代數(shù)式的變形(整式與分式)

PAGEPAGE35[文件]sxjsck0009.doc[科目]數(shù)學(xué)[關(guān)鍵詞]初一/代數(shù)式/整式/分式[標(biāo)題]代數(shù)式的變形（整式與分式）[內(nèi)容]代數(shù)式的變形（整式與分式）在化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的過(guò)程中，常需將代數(shù)式變形，現(xiàn)結(jié)合實(shí)例對(duì)代數(shù)式的基本變形，如配方、因式分解、換元、設(shè)參、拆項(xiàng)與逐步合并等方法作初步介紹.配方在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，配方的目的就是為了發(fā)現(xiàn)題中的隱含條件，以便利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)來(lái)解題.（1986年全國(guó)初中競(jìng)賽題）設(shè)a、b、c、d都是整數(shù)，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成兩個(gè)整數(shù)的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式為(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2（1984年重慶初中競(jìng)賽題）設(shè)x、y、z為實(shí)數(shù)，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解將條件化簡(jiǎn)成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0∴x=y=z,∴原式=1.2.因式分解前面已介紹過(guò)因式分解的各種典型方法,下面再舉幾個(gè)應(yīng)用方面的例子.例3(1987年北京初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如果a是x2-3x+1=0的根,試求的值.解∵a為x2-3x+1=0的根,∴a2-3a+1=0,,且=1.原式說(shuō)明:這里只對(duì)所求式分子進(jìn)行因式分解,避免了解方程和復(fù)雜的計(jì)算.3.換元換元使復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了.例4設(shè)a+b+c=3m,求證:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.證明令p=m-a,q=m-b,r=m-c則p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0∴p3+q3+r3-3pqr=0即(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例5(民主德國(guó)競(jìng)賽試題)若,試比較A、B的大小.解設(shè)則.∵2x＞y∴2x-y＞0,又y＞0,可知∴A＞B.4.設(shè)參當(dāng)已知條件以連比的形式出現(xiàn)時(shí),可引進(jìn)一個(gè)比例系數(shù)來(lái)表示這個(gè)連比.例6若求x+y+z的值.解令則有x=k(a-b),y=(b-c)kz=(c-a)k,∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7已知a、b、c為非負(fù)實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2=1,,求a+b+c的值.解設(shè)a+b+c=k則a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.由條件知即∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.∵a2+b2+c2=1,∴k=a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,∴k(-ab-bc-ac)=0.若K=0,就是a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,∴(a+b+c)2=1,∴a+b+c=±1綜上知a+b+c=0或a+b+c=±15.“拆”、“并”和通分下面重點(diǎn)介紹分式的變形：分離分式為了討論某些用分式表示的數(shù)的性質(zhì)，有時(shí)要將一個(gè)分式表示為一個(gè)整式和一個(gè)分式的代數(shù)和.例8（第1屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）證明對(duì)于任意自然數(shù)n，分?jǐn)?shù)皆不可約.,證明如果一個(gè)假分?jǐn)?shù)可以通約，化為帶分?jǐn)?shù)后，它的真分?jǐn)?shù)部分也必定可以通約.而顯然不可通約，故不可通約，從而也不可通約.表示成部分分式將一個(gè)分式表示為部分分式就是將分式化為若干個(gè)真分式的代數(shù)和.例9設(shè)n為正整數(shù)，求證：①②證明令①②通分，比較①、②兩式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.∴令k=1,2,…,n得(3)通分通分是分式中最基本的變形,例9的變形就是以通分為基礎(chǔ)的,下面再看一個(gè)技巧性較強(qiáng)的例子.例10(1986年冬令營(yíng)賽前訓(xùn)練題)已知求證:.證明6.其他變形例11(1985年全國(guó)初中競(jìng)賽題)已知x(x≠0，±1)和1兩個(gè)數(shù)，如果只許用加法、減法和1作被除數(shù)的除法三種運(yùn)算（可用括號(hào)），經(jīng)過(guò)六步算出x2.那么計(jì)算的表達(dá)式是______.解x2=x(x+1)-x或x2=x(x-1)+x例12（第3屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)a、b、c、d都是正整數(shù)，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.解由質(zhì)因數(shù)分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可設(shè)a=x4,c=y2,故19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)解得x=3.y=10.∴d-b=y3-x5=757A2+b2+c2=(a+b+c)2Ab+ac+bc=0(a+b+c)2=A2+b2+c2-2ab-2ac-2bc練習(xí)七1選擇題（1）（第34屆美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）把相乘，其乘積是一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式的次數(shù)是（）（A）2（B）3（C）6（D）7（E）8已知?jiǎng)t的值是（）.(A)1(B)0(C)-1(D)3（3）（第37屆美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）假定x和y是正數(shù)并且成反比，若x增加了p%，則y減少了（）.（A）p%(B)%(C)%(D)%(E)%2填空題（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，則a+b+c+d+e+f=________,b+c+d+e=_______.(2)若=_____.(3)已知y1=2x,y2=,=2x=1/x則y1y1986=______3若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,試求x+z與y的關(guān)系.x2+2xz+z2-4xy+4y2-4yz=0(x+z)^2-4(x+z)y+4y^2=0(x+z-2y)^2=0x+z=2y4（1985年寧夏初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）把寫成兩個(gè)因式的積,使它們的和為，求這兩個(gè)式子.5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.6.已知x,y,z為互不相等的三個(gè)數(shù),求證7已知a2+c2=2b2,求證8.設(shè)有多項(xiàng)式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求證:如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一個(gè)二次三項(xiàng)式的平方.9.設(shè)(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求證:ac=bd.練習(xí)七1.C.C.E2.(1)-32,210(2)(3)23.略.4.5.6.略,7.略.8.∵p2-4q-4(m+1)=0,∴4q=p2-4(m+1)=0,∴f(x)=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x=[2x2-px-(m+1)]2.9.令a+b=p,c+d=q,由條件化為pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展開(kāi)整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).均可得出ac=bd.、基本解法與思想

