2023/12/25例一處房產(chǎn)價錢為21萬元，據(jù)預測三年后價錢將上漲到23萬元，某人欲向銀行貸款來進展此項投資。設銀行貸款利率為5%，按復利計算，此項投資能否盈利？現(xiàn)值P小于23萬元投資額，不能盈利。終值大于23萬元，即3年后歸還銀行的本利和超越那時房屋的價值，不能盈利。解1三年后23萬元的現(xiàn)值為解221萬元3年后的終值為2023/12/25例：某地2021年人均收入是1999年的8倍，求10年內(nèi)年均收入平均年增長率。假設平均年增長率堅持不變，那么2020年是2021年的幾倍？復利公式中r的多重解釋利率增長率收益率解2023/12/25年金問題AAAAA12nnAAAAA12n-1n期初期末年金：定額定期的投資行為記號：A—每期投資額,r—單期利率,n—投資期數(shù)投資可發(fā)生在每期之初或每期之末2023/12/25發(fā)生在期初年金的終值各期的終值求和得2023/12/25發(fā)生在期末年金的終值各期的終值求和得2023/12/25年金終值公式的一致表示對發(fā)生在期初的年金，t取1，對發(fā)生在期末的年金，t取0。利用年金終值公式，得例零存整取從年初開場，每月存入100元，按月息0.1425%復利記息，到年底的本利和是多少？解這是期初發(fā)生的年金問題，本利和為其終值。其中2023/12/25年金的現(xiàn)值由現(xiàn)值公式年金的現(xiàn)值為對發(fā)生在期初的年金，t取1，對發(fā)生在期末的年金，t取0。例房屋抵押貸款某人貸款購房，采用等額本息還款，假設借款70萬元，20年還清，月利率為0.63%，每月應還款多少？2023/12/25解每月末的還款可視作發(fā)生在期末的年金，其現(xiàn)值等于貸款總額，由現(xiàn)值公式解得2023/12/25投資決策投資報答率記號：投資I(元);投資行為終了時回收V(元,稱為毛收益);凈收益f(元),扣除本金后的收益，f=V-I.定義：單位投資的凈收益為投資報答率，記為R對于期限一樣的不同投資方案，可根據(jù)它們的投資報答率大小來判別工程的優(yōu)劣。2023/12/25有第二項報答率高，優(yōu)于第一項投資。例有兩套房產(chǎn)，一套報價100萬，據(jù)評價3年后升值為110萬；另一套報價50萬，3年后值58萬。哪項投資更優(yōu)？解分別記兩項投資的投資額、毛收益、凈收益、報答率為：2023/12/25復雜投資決策舉例例某藥廠貸款進展技術改造，有兩種方案：方案1：投資100萬元購買新設備，每年年末可增收20萬元；方案2：投資80萬元更新設備，每年初可節(jié)省16萬元的檢修費；假設這些設備均可運用8年，銀行貸款利率為9%，哪個方案經(jīng)濟效益更好？對投資期限不同的投資，需根據(jù)貨幣時間價值的觀念詳細問題詳細分析。解比較8年后的收益。方案1：投資100萬元8年后的價值為萬元2023/12/258年后增收的終值為萬元凈收益為萬元方案2：投資8年后的價值為萬元

8年后節(jié)省檢修費的終值為萬元2023/12/25方案2的凈收益為萬元所以方案2優(yōu)于方案1。例某廠試制新產(chǎn)品，投產(chǎn)后每年末可添加收益10萬元，為消費該產(chǎn)品須添加某些設備，假設購置需一次付款25萬元；假設租賃這些設備，每年初付租金3.3萬元。假設廠方用貸款措籌資金，貸款復利年利率為9.8%〔設設備的壽命為10年〕，哪一方案更好？萬元解用現(xiàn)值的觀念討論。10年每年末增收10萬元的現(xiàn)值為2023/12/25購置設備或租賃設備凈收益的現(xiàn)值分別為萬元萬元萬元方案2更好。每年初付租金的現(xiàn)值為：2023/12/25現(xiàn)金流對于存在多次投資、多次收益且運用貸款的復雜投資那么普通先構造投資期限內(nèi)的現(xiàn)金流{F0,F1,…,Fn},Fi>0:收益金額，F(xiàn)i<0:投資金額，i=0,…,n例：某廠試制新產(chǎn)品，投產(chǎn)后每年末可添加收益10萬元，為消費該產(chǎn)品須添加某些設備，需一次付款25萬元,設設備的壽命為10年.那么該項投資的現(xiàn)金流為：{-25,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10}例：房地產(chǎn)開發(fā)的現(xiàn)金流2023/12/25內(nèi)部收益率設某項投資的現(xiàn)金流為{F0,F1,…,Fn},那么稱方程的解為該項投資的內(nèi)部收益率，是比較投資方案的重要根據(jù)例：有兩個投資方案方案1：投資41萬，每年收益5萬，延續(xù)10年；方案2：投資32萬，每年收益5萬，延續(xù)14年；比較投資收益2023/12/25解：方案1的現(xiàn)金流為{-41,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5},對應方程等價于：采用近似計算〔如二分法〕，可解得y=3.78%20