奧數基礎-一次函數(含解答)-

第一節(jié)一次函數例題剖析例1〔2006年“信利杯〞全國初中數學競賽〔廣西賽區(qū)〕〕直線L經過〔2，0〕和〔0，4〕，把直線L沿x軸的反方向向左平移2個單位，得到直線L′，那么直線L′的解析式為_______．分析：先求出直線解析式y(tǒng)=kx+b，再抓住平移k不變，進行求解．解：因為過〔2，0〕和〔0，4〕的直線L解析式是y=-2x+4，設向左平移2個單位得到的直線L′解析式是y=-2x+m，將它與x軸的交點坐標〔0，0〕代入得m=0，所以直線L′的解析式為y=-2x．評注：直線y=kx+b平移時k值不變，上下平移時再抓住與y軸的交點變化，左右平移時再抓住與x軸的交點變化就能得解．例2〔2000年全國初中數學競賽試題〕一個一次函數圖象與直線y=x+平行，與x軸、y軸的交點分別為A、B，并且過點〔-1，-25〕，那么在線段AB上〔包括端點A、B〕，橫、縱坐標都是整數的點有〔〕．〔A〕4個〔B〕5個〔C〕6個〔D〕7個分析：根據所求一次函數圖象與直線y=x+平行且過點〔-1，-25〕，即可確定該函數的解析式，然后采用列舉法進行分析．解：設與直線y=x+平行的直線的方程為y=x+k，又〔-1，-25〕在直線y=x+k上，得k=-．因為A、B為y=x-與x軸、y軸的交點，所以A〔19，0〕，B〔0，-〕．又y=x-=〔x-19〕，0≤x≤19，x-19必須是4的整數倍，只有當x=3，7，11，15，19時，y為整數，因此在線段AB上〔包括端點A、B〕，橫、縱坐標都是整數的點有5個，選B．評注：所謂橫坐標、縱坐標都是整數的點，即求該函數解析式〔二元一次方程〕在某范圍內的整數解．例3〔2005年富陽市初二數學競賽〕不管k為何值，解析式〔2k-1〕x-〔k+3〕y-〔k-11〕=0表示的函數的圖象經過一定點，那么這個定點是_______．分析：該題是“直線束〞問題，可在k的取值范圍內取兩個定值兩條特殊直線求得交點，再證明其他直線必過此點．解：因為函數是一次函數，故k+3≠0，分別令k=1與k=2，得解得,即兩特殊直線相交于點A〔2，3〕，而當x=2時，函數式為2〔2k-1〕-〔k+3〕y-〔k-11〕=0．整理得〔k+3〕y=3〔k+3〕，所以k取不等于-3的任何值時，y=3．當x=2時，必得y=3．不管k為何值該一次函數的圖象恒過定點〔2，3〕．評注：利用“不管〞性，取k的任意兩個特殊值，代入函數關系式，求出x、y的值，再驗證所求得的x、y值適合函數關系式，從而確定函數圖象恒過定點，這是解決這類問題常用的方法．此外此題還可利用一次方程ax=b有無數解的條件來解，同學們不妨一試．例4〔2005年富陽市初二數學競賽〕在一次函數y=-x+3的圖象上取一點P，作PA⊥x軸，垂足為A，作PB⊥y軸，垂足為B，且矩形OAPB的面積為，那么這樣的點P共有〔〕〔A〕4個〔B〕3個〔C〕2個〔D〕1個分析：設點P的坐標為〔x，-x+3〕，那么矩形OAPB的面積表示為│x│×│-〔-x+3〕│=│x2-3x│=，然后分兩種情況進行討論．解：選〔B〕．評注：此題通過數形互動，結合一元二次方程實根個數來確定符合條件的點的個數，這是解決這類問題常用方法．此外，由點的坐標表示距離時，不能忘記加絕對值．例5〔2006年全國初中數學競賽〔浙江賽區(qū)〕復賽試題〕設0<k<1，關于x的一次函數y=kx+〔1-x〕，當1≤x≤2時的最大值是〔〕〔A〕k〔B〕2k-〔C〕〔D〕k+分析：y=〔k-〕x+，∵0<k<1，∴k-=<0，該一次函數的值隨x的增大而減小，當1≤x≤2時，最大值為k-+=k．解：選〔A〕．評注：對于自變量有限范圍的一次函數極值問題，應結合一次函數的增減性來確定．例6〔2006年全國初中數學競賽〔浙江賽區(qū)〕初賽試題〕設直線y=kx+k-1和直線y=〔k+1〕x+k〔k是正整數〕與x軸圍成的三角形面積為Sk，那么S1+S2+S3+…+S2006的值是_______．