高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講義空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系 教師

課題：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)1．平面的概念：幾何中所說(shuō)的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來(lái)的．類似于直線向兩端無(wú)限延伸，幾何中的平面是向四周無(wú)限延展的．2．平面的畫法：常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍，如圖①．如果一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來(lái)，如圖②．3．平面的表示法：圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．4．點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系圖①中,點(diǎn)在直線上,記作；點(diǎn)不在直線上,記作

圖②中,點(diǎn)在平面內(nèi),記作；點(diǎn)不在平面內(nèi),記作

圖③中,直線在平面內(nèi),記作

圖④中,直線不在平面內(nèi),記作；直線不在平面內(nèi),記作

5．平面的基本性質(zhì)及作用公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號(hào)語(yǔ)言：。公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。三個(gè)推論：①經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面②經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面③經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線（兩個(gè)平面的交線）符號(hào)語(yǔ)言：公理4：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號(hào)語(yǔ)言：6．定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。（注意：會(huì)畫兩個(gè)角互補(bǔ)的圖形）7．空間兩直線的位置關(guān)系異面直線（1）定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．（2）異面直線的畫法（襯托平面法）如圖①②③所示，為了表示異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面來(lái)襯托．（3）判斷兩直線為異面直線的方法①定義法；②兩直線既不平行也不相交．空間兩條直線的三種位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn),平行直線：在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn))),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)))8．直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)只有1個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)符合表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示9．平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（在一條直線上）符號(hào)表示α∥βα∩β＝l圖形表示典型例題例1點(diǎn)A在直線l上，直線l在平面內(nèi)，用符號(hào)表示，正確的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】點(diǎn)A在直線l上，則，l在平面內(nèi)，則故選：D例2若直線和沒(méi)有公共點(diǎn)，則與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．平行或異面【答案】D【解析】因?yàn)閮芍本€相交只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線平行或異面沒(méi)有公共點(diǎn)，故選：D．例3下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）①三角形是平面圖形；

②四邊形是平面圖形；③四邊相等的四邊形是平面圖形；④圓是平面圖形．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】在①中，有不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，得三角形是一個(gè)是平面圖形，故①為真命題；在②③中，若這四條邊不在同一平面內(nèi)，例如空間四邊形，則該四邊形則不是平面圖形，∴②③為假命題；在④中，圓是平面圖形，∴④為真命題；故選：B．例4（多選）下列敘述中正確的是（

）A．三點(diǎn)能確定一個(gè)平面B．若點(diǎn)且，則C．若直線，則直線與直線能夠確定一個(gè)平面D．若點(diǎn)，且，則【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若點(diǎn)且，則由公理二知，故B正確；對(duì)于C，兩條相交直線可以確定一個(gè)平面，故C正確；對(duì)于D，若點(diǎn)，且，則由公理一知l?α，D正確．故選：BCD．例5如圖所示．是正方體，O是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)M，給出下列結(jié)論：①A、M、O三點(diǎn)共線；

②A、M、O、不共面：③A、M、C、O共面；

④B、、O、M共面，其中正確的序號(hào)為_________．【答案】①③【解析】連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，平面與平面有公共點(diǎn)A與，則平面平面，對(duì)于①，平面，則平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，即A，M，O三點(diǎn)共線，所以①正確，對(duì)于②③，由①知A，M，O三點(diǎn)共線，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②錯(cuò)誤，③正確；對(duì)于④，連接，則都在平面上，若平面，則直線平面，所以平面，顯然平面，所以④錯(cuò)誤，故答案為：①③例6如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說(shuō)法中正確的是（

）直線與直線異面 B．直線與直線共面 C．直線與直線異面 D．直線與直線共面【答案】B【解析】如圖，點(diǎn)與點(diǎn)重合，故A錯(cuò)誤；∵，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴與是共面直線，故B正確；∵，∴與相交，故C錯(cuò)誤；∵，不在一個(gè)平面內(nèi)，且與既不平行也不相交，∴，是異面直線，故D錯(cuò)誤．故選：B．例7如圖，長(zhǎng)方體的12條棱中與異面的共有（

）A．4條 B．5條 C．6條 D．7條【答案】C【解析】由題意，長(zhǎng)方體的12條棱中與異面的有共6條故選：C例8如圖，在三棱柱中，是正三角形，E是的中點(diǎn)，則下列敘述中正確的是（