解含絕對(duì)值的不等式的基本思想是等價(jià)轉(zhuǎn)化，即采用正確的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式來(lái)解，常用的方法有公式法、定義法、平方法。

1．公式法：即利用∣x∣＜a與∣x∣＞a(a＞0)的解集求解。

例1解不等式∣x-2∣＜3。

分析:這類題可直接利用上面的公式求解，這種解法還運(yùn)用了整體思想，如把“x-2”

看著一個(gè)整體。答案為{x∣-1＜x＜5}。(解略)

2。定義法:即利用去掉絕對(duì)值再解。

例2。解不等式。

分析:由絕對(duì)值的意義知，a≥0，a≤0。

解:原不等式等價(jià)于＜0x(x+2)＜0-2＜x＜0。

3。平方法:解型不等式。

例3解不等式。

解:原不等式

(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0。

說(shuō)明:求解中以平方后移項(xiàng)再用平方差公式分解因式為宜。

二、分類討論法：即通過(guò)合理分類去絕對(duì)值后再求解。

例4解不等式。

分析:由=0，=0，得x=1和x=-2。-2和1把實(shí)數(shù)集合分成三個(gè)區(qū)間，即x＜-2，-2≤x≤1，x＞1，按這三個(gè)區(qū)間可去絕對(duì)值，故可按這三個(gè)區(qū)間討論。

解:當(dāng)x＜-2時(shí)，得，解得-3＜x＜-2。

當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，得，解得-2≤x≤1。

當(dāng)x>1時(shí)，得解得1<x<2。

綜上，原不等式的解集為{x∣-3<x<2}。

說(shuō)明:(1)原不等式的解集應(yīng)為各種情況的并集;

(2)這種解法又叫“零點(diǎn)分區(qū)間法”，即通過(guò)令每一個(gè)絕對(duì)值為零求得零點(diǎn)，求解應(yīng)注意邊界值。

三、幾何法：即轉(zhuǎn)化為幾何知識(shí)求解。

例5對(duì)任何實(shí)數(shù)x，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()

(A)k<3(B)k<-3(C)k≤3(D)k≤-3

分析:設(shè)，則原式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的充要條件是，于是題轉(zhuǎn)化為求y的最小值。

解:、的幾何意義分別為數(shù)軸上點(diǎn)x到-1和2的距離-的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)x到-1與2的距離之差，如圖可得其最小值為-3，故選（B）。

四、深入理解題目條件

不等式的解是-a<x<a，的解是x>a，或x<-a，這兩個(gè)結(jié)論的前提條件是a>0，若忽視這一就會(huì)出錯(cuò)。如由得出-2<x<2則是錯(cuò)誤的，事實(shí)上，這個(gè)不等式的解集是空集。所以，解絕對(duì)值不等式時(shí)，必須注意這一隱含條件。

例6解關(guān)于x的不等式。

分析:若忽視2m-1的值直接得到-(2m-1)<2x-1<2m-1則是錯(cuò)誤的。應(yīng)按2m-1>0和2m-1≤0分類討論。

解:(1)當(dāng)2m-1≤0時(shí)，即m≤，因≥0，故原不等式的解集是空集。

(2)當(dāng)2m-1>0，即m>時(shí)，原不等式等價(jià)于-(2m-1)<2x-1<2m-1，解得1-m<x<m。

綜上，當(dāng)m≤時(shí)，原不等式解集為空集;當(dāng)m>時(shí)，不等式解集為{x∣1-m<x<m}。單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式

分式

第一節(jié)分式的基本概念

I.定義：整式A除以整式B，可以表示成的的形式。如果除式B中含有字母，那么稱為分式（fraction）。

注:A÷B==A×=A×B-1=A?B-1。有時(shí)把寫成負(fù)指數(shù)即A?B-1,只是在形式上有所不同,而本質(zhì)里沒(méi)有區(qū)別.

