南京農業(yè)大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計各章重點知識整理

1.AB=(A與B互不相容或互斥)事件A與B不能同時發(fā)生；2.AB=且A∪B=S(A與B互為逆事件或對立事件)德?摩根律A=(AB)(AB￣)3.概率：對于E的每一事件A賦予一個實數(shù),記為P(A),稱為事件A的概率。對于兩兩互不相容的事件A1,A2,…(AiAj=φ,i≠j,i,j=1,2,…),P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…4.性質：(1)P()=0；(2)有限可加性：對于n個兩兩互不相容的事件A1,A2,…,An,P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(有限可加性與可列可加性合稱加法定理)(3)若AB,則P(A)≤P(B),P(B-A)=P(B)-P(A)；(4)對于任一事件A,P(A)≤1,P(A)=1-P(A)；(5)加法定理:對于任意二事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).5.條件概率:P(B|A)=P(AB)/P(A)(P(A)>0)。6.乘法定理：P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0)。P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0).7.B1,B2,…,Bn是樣本空間S的一個劃分(BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n,B1∪B2∪…∪Bn=S),則,當P(Bi)>0時,有全概率公式P(A)=(知因求果)當P(A)>0,P(Bi)>0時,有貝葉斯公式P(Bi|A)=.8．獨立性：滿足P(AB)=P(A)P(B)稱A、B為相互獨立的事件。(1)A,B相互獨立P(B)=P(B|A)；(2)若A與B,A與,與B,,與中有一對相互獨立,則另外三對也相互獨立；（3）三個事件A,B,C滿足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),稱A,B,C三事件兩兩相互獨立；若再滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱A,B,C三事件相互獨立；（4）n個事件A1,A2,…,An,如果對任意k(1<k≤n),任意1≤i1<i2<…<ik≤n.有,則稱這n個事件A1,A2,…,An相互獨立。9．隨機變量X的分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}其性質為:(1)0≤F(x)≤1,F(-∞)=0,F(∞)=1.(2)F(x)單調不減,即若x1<x2,則F(x1)≤F(x2)；(3)F(x)右連續(xù),即F(x+0)=F(x).(4)P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1).10.離散型隨機變量的分布律P{X=xk}=pk(k=1,2,…)其性質為:(1)非負性0≤Pk≤1;(2)歸一性11.三種離散型隨機變量的分布(1)X~(0-1)分布：P{X=k}=p,P{X=0}=1–p(0<p<1).(2)X~b(n,p)參數(shù)為n,p的二項分布P{X=k}=(k=0，1..)(0<p<1)(3))X~()參數(shù)為的泊松分布P{X=k}=(k=0,1,2,…)(>0)12.連續(xù)型隨機變量(1).定義：如果F(x)=,-∞<x<∞,則稱X為連續(xù)型隨機變量,其中f(x)稱為X的概率密度(函數(shù)).(2).概率密度的性質：(1)非負性f(x)≥0;(2)歸一性=1;(3)P{x1<X≤x2}=13.三種連續(xù)型隨機變量分布(1)X～U(a,b)區(qū)間(a,b)上的均勻分布.F(x)=x-a/b-a(2)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.(q>0).(3)X~N(,2)參數(shù)為m,s的正態(tài)分布-<x<,s>0.特別,m=0,s2=1時,稱X服從標準正態(tài)分布,記為X~N(0,1),其概率密度,標準正態(tài)分布函數(shù),(-x)=1-Φ(x).若X～N((m,s2),則Z=~N(0,1),P{x1<X≤x2}=Φ()-Φ().若P{Z>za}=P{Z<-za}=P{|Z|>za/2}=a,則點za,-za,za/2分別稱為標準正態(tài)分布的上,下,雙側a分位點.注意：F(z)=1-,z1-a=-za.14.隨機變量X的函數(shù)Y=g(X)的分布:連續(xù)型隨機變量的函數(shù):若X的概率密度為fX(x),則求其函數(shù)Y=g(X)的概率密度fY(y)常用兩種方法：(1)分布函數(shù)法:先求Y的分布函數(shù)FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=其中Δk(y)是與g(X)≤y對應的X的可能值x所在的區(qū)間(可能不只一個),然后對y求導即得fY(y)=FY/(y).(2)公式法:若g(x)處處可導,且恒有g/(x)>0(或g/(x)<0),則Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量,其概率密度為其中h(y)是g(x)的反函數(shù),=min(g(-),g())=max(g(-),g()).如果f(x)在有限區(qū)間[a,b]以外等于零,則=min(g(a),g(b))=max(g(a),g(b)).15.二維隨機變量分布函數(shù)的性質：(1)F(x,y)分別關于x和y單調不減.(2)0≤F(x,y)≤1,F(x,-)=0,F(-,y)=0,F(-,-)=0,F(,)=1.(3)F(x,y)關于每個變量都是右連續(xù)的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)對于任意實數(shù)x1<x2,y1<y2，P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)16.