【維設計】屆高考數學輪復習(基礎知識高頻考點解題訓練)空間幾何體的表面積和體積教學案

#/16第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積1E基礎知識要打牢強雙基固本源得基礎分掌握程度知識能否憶起柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱=n側=_=n 圓錐=n_側=3=3" =3”4—圓臺=n +)側=3上+下X上下)=zn ++ )3直棱柱=側一=_正棱錐=-‘側=3正棱臺=—+')/側=3上+下Z上?下)球=n球面——=n33n［小題能否全取］i教材習題改編)側面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長為時，該三棱錐的全面積是()23 .解析：選 ???側面都是直角三角形，故側棱長等于工a???全=近+3X-xf￡)=3±理

.已知正四棱錐的側棱與底面的邊長都為342則這個四棱錐的外接球的表面積為cn d n8解析：選依題意得，該正四棱錐的底面對角線長為3cX『=6,高為\；：'3-<一11X6)=3,因此底面中心到各頂點的距離均等于3,所以該四棱錐的外接球的球心為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3,所以其外接球的表面積等于nX3=36n3.某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖是一個底邊長為8,高為5的等腰三角形,側視圖是一個底邊長為6,高為5的等腰三角形,則該幾何體的體積為()A.24 B.80C.64 D.240解析：選 結合題意知該幾何體是四棱錐，棱錐底面是長和寬分別為8和6的矩形，棱錐的高是5,可由錐體的體積公式得=-X8X6X5=834教材習題改編表面積為3n的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為 . 解析：設圓錐的母線為，圓錐底面半徑為，則n+n=3n,n=n解得=,即直徑為答案：25.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是腰長為2的等腰三角形,側視圖是半徑為的半圓,則該幾何體的表面積是解析：由三視圖可知此幾何體的表面積分為兩部分：底面積即俯視圖的面積，為23側面積為一個完整的圓錐的側面積，且圓錐的母線長為，底面半徑為，所以側面積為n兩部分加起來即為幾何體的表面積，為n+V3)答案：n+V3.幾何體的側面積和全面積：幾何體側面積是指(各個)側面面積之和,而全面積是側面積與所有底面積之和.對側面

積公式的記憶，最好結合幾何體的側面展開圖來進行．2．求體積時應注意的幾點：(1)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補的方法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．(2)與三視圖有關的體積問題注意幾何體還原的準確性及數據的準確性．3．求組合體的表面積時注意幾何體的銜接部分的處理．1^1高頻考點要通關 抓考點 學技法得拔高分 掌握程度■■■■GAOPINKAODIANYAOTONGGUAN 幾何體的表面積典典題導入例1 (2012?安徽高考)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是自主解答］由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱(如圖所示)．在四邊形中，作±,垂足為在四邊形中，作±,垂足為，貝U=4,=則=5所以其表面積為2X1X（2+5）X4+2X4+4X5+4X5+4X4=22［答案］92由由題悟法1．以三視圖為載體的幾何體的表面積問題,關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數量．

2．多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．3．旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用．以以題試法1.(2012?河南模擬)如圖是某寶石飾物的三視圖，已知該飾物的正視圖、側視圖都是面積為手，且一個內角為60°的菱形，俯視圖為正方形，那么該飾物的表面積為(). .2mc4-73 d4解析：選依題意得，該飾物是由兩個完全相同的正四棱錐對接而成，正四棱錐的底面邊長和側面上的高均等于菱形的邊長，因此該飾物的表面積為8X&X1XlJ=4幾何體的體積典典題導入例2 (1)(2012?廣東高考)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為()俯視圖俯視圖的棱長為1，b48n的棱長為1，(2)(2012?山東高考)如圖，正方體一為線段1上的一點，則三棱錐一1的體積為［自主解答］(1)圓錐的底面半徑為3，高為圓錐的底面半徑為3，高為4，半球的半徑為314 1半球+圓錐=2?鏟?33+3?n?32?4=30n小 1人 111⑵一0—1=3X△1X=3X2X1=6