II.組成：在分式中A稱為分式的分子，B稱為分式的分母。

III.意義：對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不能為0，否則分式無(wú)意義。

IV.分式值為0的條件：在分母不等于0的前提下，分子等于0,則分?jǐn)?shù)值為0。

注:分式的概念包括3個(gè)方面：①分式是兩個(gè)整式相除的商式，其中分子為被除式，分母為除式，分?jǐn)?shù)線起除號(hào)的作用；②分式的分母中必須含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，這是區(qū)別整式的重要依據(jù)；③在任何情況下，分式的分母的值都不可以為0，否則分式無(wú)意義。這里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一個(gè)字母來(lái)說(shuō)的。也就是說(shuō)，分式的分母不為零是隱含在此分式中而無(wú)須注明的條件。

第二節(jié)分式的基本性質(zhì)和變形應(yīng)用

V.分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變。

VI.約分:把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去,這種變形稱為分式的約分．

VII.分式的約分步驟:(1)如果分式的分子和分母都是單項(xiàng)式或者是幾個(gè)因式乘積的形式,將它們的公因式約去.(2)分式的分子和分母都是多項(xiàng)式,將分子和分母分別分解因式,再將公因式約去.

注:公因式的提取方法:系數(shù)取分子和分母系數(shù)的最大公約數(shù),字母取分子和分母共有的字母,指數(shù)取公共字母的最小指數(shù),即為它們的公因式.

VIII.最簡(jiǎn)分式:一個(gè)分式的分子和分母沒(méi)有公因式時(shí),這個(gè)分式稱為最簡(jiǎn)分式.約分時(shí),一般將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式.

IX.通分:把幾個(gè)異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.

X.分式的通分步驟:先求出所有分式分母的最簡(jiǎn)公分母,再將所有分式的分母變?yōu)樽詈?jiǎn)公分母.同時(shí)各分式按照分母所擴(kuò)大的倍數(shù),相應(yīng)擴(kuò)大各自的分子.

注:最簡(jiǎn)公分母的確定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù),相同字母的最高次冪及單獨(dú)字母的冪的乘積.

注:(1)約分和通分的依據(jù)都是分式的基本性質(zhì).(2)分式的約分和通分是互逆運(yùn)算過(guò)程.

第三節(jié)分式的四則運(yùn)算

XI.同分母分式加減法則:分母不變,將分子相加減.

XII.異分母分式加減法則:通分后,再按照同分母分式的加減法法則計(jì)算.

XIII.分式的乘法法則:用分子的積作分子,分母的積作分母.

XIV.分式的除法法則:把除式變?yōu)槠涞箶?shù)再與被除式相乘.

第四節(jié)分式方程

XV.分式方程的意義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

XVI.分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母,將分式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;③驗(yàn)根(求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根,因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中,擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根).單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

代數(shù)式中的一種有理式.不含除法運(yùn)算或分?jǐn)?shù),以及雖有除法運(yùn)算及分?jǐn)?shù),但除式或分母中不含變數(shù)者，則稱為整式。(含有字母有除法運(yùn)算的，那么式子叫做分式fraction.)

整式可以分為定義和運(yùn)算，定義又可以分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，運(yùn)算又可以分為加減和乘除。

加減包括合并同類項(xiàng)，乘除包括基本運(yùn)算、法則和公式，基本運(yùn)算又可以分為冪的運(yùn)算性質(zhì)，法則可以分為整式、除法，公式可以分為乘法公式、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪。

整式和同類項(xiàng)

1.單項(xiàng)式

（1）單項(xiàng)式的表示形式：1、數(shù)與字母的乘積這樣的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式2、單個(gè)字母也是單項(xiàng)式。

3、單個(gè)的數(shù)是單項(xiàng)式4、字母與字母相乘成為單項(xiàng)式5、數(shù)與數(shù)相乘稱為單項(xiàng)式

（2）單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)及性質(zhì)符號(hào)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。

如果一個(gè)單項(xiàng)式，只含有數(shù)字因數(shù)，是正數(shù)的單項(xiàng)式系數(shù)為1，是負(fù)數(shù)的單項(xiàng)式系數(shù)為—1。

（3）單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

2.多項(xiàng)式

（1）多項(xiàng)式的概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)就叫做幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式中的符號(hào)，看作各項(xiàng)的性質(zhì)符號(hào)。一元N次多項(xiàng)式最多N+1項(xiàng)

