2023年高考數(shù)學一輪復習（學生版）：第五單元導數(shù)及其應用

§5.1導數(shù)的概念及運算、定積分

（對應答案分冊第6?7頁）

................圜基礎(chǔ)知識.....>夯實基礎(chǔ)鞏固提升

<?知識清單>?

1.函數(shù)y=?x）在x=xo處的導數(shù)

⑴定義稱函數(shù)在x=xo處的瞬時

變化率1面四吐也3二Uma為函數(shù)

△%一0dx一0△%

x—xo處的導數(shù)記作八xo）或y人'l一r人0,

即外向二lim"二lim-。+3日。）.

A%->0Ax-^0Ax

⑵幾何意義:函數(shù)人x）在點X。處的導數(shù)

八xo）的幾何意義是在曲線y=/（x）上點（xo次x（）））

處的切線的斜率.相應地，切線方程為

y-yo=f（xo）（x-xo）.

2.函數(shù)廣危）的導函數(shù)

八X上普電稱為函數(shù)y=/U）的

△久一＞0

導函數(shù)

3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

基本初等

導函數(shù)

函數(shù)

Rx)=c(c為

r?=o

常數(shù))

f(x)=axaA

￡Q*)

X^)=sinxf(x)=cosX

/(x)=cosxf(x)=-sinx

?x)=e*/W=e]

f(x)=

0且辦1)

1

/(x)=lnxfM=-

(續(xù)表)

基本初等

導函數(shù)

函數(shù)

fix)=logX1

fM=

〃〉0,存1)xlna

4.導數(shù)的運算法則

若八x),g3存在，則有

(1)[f(x)±g(x)],=f(x)±g'(X);

(2)IXx)Y。)]'=/Xx)g(x)W)*(?Q)；

7(^)'，二尸(?g。)-/(幻0(%)

⑶出(%)-[g(創(chuàng)2(g(x)M).

5.復合函數(shù)的導數(shù)

復合函數(shù)y=*g(x))的導數(shù)和函數(shù)

y=/5),〃=g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為》'=%'?Ux.

6.定積分的概念與幾何意義

(1)定積分的定義

如果函數(shù)火X)在區(qū)間力］上連續(xù)，用分點

將區(qū)間［。4等分成〃個小區(qū)間，在每個小區(qū)

間上任取一點6(，=12...,〃),作和式

.九□史ha漢辦當〃一+8時,上述和式無限接近于

1=1n

某個常數(shù)，這個常數(shù)叫作函數(shù)次處在區(qū)間［〃刈

上的定積分，記作r段)呢即

f/x)ck=lim□—.

an—+8i=l九

在r?dx中，〃力分別叫作積分下限、

積分上限區(qū)間他力］叫作積分區(qū)間，函數(shù)次幻

叫作被積函數(shù)X叫作積分變量次幻也叫作被

積式.

(2)定積分的幾何意義

火X)J；/x)dx的幾何意義

表示由直線x=a,x=b,y=O及曲線

?>0

yjx)所圍成的曲邊梯形的面積

表示由直線x-a,x-b,y-Q及曲線

於)<0y=/(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相

反數(shù)

於)在

[a,b]

表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積

上有

""減去位于X軸下方的曲邊梯形的面積

正有

負

7.定積分的性質(zhì)

(1)。kf(x)dx=kf^4x)dx(左為常數(shù)).

(2)J；力(x)dx±rfi(x

)dx

(3)J；?x)ck=/：?x)dx+C段)dx(其中

a<c<b).

8彳微積分基本定理

一般地，如果段)是在區(qū)間［〃刈上的連續(xù)

函數(shù)且尸。)=/(%),那么於)CR=JFS)/(Q).

這個結(jié)論叫作微積分基本定理，又叫作牛頓

—萊布尼茲公式.可以把尸S)-F⑷記為

bhb

F(x)，即〃/x)ck=F(x)=F(b)-F(a).

aa

回特別提醒

1/(XO)代表函

數(shù)JU)在處的

導數(shù)值;OUo))是函

數(shù)值火曲的導數(shù)，且

㈡,二

,Lf(x)J[f(x)]2,

3.曲線的切線與曲

線的公共點的個數(shù)

不一定只有一個，而

直線與二次曲線相

切只有一個公共點.

4.函數(shù)丁=於)的導數(shù)

公)反映了函數(shù)於)

的瞬時變化趨勢，其

正、負號反映了變化

的方向，其大小片（刈

反映了變化的快

慢,我叫越大，曲線

在這點處的切線越

“陡I

5.函數(shù)於）在閉區(qū)間

[-。㈤上連續(xù)，則有

⑴若泰）為偶函數(shù),

則

於）dx=2j；fix）

dx;

（2）若於）為奇函數(shù)

則f：fix）dx=O.

夯實基礎(chǔ)

【概念辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確.(對的打y”,錯的

打“X”)

(1)八＞0)是函數(shù)y=/(x)在x=xo附近的平均變化

率()

⑵曲線y=/(x)在某點處的切線與曲線y=?

過某點的切線意義是相同的.()

(3)因為(lnx).所以GJ=lnx.()

(4)設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間他力］上連續(xù)，則

。段)近=。()

【對接教材】

曲線產(chǎn)R+U在點P(1/2)處的切線與y軸

交點的縱坐標是().