）A．與是異面直線 B．與共面C．與是異面直線 D．與所成的角為【答案】C【解析】對(duì)于A，由于與都在平面內(nèi)，故與是共面的，故錯(cuò)誤對(duì)于B，由于在平面內(nèi)，而與平面相交于點(diǎn)，點(diǎn)不在上，故與是異面直線，同理，與是異面直線，所以B錯(cuò)誤，C正確．對(duì)于D，與所成角就是與所成角，且E是的中點(diǎn)，也為正三角形，所以，即與所成的角為，故錯(cuò)誤．故選:C．例9（多選）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．直線與直線共面 B．直線與直線異面C．直線與直線共面 D．直線與直線異面【答案】ACD【解析】如圖，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則與相交，故A正確；在正方體中，且，故四邊形為平行四邊形，，則、共面，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故、共面，故C正確；由圖可知，、不在同一個(gè)平面，且、既不平行也不相交，、為異面直線，故D正確．故選：ACD．例10（多選）如圖，在正方體中，M，N分別為棱的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有（）A．直線AM與是相交直線B．直線BN與是異面直線C．AM與BN平行D．直線與BN共面【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，∵四點(diǎn)不共面，∴根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與是異面直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，∵四點(diǎn)不共面，∴根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與是異面直線，故選項(xiàng)B正確；C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)E，連接AE、EN，則有，所以四邊形是平行四邊形，所以，∵AM與AE交于點(diǎn)A，∴AM與AE不平行，則AM與BN不平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，連接，因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，由正方體的性質(zhì)可知：，所以，∴四點(diǎn)共面，∴直線與BN共面，故選項(xiàng)D正確．故選：BD．例11下列說(shuō)法正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．兩個(gè)平面可以只有一個(gè)公共點(diǎn)C．三條平行直線一定共面 D．三條直線兩兩相交，可以確定1個(gè)或3個(gè)平面【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就有一條經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的公共直線，即交線，該交線上有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，三條平行直線可能共面，也可能有一條在另外兩條確定的平面外，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)三條直線兩兩相交，三個(gè)交點(diǎn)不重合時(shí)，三條直線共面，當(dāng)三條直線兩兩相交于一個(gè)點(diǎn)時(shí)，這三條直線可能在同一個(gè)平面內(nèi)，也可能不共面，此時(shí)其中任意兩條直線都可確定一個(gè)平面，即可確定3個(gè)平面，故D正確，故選：D舉一反三1．下列條件中不能確定一個(gè)平面的是（

）A．不共線三點(diǎn) B．兩條相交直線 C．兩條平行直線 D．四邊形【答案】D【解析】A、B、C：由共面公理，三個(gè)不共線的點(diǎn)可以確定一平面、兩條相交直線或平行直線都可以確定一個(gè)平面；D：四邊形有平面四邊形和空間四邊形，故不一定能確定一個(gè)平面．故選：D2．已知表示不同的點(diǎn)，表示直線，表示不同的平面，則下列推理中錯(cuò)誤的是（

）A．，，，B．，，，C．，與重合D．，，【答案】C【解析】對(duì)于A，，，則上所有點(diǎn)均在平面內(nèi)，即，A正確；對(duì)于B，，，在平面與平面的交線上，即，B正確；對(duì)于C，若三點(diǎn)共線，則由，，可得在平面與平面的交線上，無(wú)法得到與重合，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，且，則與相交，即，D正確．故選：C．3．已知四個(gè)選項(xiàng)中的圖形棱長(zhǎng)都相等，且P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在A圖中，分別連接，由正方體可得四邊形為矩形，則，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故，則，所以四點(diǎn)共面．在B圖中，設(shè)為所在棱的中點(diǎn)，分別連接，由A的討論可得，故四點(diǎn)共面，同理可得，故，同理可得，故平面，平面，所以六點(diǎn)共面．在C圖中，由為中點(diǎn)可得，同理，故，所以四點(diǎn)共面．在D圖中，為異面直線，故選：D．4．已知平面，直線，則直線a，b的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．平行或異面【答案】D【解析】平面，直線，如圖在正方體中，令平面，平面，當(dāng)時(shí)，顯然有，當(dāng)時(shí)，顯然有與異面，所以直線a，b的位置關(guān)系為平行或異面，故選：D5．下列命題中正確的是（