分析：先求出直線y=kx+k-1和直線y=〔k+1〕x+k的交點，再求出這兩條直線與x軸圍成的三角形面積Sk的表達式．解：因為方程組的解為所以這兩直線的交點〔-1，-1〕，直線y=kx+k-1和直線y=〔k+1〕x+k〔k是正整數〕與x軸的交點分別是〔，0〕，Sk=|-1|×||=|-|．所以S1+S2+S3+…S2006=〔1-+-+-+…+．評注：此題在求解過程中的關鍵是：將拆成-，這是常用技巧．例7〔1997年江蘇省初中數學競賽試題〕有一個附有進、出水管的容器，每單位時間進、出的水量都是一定的．設從某時該開始5min內只進水不出水，在隨后的15min內既進水又出水，得到時間x〔min〕與水量y〔L〕之間的關系如圖．假設20min后只放水不進水，那么這時〔x≥20時〕y與x的函數關系是________．分析：據圖象可知：開始5min，只進水不出水，共進了20L水，每分鐘進水4L．隨后的15min內既進水又出水，實際水量增加了35-20=15L，每分鐘水量增加1L，說明出水管每分鐘出水3L．因為水量是固定的，每分鐘3L，所以20min后，總水量為35L．解：y=35-3〔x-20〕，即y=-3x+95〔20≤x≤〕．評注：仔細審題，觀察圖象，應弄清進水時，每分鐘4L；既進又放時，每分鐘凈增水1L，故每分鐘放水為3L，這是解此題的關鍵．例8〔2006年全國初中數學競賽〔海南賽區(qū)〕〕在平面直角坐標系中，A〔2，-2〕，點P是y軸上一點，那么使AOP為等腰三角形的點P有〔〕〔A〕1個〔B〕2個〔C〕3個〔D〕4個分析：分三種情況來討論，即：如下圖，①以O為頂點的等腰三角形有：△OP1A，△OP2A；②以A為頂點的等腰三角形是△OP3A；③以P為頂點的等腰三角形是△OP解：選〔D〕．評注：分類討論是重要的數學思想方法，競賽題中經常出現需要分類的考題，這類問題的求解，既要有扎實的根底知識，也要有一定的分析問題和綜合解決問題的能力，要強化這方面的訓練．例10〔2006年四川省數學競賽初二初賽試題〕平面直角坐標系內有A〔2，-1〕，B〔3，3〕兩點，點P是y軸上一動點，求P到A、B距離之和最小時的坐標．分析：根據幾何模型，得出點A關于y軸對稱點A′的坐標，再由待定系數法求出直線A′B解析式，就可得解．解：如圖，點A關于y軸對稱的點為A′〔-2，-1〕，設過A′、B兩點的直線的一次函數為y=kx+b，有解得∴y=x+．當x=0時，y=，即直線A′B與y軸交于點〔0，〕，可得所求點P的坐標為〔0，〕．評注：此題把幾何中最短距離問題代數化，解題關鍵是應用軸對稱和一次函數相關知識來求解．此類問題還可改為在x軸上或在坐標軸上求一點P，同學們不妨思考一下．穩(wěn)固練習

一、選擇題：1．y與x+3成正比例，并且x=1時，y=8，那么y與x之間的函數關系式為〔〕〔A〕y=8x〔B〕y=2x+6〔C〕y=8x+6〔D〕y=5x+32．假設直線y=kx+b經過一、二、四象限，那么直線y=bx+k不經過〔〕〔A〕一象限〔B〕二象限〔C〕三象限〔D〕四象限3．直線y=-2x+4與兩坐標軸圍成的三角形的面積是〔〕〔A〕4〔B〕6〔C〕8〔D〕164．假設甲、乙兩彈簧的長度y〔cm〕與所掛物體質量x〔kg〕之間的函數解析式分別為y=k1x+a1和y=k2x+a2，如圖，所掛物體質量均為2kg時，甲彈簧長為y1，乙彈簧長為y2，那么y1與y2的大小關系為〔〕〔A〕y1>y2〔B〕y1=y2〔C〕y1<y2〔D〕不能確定5．設b>a，將一次函數y=bx+a與y=ax+b的圖象畫在同一平面直角坐標系內，那么有一組a，b的取值，使得以下4個圖中的一個為正確的選項是〔〕6．假設直線y=kx+b經過一、二、四象限，那么直線y=bx+k不經過第〔〕象限．〔A〕一〔B〕二〔C〕三〔D〕四7．一次函數y=kx+2經過點〔1，1〕，那么這個一次函數〔〕〔A〕y隨x的增大而增大〔B〕y隨x的增大而減小〔C〕圖像經過原點〔D〕圖像不經過第二象限8．