A.-9B.-3C.9D.15

曲線產(chǎn)y在點(4,2)處的切線方程

為.

【易錯自糾】

刀、/y=g'W

~~QSo5

如圖所示的是函數(shù)y=?x),y=g(x)的導函數(shù)

的圖象，那么產(chǎn)危)，產(chǎn)g(%)的圖象可能是

().

ytjy=fM

成產(chǎn)gG)夕＜r=gG)

o|?o?

0|?0X

AB

九,y=gM%y=gW

汽6)幺泊)

o-XQ~XXox

cD

曲線廣￥-2X+3在點(1()處的切線的傾

斜角a為().

A.-B.-C.—D.—

4334

講考點考向?小精研考向錘煉技能

導數(shù)的運算、定積分【題組過關(guān)】

玲求下列函數(shù)的導數(shù).

(l)y=x2sinx;

1

(2)y=lnx+-;

cosx

(3)y=

⑴廣0(cosx+l)dx=.

2

2

(2)f2|x-2%|dx=.

(3)]^(2x+Vl-x2)dx=.

1.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)

WlAAAAAAAAAAAAAAAZ

分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利

用運算法則求導.

2.復合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，

必要時要進行換元.

3.計算定積分的解題步驟

(1)把被積函數(shù)變形為基本初等函數(shù)與

常數(shù)的積的和或差；

(2)把定積分變形為被積函數(shù)為基本初

等函數(shù)的定積分；

(3)分別用求導公式的逆運算找到一個

相應的原函數(shù)；

(4)利用微積分基本定理求出各個定積

分的值，然后求其代數(shù)和.

4.根據(jù)定積分的幾何意義可計算定積

分

導數(shù)與函數(shù)的圖象【典例遷移］

硼。(2022.廣西月考)設(shè)函數(shù)於)在定義

域內(nèi)可導,的圖象如圖所示，則導函數(shù)

八處的圖象可能是().

【變式設(shè)問】

已知函數(shù)y=/U）的圖象是下列四個圖象之一,

且其導函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示,則該函

數(shù)的圖象是（）.

JX

-l<0li上

AB

解決此類導函數(shù)圖象與原函數(shù)

WWVWVVWVVWVW

圖象關(guān)系問題的關(guān)鍵點有兩個:一是抓住原

函數(shù)的增區(qū)間對應的導函數(shù)函數(shù)值為正、原

函數(shù)的減區(qū)間對應的導函數(shù)函數(shù)值為負;二

是抓住函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的

變化情況反映導函數(shù)圖象在相應點處的變

化情況.

【追蹤訓練1】(2022.四川綿陽高三開學

已知函數(shù)段)的導函數(shù)為八%),且產(chǎn)八?

的圖象如圖所示，則下列結(jié)論一定正確的是

A.?=0

B.7(x)沒有極大值

C.當x=b時JU)有極大值

D.當x=c時次x)有極小值

案毒導數(shù)的幾何意義【考向變換】

考向1求切線方程

0)0(1)(2021年全國曲線廣室在

點(-1,-3)處的切線方程

為.

⑵(2022?貴州貴陽模擬)曲線廣xe*+2在

%=0處的切線方程為().

A.x+y+2=0B.2x+y+2=0

C.y-2=0D.x-y+2=0

求切線方程時，注意區(qū)分曲線在

某點處的切線和曲線過某點的切線.曲線

尸危）在點尸（xo於o））處的切線方程是

y於o）=f（XO）（X-XO）.求曲線過某點的切線方程,

需先設(shè)出切點坐標，再依據(jù)已知點在切線上

求解.

【追蹤訓練2】⑴（2022.吉林四平模擬）

曲線y=4x+sin2x在點（0,0）處的切線方程為

（）.

A.y=2xB.y=3x

C.y=5xD.y=6x

（2）（2022?廣東茂名模擬）已知八只為奇函

數(shù)，且當x>0時次則曲線丁=於）在點

X

（-2弧2））處的切線方程為（）.

A.3x-y=0B.3x+y-12=0

C.5x-y+8=0D.5x+y-12=0

考向2求切點坐標

劍?設(shè)曲線尸方在點（0,1）處的切線與曲

線yW（x〉0）在點P處的切線垂直，則點P的

坐標為.

求切點坐標，其一般思路是先求

VAArtZWVVWVWVVVVV

函數(shù)的導數(shù)，然后讓導數(shù)值等于切線的斜率,

從而求出切點坐標.

【追蹤訓練3】已知函數(shù)於）=Hnx的圖

象在點P（xo{xo））處的切線與直線x+y=0垂

直,則切點P的坐標為.

考向3求與切線有關(guān)的參數(shù)的取值范

圍（含公切線）

0ra（1）函數(shù)/U）=lnx+ax的圖象存在與

直線2x-y=0平行的切線,則實數(shù)a的取值范

圍是（）.

A.（-oo,2]B.（-oo,2）

C.（2,+OO）D.（0,+OO）

（2）（2022.廣東深圳模擬）已知函數(shù)

治）二/必2M若曲線產(chǎn)危）在x=l處的切線

與直線2x-〃y+3=0垂直，則〃=（）.