）A．過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．四邊形是平面圖形C．三條直線兩兩相交則確定一個(gè)平面 D．兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域【答案】D【解析】選項(xiàng)A：過(guò)不共線的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：四邊形可能是平面圖形也可能是空間圖形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：三條直線兩兩相交可能確定一個(gè)平面也可能確定三個(gè)平面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：平面是無(wú)限延展的，兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域，故選項(xiàng)D正確．故選：D．6．如圖，在長(zhǎng)方體中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)平面 B．直線平面C．直線與直線是相交直線 D．直線與直線是異面直線【答案】D【解析】在長(zhǎng)方體中，直線平面，點(diǎn)，且不重合，即點(diǎn)平面，A不正確；點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，即直線平面，B不正確；直線平面，則與平面無(wú)公共點(diǎn)，直線平面，所以直線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，C不正確；直線平面，即直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，直線平面，則直線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，又，直線，即直線與直線不平行，因此直線與直線是異面直線，D正確．故選：D7．（多選）如圖，在長(zhǎng)方體中，E、F、G、H分別是、、AB、AD的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)A在平面內(nèi) B．C．平面平面 D．直線EH與直線FG相交【答案】AD【解析】連接、、、，若是的中點(diǎn)，連接、，由題設(shè)，且，則為平行四邊形，所以且，又E是中點(diǎn)，故且，則為平行四邊形，所以且，綜上，且，故共面，A正確；由過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該直線平行，且，不可能有，B錯(cuò)誤；由面，面，故面面，又面，而，故平面平面，C錯(cuò)誤；連接，又G、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，則且，E、F分別是、的中點(diǎn)，則且，所以，即共面，且，故直線EH與直線FG相交，D正確．故選：AD課后練習(xí)1．如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表述為（）A．，，B．C．D．【答案】A【解析】由題可知平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，兩直線交于點(diǎn)，所以用符號(hào)語(yǔ)言可表示為，，，故選：A．2．下列推理錯(cuò)誤的是（

）A．，，，B．，，，C．，D．，【答案】C【解析】由，，，根據(jù)公理1可得，A對(duì)，由，根據(jù)公理1可得，D對(duì)，由，可得或，C錯(cuò)，由，，，根據(jù)公理2可得，B對(duì)，故選：C3．（多選）已知A，B，C表示不同的點(diǎn)，l表示直線，α，β表示不同的平面，則下列推理正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A：,則點(diǎn)A可能在面α內(nèi)，也可能不在面α內(nèi)．故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：為公理2，可判斷面面相交．故B正確；對(duì)于C：為公理1，可判斷出線在面內(nèi)．故C正確；對(duì)于D：說(shuō)明直線與平面有公共點(diǎn)，又，所以．故D正確．故選：BCD．4．（多選）設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，下列說(shuō)法不正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，則【答案】AB【解析】當(dāng)時(shí)，P∈a，，但α，A錯(cuò)；當(dāng)a∩β=P時(shí)，,B錯(cuò)；∵，P∈b，∴，∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α，又，由a與b確定唯一平面，該平面經(jīng)過(guò)直線a與點(diǎn)P，∴該平面與α重合，∴，故C正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故D正確．故選：AB．5．在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)為M，O為線段B1D1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．A，M，O三點(diǎn)共線 B．M，O，A1，A四點(diǎn)共面C．B，B1，O，M四點(diǎn)共面 D．A，O，C，M四點(diǎn)共面【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t，，，四點(diǎn)共面．因?yàn)椋瑒t平面，又平面，則點(diǎn)在平面與平面的交線上，同理，、也在平面與平面的交線上，所以、、三點(diǎn)共線，從而，，，四點(diǎn)共面，，，，四點(diǎn)共面．由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：，是異面直線，即，，，四點(diǎn)不共面．故選：C．6．下列命題中①空間中三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．②直線和直線外的一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面．③如果三條直線兩兩相交，那么這三條直線可以確定一個(gè)平面．④如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線可以確定一個(gè)平面．⑤如果兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合．真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】命題①：空間中不共線三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，錯(cuò)誤；命題②：直線和直線外的一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面，正確；命題③：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點(diǎn)，則無(wú)法確定一個(gè)平面，所以命題③錯(cuò)誤；命題④：如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線不能確定一個(gè)平面，所以命題④錯(cuò)誤；命題⑤：兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則兩平面可能相交，所以命題⑤錯(cuò)誤；故選：A．7．（多選）有下列命題：①經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②梯形可以確定一個(gè)平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平