答案⑴（2）1>>>一題多變本例（1）中幾何體的三視圖若變?yōu)椋焊┮晥D俯視圖其體積為圓柱圓解析：由三視圖還原幾何體知，該幾何體為圓柱與圓錐的組合體，其體積圓柱圓=nX32X4—1nX32X4=24n錐3答案：24n2由題悟法1．計算柱、錐、臺體的體積，關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高，應注意充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題求解．2．注意求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、轉化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法，應熟練掌握．3.等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面.①求體積時，可選擇容易計算的方式來計算；②利用“等積法”可求“點到面的距離”.3以題試法2.（1）（2012?長春調研）四棱錐一的底面 為正方形，且垂直于底面 ，為中點，則三棱錐一與四棱錐一 的體積比為（）.1：4 d1：解析：選設正方形 面積為， =h則體積比為

11111．2(2012?浙江模擬如圖，是某幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積是(．2．3232解析：選 此幾何體是高為2的棱柱，底面四邊形可切割成為一個邊長為3的正方形和2個直角邊分別為31的直角三角形，其底面積=+2X；X3X1=12,乙所以幾何體體積=12X2=2與球有關的幾何體的表面積與體積問題與球有關的幾何體的表面積與體積問題典典題導入例3 (2012?新課標全國卷已知三棱錐一的所有頂點都在球的球面上，△是邊長為1的正三角形,為球的直徑，且=2,則此棱錐的體積為(.2.3選

.2自主解答由于三棱錐一與三棱錐一底面都是例3 (2012?新課標全國卷已知三棱錐一的所有頂點都在球的球面上，△是邊長為1的正三角形,為球的直徑，且=2,則此棱錐的體積為(.2.3選

.2自主解答由于三棱錐一與三棱錐一底面都是4是的中點，因此三棱錐一的高是三棱錐高的2倍所以三棱錐一的體積也是三棱錐一體積的2倍.在三棱錐一中，其棱長都是1，如圖所示，,12一=2c1\''3'「?2=2^rX-1!-X^—="i-C3436

=2答案2由題悟法1．解決與球有關的“切”、“接”問題，一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面，把空間問題轉化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關系．2．記住幾個常用的結論：(1)正方體的棱長為，球的半徑為，①正方體的外接球，則2=<a②正方體的內切球，則2=；③球與正方體的各棱相切，則2=%：2(2)長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,,外接球的半徑為，則2K2+2+2(正四面體的外接球與內切球的半徑之比為1：3以題試法.(1)(2012?瓊州模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，(2)(2012?濰坊模擬)如圖所示，、d(2)(2012?濰坊模擬)如圖所示，、d，平面， ，， =1n解析：(1)由三視圖可知幾何體的直觀圖如圖所示.其中側面，底面，取的中點J連接oJ底面 且1=/3 1=1， ]=1=1

在△ 1和△ 1中，==72,又?:=2,AZ=90°.???為底面 外接圓的直徑，1為圓心,又：o底面，二球心在1上，即4 的外接圓為球大圓，設球半徑為則(%；—2+12=2,；.=干.3(2)1n=n2=n2=nXTOC\o"1-5"\h\z的半徑為，則正方體的體對角線長即為球 的直徑，所以 =2~^2~2+~^2~2+~忑~2=2,所以=q.故球的體積=4-=%「n.答案：(1 (2)-n解題訓練要高效 抓速度抓規(guī)范拒絕眼高手低掌握程度JIETIXUNLIANYAOGAOXIAO . 一全員必做題1.(2012?北京西城模擬某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體 、 八的體積是(+1川十 H+L的體積是(解析：選將三視圖還原，直觀圖如圖所示，可以看出，這是一個底面為正方形(對角線長為2,高為2的四棱錐，其體積=-正方形X解析：選將三視圖還原，直觀圖如圖所示，可以看出，這是一個底面為正方形(對角線長為2,高為2的四棱錐，其體積=-正方形X=1x1X2X2X2=—.2.(2012?山西模擬已知矩形 的頂點都在半徑為的球的球面上，且=3=2,則棱錐一的體積為(解析：選依題意得，球心在底面 上的射影是矩形 的中心，因此棱錐一 的高等于飛）42一田一 的高等于飛）42一田32+22）=彳1所以棱錐一=11的體積等于1X（3X2）xg1