2e

A.-2eB.--C.-D.2e

e2

處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通

常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參

數(shù)的方程并解出參數(shù)，解題關(guān)鍵:⑦切點處的

導數(shù)是切線的斜率;②切點在切線上;③切點

在曲線上.

【追蹤訓練4】（1）（2022.東北三省第一

次聯(lián)考已知曲線於）=%+2+仇行0）在點

X

（1川））處的切線方程為y=2x+5,貝

a-b-.

(2)已知函數(shù)

f(x)=x2+x\nx的圖象在點(1次1))處的切線與

直線x-ay-1=0平行,則實數(shù)a=.

................O方法技巧????＞方法探究分類突破

儂突破O求切線方程的方法

導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，

應用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

⑴已知切點A(xo式必已求斜率匕即求該

點處的導數(shù)值八

⑵已知斜率上求切點A(?次》)),即解方

程/(?)=%.

(3)若求過點P(xo,yo)的切線方程,可設(shè)切

點為(孫男),由產(chǎn)二嗎丫Vr丫、求解即

(70-71=

可.

/1(1)(2022?陜西西安模擬)曲線

?=x(lnx+x)+1在點(1/1))處的切線方程

為.

(2)若存在過點0(0,0)的直線/與曲線

y=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，貝!J實數(shù)a的值

為.

方法總結(jié):

求曲線過一點

的切線方程,要考慮

已知點是切點和已

知點不是切點兩種

情況:當已知點是切

點時,求切線的方法

與例⑴相同;當已知

點不是切點時，需先

設(shè)出切點坐標，再依

據(jù)已知點在切線上

求解即可.

【突破訓練】(1)(2022.江蘇南京模擬)

函數(shù)/(x)=lnx-與在處的切線方程

%+1

為.

(2)已知函數(shù)/(x)=xlnx,若直線/過點

(0,-1),并且與曲線產(chǎn)危)相切,則直線I的方

程為

§5.2利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

(對應答案分冊第7?8頁)

學基礎(chǔ)知識上夯實基礎(chǔ)鞏固提升

一知識清單一

已知函數(shù)戶八工)在某個區(qū)間內(nèi)可導則

⑴若八元)>0,則兀0在這個區(qū)間內(nèi)

增；

(2)若八x)<0,則人幻在這個區(qū)間內(nèi)

減；

(3)若八x)=0,則共幻在這個區(qū)間內(nèi)是

函數(shù).

B拓展知識

l/(x)>0(f(x)<0)g

4%)在區(qū)間3力)內(nèi)單

調(diào)遞增(減)的充分

不必要條件.

2/(x)>0(f(x)<0)B

穴工)在區(qū)間3方)內(nèi)單

調(diào)遞增(減)的必要

不充分條件.

3.由於)在區(qū)間31)

內(nèi)單調(diào)遞增(減)可

得八x)NO(f(x)或)在

該區(qū)間內(nèi)恒成立，而

不是八x)〉0(f(x)<0)

恒成立，“廿不能少，

必要時還需對“廿

進行檢驗.

《夯實基礎(chǔ)》

【概念辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確.(對的打錯的

打X，)

⑴若函數(shù)於)在(。力)內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有

r?>o.()

(2)如果函數(shù)次x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有八x)=0,

那么火處在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.()

(3)函數(shù)八為R上的增函數(shù)的一個充

分不必要條件是?<0.()

(4)函數(shù)尸也的單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+8).

,)C

【對接教材】

如圖所示的是函數(shù)y=/a)的導函數(shù)y=f(x)

的圖象，則下列判斷正確的是().

A於)在區(qū)間(-2,1)上是增函數(shù)

B於)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù)

仁/0)在區(qū)間(4,5)上是增函數(shù)

D段)在區(qū)間(-3,1)上是增函數(shù)

函數(shù)y=x-ex的單調(diào)遞減區(qū)間為().

A.(-oo,0)B.(0,+oo)

C.[l,+oo)D.(l,+oo)

【易錯自糾】

4.

0x

（2022.安徽安慶模擬）已知函數(shù)於）的導函數(shù)

f（x）=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則於）的圖

象可能是（）?

CD

若函數(shù)/W=sinx+kx在（0,兀）上是增函數(shù)，則

實數(shù)左的取值范圍為

講考點考向力精研考向錘煉技能

不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性【題組

過關(guān)】

函數(shù)廠4/+工的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.

,）C

A.(0,+8)B.&+8)

已知函數(shù)段）=xlnx,則函數(shù)次x）的單調(diào)遞減

區(qū)間是.

3.（2022.開封第一次調(diào)研）已知定義在區(qū)間

（-兀，兀）上的函數(shù)於:）二xsinx+cosx,則於）的單

調(diào)遞增區(qū)間是.

利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三

WWWWVWVWWW

種方法

⑴當導函數(shù)不等式可解時，解不等式

7（%）>0或八x）<o,求出單調(diào)區(qū)間.

（2）當方程八x）=0可解時，解出方程的實

根才安實根把函數(shù)的定義域劃分成若干個區(qū)

間,確定各區(qū)間八X）的符號，從而確定單調(diào)區(qū)

間.