無論m為何實數，直線y=x+2m與y=-x+4的交點不可能在〔〕〔A〕第一象限〔B〕第二象限〔C〕第三象限〔D〕第四象限9．要得到y(tǒng)=-x-4的圖像，可把直線y=-x〔〕．〔A〕向左平移4個單位〔B〕向右平移4個單位〔C〕向上平移4個單位〔D〕向下平移4個單位10．假設函數y=〔m-5〕x+〔4m+1〕x2〔m為常數〕中的y與x成正比例，那么m的值為〔〕〔A〕m>-〔B〕m>5〔C〕m=-〔D〕m=511．假設直線y=3x-1與y=x-k的交點在第四象限，那么k的取值范圍是〔〕．〔A〕k<〔B〕<k<1〔C〕k>1〔D〕k>1或k<12．過點P〔-1，3〕直線，使它與兩坐標軸圍成的三角形面積為5，這樣的直線可以作〔〕〔A〕4條〔B〕3條〔C〕2條〔D〕1條13．abc≠0，而且=p，那么直線y=px+p一定通過〔〕〔A〕第一、二象限〔B〕第二、三象限〔C〕第三、四象限〔D〕第一、四象限14．當-1≤x≤2時，函數y=ax+6滿足y<10，那么常數a的取值范圍是〔〕〔A〕-4<a<0〔B〕0<a<2〔C〕-4<a<2且a≠0〔D〕-4<a<215．在直角坐標系中，A〔1，1〕，在x軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，那么符合條件的點P共有〔〕〔A〕1個〔B〕2個〔C〕3個〔D〕4個16．一次函數y=ax+b〔a為整數〕的圖象過點〔98，19〕，交x軸于〔p，0〕，交y軸于〔0，q〕，假設p為質數，q為正整數，那么滿足條件的一次函數的個數為〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕無數17．在直角坐標系中，橫坐標都是整數的點稱為整點，設k為整數．當直線y=x-3與y=kx+k的交點為整點時，k的值可以取〔〕〔A〕2個〔B〕4個〔C〕6個〔D〕8個18．〔2005年全國初中數學聯賽初賽試題〕在直角坐標系中，橫坐標都是整數的點稱為整點，設k為整數，當直線y=x-3與y=kx+k的交點為整點時，k的值可以取〔〕〔A〕2個〔B〕4個〔C〕6個〔D〕8個19．甲、乙二人在如下圖的斜坡AB上作往返跑訓練．：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，〔a<b〕；乙上山的速度是a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同時從點A出發(fā)，時間為t〔分〕，離開點A的路程為S〔米〕，那么下面圖象中，大致表示甲、乙二人從點A出發(fā)后的時間t〔分〕與離開點A的路程S〔米〕之間的函數關系的是〔〕20．假設k、b是一元二次方程x2+px-│q│=0的兩個實根〔kb≠0〕，在一次函數y=kx+b中，y隨x的增大而減小，那么一次函數的圖像一定經過〔〕〔A〕第1、2、4象限〔B〕第1、2、3象限〔C〕第2、3、4象限〔D〕第1、3、4象限答案:1．B2．B3．A4．A5．B提示：由方程組的解知兩直線的交點為〔1，a+b〕，而圖A中交點橫坐標是負數，故圖A不對；圖C中交點橫坐標是2≠1，故圖C不對；圖D中交點縱坐標是大于a，小于b的數，不等于a+b，故圖D不對；應選B．6．B提示：∵直線y=kx+b經過一、二、四象限，∴對于直線y=bx+k，∵∴圖像不經過第二象限，故應選B．7．B提示：∵y=kx+2經過〔1，1〕，∴1=k+2，∴y=-x+2，∵k=-1<0，∴y隨x的增大而減小，故B正確．∵y=-x+2不是正比例函數，∴其圖像不經過原點，故C錯誤．∵k<0，b=2>0，∴其圖像經過第二象限，故D錯誤．8．C9．D提示：根據y=kx+b的圖像之間的關系可知，將y=-x的圖像向下平移4個單位就可得到y(tǒng)=-x-4的圖像．10．C提