二維連續(xù)型隨機變量及其聯(lián)合概率密度 1.定義：如果F(x,y)=則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量,稱f(x,y)為(X,Y)的(X和Y的聯(lián)合)概率密度.2.性質：(1)非負性f(x,y)≥0；(2)歸一性：；(3)若f(x,y)在點(x,y)連續(xù),則(4)若G為xoy平面上一個區(qū)域,則.17.邊緣分布:(X,Y)關于X的邊緣分布函數(shù)FX(x)=P{X≤x,Y<}=F(x,);關于Y的邊緣分布函數(shù)FY(y)=P{X<,Y≤y}=F(,y)18.二維離散型隨機變量(X,Y):關于X的邊緣分布律P{X=xi}==pi·(i=1,2,…)關于Y的邊緣分布律P{Y=yj}==p·j(j=1,2,…)19.二維連續(xù)型隨機變量(X,Y):關于X的邊緣概率密fX(x)=歸一性;關于Y的邊緣概率密度fY(y)=歸一性20.相互獨立的隨機變量：若對一切實數(shù)x,y,均有F(x,y)=FX(x)FY(y),則稱X和Y相互獨立.離散型X和Y相互獨立pij=pi··p·j；連續(xù)型X和Y相互獨立f(x,y)=fX(x)fY(y)21．條件分布：二維離散型：設(X,Y)是二維離散型隨機變量,對于固定的j,若P{Y=yj}>0,則稱P{X=xi|Y=yj}為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律.同樣,對于固定的i,若P{X=xi}>0,則稱P{Y=yj|X=xi}為在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律.22.數(shù)學期望和方差的定義隨機變量X 離散型變量 連續(xù)型變量 分布律P{X=xi}=pi概率密度f(x)E(X) D(X)=E{[X-E(X)]2}函數(shù)E(Y)=E[g(X)]23.數(shù)學期望與方差的性質:1.c為為任意常數(shù)時,E(c)=c,E(cX)=cE(X),D(c)=0,D(cX)=c2D(X).2.X,Y為任意隨機變量時,E(X±Y)=E(X)±E(Y).3.X與Y相互獨立時,E(XY)=E(X)E(Y),D(X±Y)=D(X)+D(Y).4.D(X)=0P{X=C}=1,C為常數(shù).24.六種重要分布的數(shù)學期望和方差E(X)D(X)1.X~(0-1)分布P{X=1}=p(0<p<1) p p(1-p)2.X~b(n,p)(0<p<1)np np(1-p)3.X~()l4.X~U(a,b)(a+b)/2(b-a)2/125.參數(shù)為的指數(shù)分布 26.X~N(,2)225.樣本均值樣本方差樣本標準差S樣本k階矩(k=1,2,…)樣本k階中心矩(k=1,2,…)26.2分布(1)定義:若X～N(0,1),則Y=~c2(n)自由度為n的c2分布.(2)性質:①若Y~c2(n),則E(Y)=n,D(Y)=2n.②若Y1~c2(n1)Y2~c2(n2),則Y1+Y2~c2(n1+n2).③若X~N(m,s2),則~c2(n-1),且與S2相互獨立.(3)分位點若Y~c2(n),0<<1,則滿足的點分別稱為c2分布的上、下、雙側分位點.27.t分布:若X~N(0,1),Y~c2(n),且X,Y相互獨立,則t=~t(n)自由度為n的t分布.(2)性質①n→∞時,t分布的極限為標準正態(tài)分布.②X～N(m,s2)時,~t(n-1).③兩個正態(tài)總體 相互獨立的樣本樣本均值樣本方差X~N(m1,s12)且s12=s22=s2X1,X2,…,Xn1S12Y~N(m2,s22) Y1,Y2,…,Yn2S22則~t(n1+n2-2),其中(3)分位點t~t(n),0<a<1,則滿足的點分別稱t分布的上、下、雙側a分位點.注意:t1-a(n)=-ta(n).4.F分布(1)定義若U~c2(n1),V~c2(n2),且U,V相互獨立,則F=~F(n1,n2)自由度為(n1,n2)的F分布.(2)性質(條件同3.(2)③)~F(n1-1,n2-1)(3)分位點若F~F(n1,n2),0<a<1,則滿足的點分別稱為F分布的上、下、雙側a分位點.注意:28．參數(shù)估計一.點估計總體X的分布中有k個待估參數(shù)1,2,…,k.X1,X2,…,Xn是X的一個樣本,x1,x2,…,xn是樣本值.1.矩估計法先求總體矩解此方程組,得到,以樣本矩Al取代總體矩l(l=1,2,…,k)得到矩估計量,若代入樣本值則得到矩估計值.2.最大似然估計法：若總體分布形式(可以是分布律或概率密度)為p(x,q1,q2,…,qk),稱樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布為似然函數(shù).取使似然函數(shù)達到最大值的,稱為參數(shù)q1,q2,…,qk的最大似然估計值,代入樣本得到最大似然估計量.若L(q1,q2,…,qk)關于q1,q2,…,qk可微,則一般可由似然方程組或對數(shù)似然方程組(i=1,2,…,k)求出最大似然估計.3.估計量的標準：無偏性若E()=q,則估計量稱為參數(shù)q的無偏估計量.不論總體X服從什么分布,E()=E(X),E(S2)=D(X),E(Ak)=k=E(Xk),即樣本均值,樣本方差S2,樣本k階矩Ak分別是總體均值E(X),方差D(X),總體k階矩k的無偏估計,(2)有效性：若E(1)=E(2)=q,而D(1)<D(2),則稱估計量1比2有效.(3)一致性(相合性)若n→∞時,,則稱估計量是參數(shù)q的相合估計量.二.區(qū)間估計1.求參數(shù)q的置信水平為1-a的雙側置信區(qū)間的步驟(1)尋找樣本函數(shù)W=W(X1,X2,…,Xn,q),其中只有一個待估參數(shù)q未知,且其分布完全確定.(2)利用雙側a分位點找出W的區(qū)間(a,b),使P{a<W<b}=1-a.(3)由不等式a<W<b解出則區(qū)間()為所求.2.單個正態(tài)總體待估參數(shù)其它參數(shù)樞軸量及其分布置信區(qū)間ms2已知~N(0,1)()ms2未知~t(n-1)s2m未知~2(n-1)3.兩個正態(tài)總體(1)均值差m1-m2其它參數(shù)樞軸量及其分布置信區(qū)間~