⑶若導函數(shù)的方程、不等式都不可解，

根據(jù)八X）的結(jié)構(gòu)特征利用其圖象與性質(zhì)確

定八X）的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間.

d1蠶含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性【典例遷

移】

EM已知函數(shù)次x尸工-x+alnx,討論?x）的

X

單調(diào)性.

⑴研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,

WWWVWWVWWW

要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類

討論.

(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定

義域內(nèi)討論，還要確定導數(shù)為0的點和函數(shù)

的間斷點.

(3)個別導數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間

的單調(diào)性，如=x3f(x)=3x2>0(f(%)=0在

%=0時取到)｛外在R上是增函數(shù).

【追蹤訓練1】(2022.廣西玉林模擬)已

矢口函數(shù)g(x)=aeX-2x-2(〃+l).討論函數(shù)g(x)的

單調(diào)性.

垂⑥函數(shù)單調(diào)性的應用【考向變換】

考向1比較大小或解不等式

倒?(1)(2022.［模擬定義在R上的函

數(shù)於)滿足?W)>1網(wǎng))=4.則不等式

e7(x)>e"+3的解集為().

A.(0,+oo)

B.(-oo,0)U(3,+oo)

C.(-oo,0)U(0,+oo)

D.(3,+oo)

(2)(2022.浙江杭州模擬)已知非負函數(shù)

段)的導函數(shù)為八%),且於)的定義域為(0,+8),

若對于定義域內(nèi)的任意工均滿足八%)〉加，

則下列式子中不一定正確的是().

A/2)>2/(l)B./3)>e/(2)

C44)〉/3)D?>2e/(j)

利用導數(shù)比較大小或解不等式

WVWWWWWVWW

的常用技巧

利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大

小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導數(shù)

研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大

小或解不等式.

【追蹤訓練2】(1)已知

定義域為R的函數(shù)/U)的導數(shù)為八x),且滿足

m)<2x<2)=3,則不等式段)“24的解集是

().

A.(-°o,-l)B.(-l,+oo)

C.(2,+oo)D.(-oo,2)

(2)已知於尸竽則().

A.m>g>g

B.A3)>Ae)>/(2)

C.7(e)次2)次3)

D.7(e)/3)/2)

考向2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值

范圍

幽?（2022.石家莊第一次質(zhì)檢）已知函數(shù)

1

x,g（x）=一〃/+2%（存0）.

⑴若函數(shù)〃（冗）=/a）-g（x）存在單調(diào)遞減

區(qū)間，求實數(shù)〃的取值范圍；

（2）若函數(shù)力⑴二/⑴吆⑴在［1,4］上單調(diào)遞

減,求實數(shù)a的取值范圍.

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范

WWVWWVWWWW

圍的一般思路

⑴利用集合間的包含關(guān)系處理.函數(shù)

y=/（x）在伍力）上單調(diào)，則區(qū)間（〃力）是相應單調(diào)

區(qū)間的子集.

（2）函數(shù)段）為（〃力）上的增函數(shù)的充要條

件是對任意的工￡（。力）都有八x）K）且在（〃力）

內(nèi)的任一非空子區(qū)間上/（幻不恒為零，應注

意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.

（3）函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可

轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.

【追蹤訓練3】已知函

數(shù)?=2x3+Q（X-1）厘在區(qū)間［0,3］上不是單調(diào)

函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是（）.

A-M）B.（-M

c6譚）乂譚，。）

..............................國方法技巧…??小方法探究分類突破

例頻。用分類討論思想研究函數(shù)的單調(diào)

性

回i已知函數(shù)g（x）=ln1+以2_（2〃+1）兒若

庭0,試討論函數(shù)g⑴的單調(diào)性.

E方法總結(jié)

含參數(shù)的函數(shù)

的單調(diào)性問題一般

要分類討論,常見的

分類討論標準有以

下幾種：

①方程八%)=0是否

有根;謂八x)=0有

根，求出根后判斷其

是否在定義域內(nèi);③

若根在定義域內(nèi)且

有兩個，則比較根的

大小是常見的分類

方法

【突破訓練】(2022廣東惠州第三次調(diào)

已知實數(shù)辦0,設(shè)函數(shù)段:)二

⑴求函數(shù)段)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當時，若對任意的［-l,+oo),均

有段)當/+1),求實數(shù)Q的取值范圍.

注:e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)

§5.3利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

(對應答案分冊第8?9頁)

學基礎(chǔ)知識?，夯實基礎(chǔ)鞏固提升

知識清單

1.導數(shù)與函數(shù)的極值

⑴函數(shù)的極小值與極小值點

若函數(shù)在點處的函數(shù)值比

它在點附近其他點的函數(shù)值都小，且

八〃)=0,而且在x=a附近的左側(cè)/(x)<0,右側(cè)

八x)〉0,則點a叫作函數(shù)的極小值點叫作

函數(shù)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值與極大值點

若函數(shù)/U)在點x=b處的函數(shù)值大〃)比

它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，且

八〃)=0,而且在x=A附近的左側(cè)/(x)〉0,右側(cè)

八x)＜。,則點b叫作函數(shù)的極大值點找份叫作

函數(shù)的極大值.

2.導數(shù)與函數(shù)的最值

⑴函數(shù)段)在出，句上有最值的條件

如果在區(qū)間［〃刈上函數(shù)y=/(x)的圖象是

一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和

最小值.