323.（2012?馬鞍山二模）如圖是一個幾何體的三視圖，則它的表面積為（）1n解析：選由三視圖可知該幾何體是半徑為1的球被挖出了1部分得到的幾何體，故表面積為, 1 1一?4n^12+3?4?n?12=^^4.（2012?濟南模擬）用若干個大小相同，棱長為1的正方體擺成一個立體模型，其三視圖如圖所示，則此立體模型的表面積為（）A.24 B.23C.22 D.21解析：選 這個空間幾何體是由兩部分組成的，下半部分為四個小正方體，上半部分為一個小正方體，結合直觀圖可知，該立體模型的表面積為22..（2012?江西高考）若一個幾何體的三視圖如下圖所示，則此幾何體的體積為（）

11了.11了.2．4解析：選由三視圖可知，所求幾何體是一個底面為六邊形，高為1的直棱柱，因此解析：選只需求出底面積即可.由俯視圖和主視圖可知，底面面積為1X2+2X；X2X1=4,所以該2幾何體的體積為4X1=4如圖，正方體 一,bcd的棱長為4,動點，在棱上，且=2,動點在棱dc上，則三棱錐a一的體積(.與點，位置有關.與點位置有關.與點，，位置都有關.與點，，位置均無關，是定值解析：選 因為，_=_,=1x[2x2X4jx4=13,故三棱錐a一的體積與點，，的位置均無關，是定值..(2012?湖州模擬如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成,則該多面體的體積是 ． 解析：由題知該多面體為正四棱錐,底面邊長為1,側棱長為1,斜1__=-X1X1X2一―1__=-X1X1X連接頂點和底面中心即為高，可求得高為方，所以體積林生、：’2答案：一.(2012?上海高考若一個圓錐的側面展開圖是面積為2n的半圓面，則該圓錐的體積為 ． 解析：因為半圓的面積為2n，所以半圓的半徑為2,圓錐的母線長為2底面圓的周長為2n，所以底面圓的半徑為1,所以圓錐的高為/，體積為/口

答案：下9(2013?鄭州模擬在三棱錐—中，==,====,則該三棱錐的外接球的表面積為 ． 解析：依題意得，該三棱錐的三組對棱分別相等，因此可將該三棱錐補形成一個長方體，2＋、2=62，設該長方體的長、寬、高分別為、、，且其外接球的半徑為設該長方體的長、寬、高分別為、、，且其外接球的半徑為，則j2＋c2=,2，、2+2=2,得2+2得2+2+2=3即(22=2+2+2=3易知即為該三棱錐的外接球的半徑，所以該三棱錐的外接球的表面積為n2=n答案：n10.(2012?江西八校模擬如圖，把邊長為2的正六邊形C答案：n10.(2012?江西八校模擬如圖，把邊長為2的正六邊形C沿對角線折起，使(1)求證：面的體積.(2)求五面體解：設原正六邊形中，，DCF，由正六邊形的幾何性質可知O=A=\13,(1解：設原正六邊形中，，DCF，由正六邊形的幾何性質可知O=A=\13,(1證明：在五面體中,2A＋O2C=2C，，平面U，平面U平面???平面，平面(2)由，平面，同理，平面，，平面〃平面???平面，平面(2)由，平面，同理，平面，，平面〃平面是側棱長(高)為2的直三棱柱，且三棱錐為大小相同的三棱錐，=2 +=2x|x1x(^132X1+1X(\1'32X2=3 2 211.(2012?大同質檢如圖，在四棱錐一 中，底面是直角梯形，其中X, 〃， =4 =2,側面 是邊長為2的等邊三角形，且與底面 垂直，為的中點.