(2)求y力(%)在包上的最大(小)值的步

驟

①^函數(shù)y=/(x)在(〃力)內(nèi)的極值.

②I等函數(shù)y=/U)的各極值與端點處的函

數(shù)值火。)次A)比較,其中最大的一個是最大值,

最小的一個是最小值.

3拓展知識

1.對于可導函

數(shù)於)/(X0)=。是函

數(shù)?￥)在x=xo處有

極值的必要不充分

條件.

2.極值有可能

是最值，但最值只要

不在區(qū)間端點處取

得，其必定是極值.

3.求函數(shù)的最值時,

應注意極值點和所

給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系

不確定時，需要分類

討論,不可想當然認

為極值就是最值.

4.若函數(shù)氏0在閉區(qū)

間切內(nèi)是單調(diào)函

數(shù)，則人幻一定在區(qū)

間端點處取得最值;

若函數(shù)/（X）在開區(qū)

間（。力）內(nèi)只有一個

極值點，則相應的極

值點一定是函數(shù)的

最值點.

5.函數(shù)最值是“整

體”概念，而函數(shù)極

值是“局部”概念，極

大值與極小值之間

沒有必然的大小關(guān)

系.

夯實基礎(chǔ)

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.（對的打“卡,錯的

打權(quán)”）

⑴對可導函數(shù)大幻/“。）=0是X0為極值點的

充要條件.（）

（2）函數(shù)的極大值一定大于其極小值.（）

⑶若函數(shù)為0在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則人幻

在區(qū)間D上不存在極值.（）

（4）函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最

小值也不一定是極小值.（

【對接教材】

函數(shù)/U）=2x-xlnx的極值點是（）.

A.-B.-C.eD.e2

ee

函數(shù)於）=2P2/在區(qū)間［一1,2］上的最大值

是?

【易錯自糾】

設(shè)函數(shù)於）」+ln%則（）.

X

A.x［為於）的極大值點

B.x=：為於）的極小值點

C.x=2為"x）的極大值點

D.x=2為於）的極小值點

若函數(shù)於）=梟3-4工+功在［0,3］上的最大值為

4,m=.

講考點考向;精研考向錘煉技能

CH?不含參數(shù)的函數(shù)的極值【典例遷

移】

函1（1）（2022.貴州遵義模擬）已知函數(shù)

段）=21nx+#_Qx在％=1處取得極值，則函數(shù)

府）的極小值為（）.

A.2B.21n2-4

C.--D.21n2-2

2

（2）（2022.貴州部分重點中學模擬）函數(shù)

於）=#_3X2+8x丹的極大值點為（）.

A.x=lB.x=2

7

C.x=4D.x=-

3

求函數(shù)加0的極值的一般解題步

\AAZWWWWWVW\AZ"

驟：

2確定函數(shù)的定義域;碑導數(shù)八處；③

解方程八x）=o,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;

步I」表檢驗八X）在/（x）=0的根X（）左右兩側(cè)值

的符號，如果左正右負，那么"x）在X=XO處取

到極大值，如果左負右正,那么火X）在X=XO處

取到極小值.

特別注意:導數(shù)為零的點不一定是極值

點

【追蹤訓練1】（2022,山西運城模擬）已

知函數(shù)抬尸

X

⑴求函數(shù)於）在點（1川））處的切線方程;

（2）證明次x）僅有唯一的極小值點.

含參數(shù)的函數(shù)的極值【典例遷移】

幽?(2022?常德月考)已知函數(shù)八x)=ln

x-ax(a￡R).

⑴當。=之時,求於)的極值；

乙

(2)討論函數(shù)Hx)在定義域內(nèi)極值點的個

【變式設(shè)問】已知函數(shù)於尸儀-1-lnx(a

的

⑴討論函數(shù)公)在定義域內(nèi)的極值點的

個數(shù)；

(2)若函數(shù)/(x)在x=l處取到極值,對任意

(0,+00)《工)沙片2恒成立，求實數(shù)b的取值

范圍.

含參數(shù)的函數(shù)的極值問題一般

WWVWVVWVVWVW

需分類討論,分類標準主要有以下幾個方

面:(1*(幻=0的根是否存在;(2)八x)=0根的大

小;(3/(x)=0的根與定義域的關(guān)系等.

【追蹤訓練2】設(shè)函

數(shù)Hx)=ln(〃-x),已知x=0是函數(shù)y二狀x)的極

值點.

⑴求a\

(2)設(shè)函數(shù)gQ尸苦證明:g(、)<L

XJ\X)

■1⑥利用導數(shù)求函數(shù)的最值【典例遷

移】

010（2021年北京卷）已知函數(shù)人工）=等.

x十a(chǎn)

（1）若〃=。，求y=/U）在（1次1））處的切線方

程；

（2）若函數(shù)4x）在x=-l處取得極值，求“x）

的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

【變式設(shè)問】已知函數(shù)兀0=QX+1Hx,其

中〃為常數(shù).

⑴當〃=-1時,求函數(shù)於)的最大值；

(2)若危)在區(qū)間Qe］上的最大值為-3,求

實數(shù)a的值.

利用導數(shù)求函數(shù)的最值的方法

WWWWWWWWW

當函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)只有唯一的極小

（大）值時，這個極?。ù螅┲稻褪亲钚。ù螅┲?當

函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)的極值有多個時,就要把

這些極值和區(qū)間的端點值進行比較，比較大

小的基本方法之一就是作差法.

【追蹤訓練3】（2022.內(nèi)蒙古赤峰模擬）

已知函數(shù)於）=xlnx

⑴求函數(shù)段）的圖象在點（1,0）處的切線

方程;

⑵求函數(shù)本）在區(qū)間h+上的

最小值.

＞方法探究分類突破

E3方法技巧

垂巍。用導數(shù)法求給定區(qū)間上的函數(shù)的

最值

00）（2017年北京卷）已知函數(shù)/（%）=e*cos

x-x.

⑴求曲線尸危）在點（。次0））處的切線方

程；

（2）求函數(shù)在區(qū)間［0,H上的最大值和

最小值.

E方法總結(jié)

用導數(shù)法求函

數(shù)給定區(qū)間的最值

問題的一般步驟如

下：

第一步：（求導數(shù)）求

函數(shù)/U）的導數(shù)

「（%）；

第二步：（求極值）求

心）在給定區(qū)間上的

單調(diào)性和極值；

第三步：（求端點值）

求“X）在給定區(qū)間

上的端點值;

第四步:（求最

值）將於）的各極值

與次X）的端點值進

行比較，確定段）的

最大值與最小值；

第五步:（反思）反思

回顧，查看關(guān)鍵點，易

錯點和解題規(guī)范.

【突破訓練】（2022.廣東惠州高三調(diào)研）

已知函數(shù)於）=空

X

⑴求於)的最大值；

(2)設(shè)實數(shù)。＞0,求函數(shù)b(x)=q/(x)在[Q,2Q]

上的最小值.

解答題題型突破一函數(shù)、導數(shù)與不等式

（對應答案分冊第10?14頁）

每喻?導數(shù)與不等式證明

考向1直接將不等式證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)

的最值問題

硼0（2022.河南第一次聯(lián)考）已知函數(shù)

抬尸*-丘-2左（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)左￡

R）.

⑴討論函數(shù)段）的單調(diào)性;

（2）當函數(shù)於）有兩個零點Xi,X2時，證

明：Xl+%2>-2.

證明不等式於）eA）,可以利

WWWVWWWVWW"

用導數(shù)求火X）在A時的最小值M只要

M>a即可.

【突破訓練1】（2022.福建第一次質(zhì)檢）

已知函數(shù)/（x）=（〃/+2以+l）ex-2.

⑴討論段）的單調(diào)區(qū)間.

（2）若〃<-},求證:當x>0時於）<0.

考向2轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值進行比

較

劍??函數(shù)/(x)=Qx2_(x+Dinx,曲線y=/(x)

在點(1次D)處切線的斜率為0.

⑴求〃的值；

⑵求證:當0<%<2時心)>9.

乙

若直接求導比較復雜或無從下

WVWWWWWWVW

手時,可將待證式進行變形，構(gòu)造兩個都便于

求導的函數(shù)從而找到可以傳遞的中間量達

到證明的目標.

[突破力U練2】已知f(x)=x1nX.

⑴求函數(shù)於)在也什2](/>0)上的最小值

(2)證明:對一切%￡(0,+oo)都有In

考向3作差法構(gòu)造函數(shù)證明不等式

劍豺設(shè)函數(shù)?x)=lnx-x+1.

⑴討論火x)的單調(diào)性.

(2)證明:當x￡(1,+oo)時,1＜熱＜工.

1.欲證函數(shù)不等式於)〉g(X)(X>Q),

WWVWVVWVVWVWV

只需證明於)-g(x)>0(x>〃),設(shè)〃(x)=/(x)-g(x),

即證〃(x)>O(x〉〃).若h(a)=0,/z(%)>h(a)(x>a),

接下來往往用導數(shù)證得函數(shù)〃⑴是增函數(shù)即

可.

2.欲證函數(shù)不等式式x)>g(x\xeIJ是區(qū)

間)，只需證明/x)-g(x)>0(xW7).設(shè)

h(x)Yx)-g(x)(x￡/),即證h(x)>0(xQ7),亦證

/2(x)min>o(x￡7),而這用導數(shù)往往容易解決.

【突破訓練3】(2022.湖北武漢模擬)已

知函數(shù)於)二〃心也,〃金R.

X

⑴設(shè)4=1,求曲線尸危)在點0。))處的

切線方程.

(2)證明:當定一時小巨0.

乙C

每破點⑥根據(jù)不等式求參數(shù)范圍

考向1分離參數(shù)法求范圍

劍?已知?x)=xlnx,g(x)=工3+〃/_工+2

⑴求函數(shù)段)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若對任意(0,+oo),紈x)Sg，(x)+2恒

成立,求實數(shù)〃的取值范圍.

用分離參數(shù)法解含參不等式恒

WWVWVVWVVWVW

成立問題是指在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正

負的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)

分離出來彳導到一個一端是參數(shù)，另一端是變

量表達式的不等式，只要研究變量表達式的

最值就可以解決問題.

【突破訓練4】(2022.湖南永州模擬)已

知函數(shù)於)=也+〃.