(1求證：〃平面；(2求三棱錐一的體積.解：(1證明：如圖，取的中點，連接，在直角梯形 中， 〃，且=4, =2,所以觸所以四邊形 為平行四邊形.所以〃在4中，=,=,所以〃又因為n=,n=b所以平面〃平面因為u平面，所以〃平面(2取的中點，連接在△中，===2,所以±, =d又因為平面，平面，平面n平面=,所以，平面在直角梯形 中，〃，且=4, =2,±,所以△=2xX=2X4X2=4故三棱錐一 的體積_=_=3<^X=-X4X^f=江12.(2012?湖南師大附中月考一個空間幾何體的三視圖及部分數據如圖所示，其正視圖、俯視圖均為矩形,側視圖為直角三角形．(1)請畫出該幾何體的直觀圖,并求出它的體積；(2證明：(1)請畫出該幾何體的直觀圖,并求出它的體積；(2證明：]，平面]]解：(1幾何體的直觀圖如圖所示，四邊形--是矩形，

=<, =]]=1,四邊形11是邊長為『的正方形，且平面垂直于底面 ，故該幾何體是直三棱柱，其體積B1X1X3X故該幾何體是直三棱柱，其體積B1X1X3X^'3=3⑵證明：由（1）知平面］］，平面］］且］J1所以［J平面］］所以11±1因為四邊形］］為正方形，所以］±而11而11GC］，所以］，平面11B級重點選做題1.（2012?濰坊模擬）已知矩形 的面積為，當矩形 周長最小時，沿對角線把4 折起，則三棱錐一的外接球表面積等于（.482n解析：選設矩形長為，寬為.不確定的實數周長把4 折起，則三棱錐一的外接球表面積等于（.482n解析：選設矩形長為，寬為.不確定的實數周長=2（+）三4r=82,當且僅當長有最小值.此時正方形沿折起，===，三棱錐一的四個頂點都在以==2'/2時心，以2為半徑的球上,此球表面積為4nX22=1n2.（2012?江蘇高考）如圖，在長方體=D3解析：A1A=2c由題意得，則四棱錐1111的體積為_2.（2012?江蘇高考）如圖，在長方體=D3解析：A1A=2c由題意得，則四棱錐1111的體積為_-211 3112 1cCC=-X-X3X3X2=

323_答案：3.（2013?深圳模擬）如圖平行四邊形中，=B2,折起，使二面角一一在平面=也，沿將

上的射影為是大小為銳角a的二面角，設3.（2013?深圳模擬）如圖平行四邊形中，=B2,折起，使二面角一一在平面=也，沿將

上的射影為是大小為銳角a的二面角，設的體積最大？最大值為多少?—⑴當a為何值時，三棱錐⑵當±時，求a的大小.解：（1）由題知，平面，二±又，，n=,?，?，平面.??± ???/ =a

\12

6?cosa? ?sina=^Lsin2。W也，當且僅當\12

6?cosa? ?sina=^Lsin2。W也，當且僅當sin2a=,即a=45°時取等號.???當a=45°時，三棱錐一 的體積最大，最大值為X.2連接，:，平面，?，，又±，，平面.±.Z +Z =90°.故N =Z a又Z=Z△s△.=O90°，2 "\/2 2=2在△中，cosa=—=5，得a=60乙教怖備選題1兩球和2在棱長為的正方體點的正方體的三個面相切，球2與過點之和的最小值為(). 6-/n. 6-3~n- 的內部，且互相外切，若球與過1111 1的正方體的三個面相切，則球和2的表面積一4『n+4/n解析：選設球、球2的半徑分別為、則丁++丁2+2='「

從而4從而4n(1+rN4n—3\,3)n..已知某球半徑為，則該球內接長方體的表面積的最大值是（）A．8R2 B．6R2C．4R2 D．2R2解析：選 設球內接長方體的長、寬、高分別為、、，則2+2+2=（2