(1)若火X)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范

圍；

(2)設(shè)+=若對任意的xe(0,+8),

X

都有g(shù)(x)Sex恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

考向2分類討論法求范圍

、，ex

蒯已知函數(shù)

??x)=-QlnX—X+QX,QWR.

⑴當。<0時，討論/%)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=?x)+貨(幻若關(guān)于%的不等式

丫2

x在上有解，求實數(shù)a

g(x)<-e+—乙+((2-l)x［1,2］

的取值范圍.

導函數(shù)零點是否分布在定義域

WWVWVVWVVWVW

內(nèi)，零點將定義域劃分為哪幾個區(qū)間，若不能

確定，則需要分類討論.本題根據(jù)函數(shù)〃'⑴的

零點a是否在定義域口⑵內(nèi)進行討論，利用

導數(shù)的工具性得到函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單

調(diào)性,從而可得最值，判斷所求最值與已知條

件是否相符,從而得到參數(shù)的取值范圍.

【突破訓練5】(2022.吉林長春模擬)已

知函數(shù)段)=(%-1)lnx

⑴求函數(shù)加)的最小值;

(2)若又寸任意的x>0,^f(ax+l)<2xe2x-2x

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

國破點n利用導數(shù)研究函數(shù)零點

考向1由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)

010（2021年天津卷）已知。＞0屈數(shù)

f^x）=ax-xex.

⑴求曲線廣危）在點（。則））處的切線方

程；

（2）證明火工）存在唯一的極值點；

⑶若存在〃，使得人x）3z+b對任意R

成立,求實數(shù)b的取值范圍.

根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)取

WWVWVVWVVWVW

值范圍的核心思想是“數(shù)形結(jié)合”，即通過函

數(shù)圖象與X軸的交點個數(shù)，或者兩個相關(guān)函

數(shù)圖象的交點個數(shù)確定參數(shù)滿足的條件，進

而求得參數(shù)的取值范圍，解決問題的步驟是

“先形后數(shù)”.

【突破訓練6】（2022.河南鄭州模擬）已

知函數(shù)於）=442+2（1-2〃）/〃111項〃川.

⑴若%=2是於）的極值點,求實數(shù)a的值

并說明%=2是極大值點還是極小值點；

（2）若於）有兩個不同的零點,求實數(shù)a的

最小整數(shù)值.

考向2以函數(shù)零點為背景的雙變量不

等式問題

倒數(shù)已知函數(shù)/(x)=x2_x_]n1.

⑴求函數(shù)於)的極值.

(2)若XI,X2是方程〃%+於)=N-x的兩個不

同的實數(shù)根，求證：lnxi+lnX2+21n”0.

破解含雙參不等式的證明的關(guān)

WWVWWWVWWW

鍵

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參

所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化

為含單參的不等式；

二是巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)

的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明把所求

的最值應用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

【突破訓練7】2022.貴州銅仁模擬)已

知函數(shù)於)=。%吸中0)存在極大值士

⑴求實數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)F(%)=/(x)-m有兩個零點

X1,X2(A#X2),求實數(shù)m的取值范圍，并證

明:％1+%2>2.

考向3判斷零點的個數(shù)

函(2022海南?？谀M)已知函數(shù)

2U的一^^極值點為x=l.

X

(1)求實數(shù)a的值,并說明x=l是/U)的極

大值點還是極小值點；

(2)函數(shù)g(x)=4em-2-rn2/(x)(m為常數(shù)且

機＞0),討論g(x)的零點個數(shù).

1.利用導數(shù)求函數(shù)零點的常用方

法：

⑴構(gòu)造函數(shù)g(x)(其中g(shù)Q)易求且

g(x)=O可解)，利用導數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合

g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).

(2)利用零點存在性定理，先判斷函數(shù)在

某區(qū)間有零點，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)

有多少個零點.

2.根據(jù)參數(shù)確定函數(shù)零點的個數(shù)，解題

的基本思想是“數(shù)形結(jié)合”，即通過研究函數(shù)

的性質(zhì)(單調(diào)性、極值、函數(shù)值的極限位置等),

作出函數(shù)的大致圖象，然后通過函數(shù)圖象得

出其與1軸交點的個數(shù)，或者兩個相關(guān)函數(shù)

圖象交點的個數(shù)，基本步驟是“先數(shù)后形”.

【突破訓練8】(2022.浙江杭州模擬)已

知函數(shù)次x)=-Q)X,Q￡R.

⑴若Q=-l,過點(1,2)作曲線尸危)的切

線,求切點坐標；

⑵討論函數(shù)40的零點個數(shù).

延展點2抽象不等式中常見的構(gòu)造函數(shù)

(對應答案分冊第8頁)

西⑴(2022.天津二模)設(shè)函數(shù)火x),g(x)在

力］上可導，且八x)>g3,則當a<x<b時，有

().

A於)>g(x)

B/x)<g(x)

C-%)+g(〃)〉g(x)+火〃)

D.?x)+gS)>g(x)+?

(2)(2022.安徽黃山高三模擬)已知1(%)是

定義在R上的函數(shù)次x)的導函數(shù)，且

/(l+x)=/(l-x)e2x,當x>l時/(x)次x)恒成立，

則下列判斷正確的是().

A.eI-2)/3)B貝2)*賀3)

C.e5A2)<A-3)D./(2)>e5A-3)

⑴若已知位工)+於)的符號廁構(gòu)

WWVWVVWVVWVW""

造函數(shù)g(x尸歡X)；一般地,若已知0口)+碇X)

的符號，則構(gòu)造函數(shù)g(%)=%7(x).

(2)若已知位x)於)的符號，則構(gòu)造函數(shù)

g(x)二歿;一般地，若已知位力碇x)的符號，則

X

構(gòu)造函數(shù)g(x)二詈.

人

(3)若已知/(x)+段)的符號，則構(gòu)造函數(shù)

g(x)=巧⑺；一般地,若已知f(x)+碇X)的符號,

則構(gòu)造函數(shù)g(x)=enxf(x\

(4)若已知八幻企)的符號，則構(gòu)造函數(shù)

如)二等;一般地，若已知小)-碇?的符號，則

構(gòu)造函數(shù)g(x)=得.

【拓展訓練】⑴(2022安徽合肥模擬)

已知函數(shù)火X)滿足xf(x)\x\x+?)〉0(其中/(%)

是“X)的導函數(shù))若〃=火回力=/(e),c=/(e2),則

下列選項中正確的是().

AAc<2b<aB.2b<4c<a

C.a<2b<4cD.a<4c<2b

(2)(2022.江西南昌第二次調(diào)研)已知函

數(shù)次x)是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)次x)的

導函數(shù)為八%),若對任意的%>0都有

4處+對口)〉0成立，則().

A.4/(-2)<9/(3)

B.4/(-2)>9/(3)

C.賀3)>3火-2)

D.3火-3)<次2)

應用建模2利用導數(shù)研究生活中的應用問

題

(對應答案分冊第9?10頁)

學基礎(chǔ)知識＞夯實基礎(chǔ)鞏固提升

知識清單

1.生活中的優(yōu)化問題

生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、

效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問

題.

生活中的優(yōu)化問題的常見類型如下:

⑴費用最省問題;

(2)利潤最大問題;

(3)面積、體積最大(小)問題.

2.利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的步驟

⑴分析實際問題中各量之間的關(guān)系列

出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變

量之間的函數(shù)關(guān)系y寸。

⑵求函數(shù)的導數(shù)八X）,解方程八x）=0；

（3）比較函數(shù)在區(qū)間端點和使八x）=0的

點的函數(shù)值的大小，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲?

b拓展知識

解決生活中的

優(yōu)化問題應當注意

的問題

⑴在求實際問題的

最大（?。┲禃r，-一定

要考慮實際問題的

意義,不符合實際意

義的值應舍去.

（2）在實際問題中，有

時會遇到函數(shù)在區(qū)

間內(nèi)只有一個點滿

足八%）=0的情形.如

果函數(shù)在這點有極

大（?。┲?，那么不與

端點比較，也可以知

道這就是最大（?。?/p>

值.

⑶在解決實際

優(yōu)化問題中,不僅要

注意將問題中涉及

的變量關(guān)系用函數(shù)

關(guān)系表示，還應確定

出函數(shù)關(guān)系式中自

變量的定義區(qū)間.

(4)得出函數(shù)的最大

值或最小值之后,一

定要將數(shù)學問題還

原成實際問題.

?夯實基礎(chǔ)＞?

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打寸，錯的

打‘X")

⑴生活中常見到的收益最高,用料最省等問

題就是數(shù)學中的最大、最小值問題.（）

⑵解決應用問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型.

（）

⑶某產(chǎn)品的銷售收入y（萬元）是產(chǎn)量M千臺）

的函數(shù):yi=17%2（x〉o）,生產(chǎn)成本以萬元）是產(chǎn)

量工（千臺）的函數(shù)竺=2%3.%2+1。＞0）為使利

潤最大，應生產(chǎn)6千臺.（）

【對接教材】

把長為12厘米的細鐵絲鋸成兩段,各自圍

成一個正三角形，那么這兩個正三角形的面

積之和的最小值是（）.

A.苧cn?B.4cm2

C.3V2cm2D.2V3cm2

已知某正方形底無蓋水箱的容積為256,若

要做一個這樣的水箱，且用料最省，則它的高

為（）.

A.4B.4.5C.6D.8

【易錯自糾】

4.（2022.安徽六安模擬）某產(chǎn)品的銷售收入

6（萬元）關(guān)于產(chǎn)量%（千臺）的函數(shù)解析式為

>1=15y（%〉0）,生產(chǎn)成本”（萬元）關(guān)于產(chǎn)量

M千臺）的函數(shù)解析式為'2=段任?&〉0）,為

使利潤最大，應生產(chǎn)產(chǎn)品（）.

A.9千臺B.8千臺

C.7千臺D.6千臺

5.（2022.山西太原模擬）現(xiàn)有橡皮泥制作的底

面半徑為4,高為3的圓錐一個.若將它重新制

作成一個底面半徑為匕高為h的圓柱（橡皮泥

沒有浪費）,則該圓柱表面積的最小值為

A.20兀B.24兀C.28兀D.3271

講考點考向力精研考向錘煉技能

費用、用料最省問題【題組過關(guān)】

1.（2022.江西南昌模擬）海輪每小時使用的燃