（2）多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

（3）多項(xiàng)式的排列：

1.把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列。

2.把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列。

由于多項(xiàng)式是幾個(gè)單項(xiàng)式的和，所以可以用加法的運(yùn)算定律，來(lái)交換各項(xiàng)的位置，而保持原多項(xiàng)式的值不變。

為了便于多項(xiàng)式的計(jì)算，通常總是把一個(gè)多項(xiàng)式，按照一定的順序，整理成整潔簡(jiǎn)單的形式，這就是多項(xiàng)式的排列。

在做多項(xiàng)式的排列的題時(shí)注意：

(1)由于單項(xiàng)式的項(xiàng)，包括它前面的性質(zhì)符號(hào)，因此在排列時(shí)，仍需把每一項(xiàng)的性質(zhì)符號(hào)看作是這一項(xiàng)的一部分，一起移動(dòng)。

(2)有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的多項(xiàng)式，排列時(shí)，要注意：

a.先確認(rèn)按照哪個(gè)字母的指數(shù)來(lái)排列。

b.確定按這個(gè)字母向里排列，還是生里排列。

(3)整式：

單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

(4)同類項(xiàng)的概念：

所含字母相同，并且相同字母的次數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也叫同類項(xiàng)。

掌握同類項(xiàng)的概念時(shí)注意：

1.判斷幾個(gè)單項(xiàng)式或項(xiàng)，是否是同類項(xiàng)，就要掌握兩個(gè)條件：

①所含字母相同。

②相同字母的次數(shù)也相同。

2.同類項(xiàng)與系數(shù)無(wú)關(guān)，與字母排列的順序也無(wú)關(guān)。

3.幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。

（5）合并同類項(xiàng)：

1.合并同類項(xiàng)的概念：

把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)。

2.合并同類項(xiàng)的法則：

同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

3.合并同類項(xiàng)步驟：

⑴．準(zhǔn)確的找出同類項(xiàng)。

⑵．逆用分配律，把同類項(xiàng)的系數(shù)加在一起（用小括號(hào)），字母和字母的指數(shù)不變。

⑶．寫出合并后的結(jié)果。

在掌握合并同類項(xiàng)時(shí)注意：

1.如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后，結(jié)果為0.

2.不要漏掉不能合并的項(xiàng)。

3.只要不再有同類項(xiàng)，就是結(jié)果（可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式）。

合并同類項(xiàng)的關(guān)鍵：正確判斷同類項(xiàng)。

整式和整式的乘法

整式可以分為定義和運(yùn)算，定義又可以分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，運(yùn)算又可以分為加減和乘除。

加減包括合并同類項(xiàng)，乘除包括基本運(yùn)算、法則和公式，基本運(yùn)算又可以分為冪的運(yùn)算性質(zhì)，法則可以分為整式、除法，公式可以分為乘法公式、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪。

同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加。

冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

積的乘方法則：積的乘方等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘有以下法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘有以下法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘有下面的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差。

完全平方公式：兩數(shù)和的平方，等于這兩數(shù)的平方和，加上這兩數(shù)積的2倍。兩數(shù)差的平方，等于這兩數(shù)的平方和，減去這兩積的2倍。

同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

談?wù)綄W(xué)習(xí)的要點(diǎn)

屠新民

整式是代數(shù)式中最基本的式子，引進(jìn)整式是實(shí)際的需要，也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容（例如分式、一元二次方程等）的需要。整式是在以前學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算、列簡(jiǎn)單的代數(shù)式、一元一次方程及不等式的基礎(chǔ)上引進(jìn)的。事實(shí)上，整式的有關(guān)內(nèi)容在六年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，但現(xiàn)在的整式內(nèi)容比過(guò)去更加強(qiáng)了應(yīng)用，增加了實(shí)際應(yīng)用的背景。

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：

本章有較多的知識(shí)點(diǎn)屬于重點(diǎn)或難點(diǎn)，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)的內(nèi)容為如下三個(gè)方面。

一、整式的四則運(yùn)算

1.整式的加減

合并同類項(xiàng)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。合并同類項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：①要掌握同類項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)��字母和字母指數(shù)；②明確合并同類項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)會(huì)減少，達(dá)到化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的目的；③“合并”是指同類項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)不變。

2.整式的乘除

重點(diǎn)是整式的乘除，尤其是其中的乘法公式。乘法公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中的字母的廣泛含義，學(xué)生不易掌握。因此，乘法公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，添括號(hào)（或去括號(hào)）時(shí)，括號(hào)中符號(hào)的處理是另一個(gè)難點(diǎn)。添括號(hào)（或去括號(hào)）是對(duì)多項(xiàng)式的變形，要根據(jù)添括號(hào)（或去括號(hào)）的法則進(jìn)行。在整式的乘除中，單項(xiàng)式的乘除是關(guān)鍵，這是因?yàn)?，一般多?xiàng)式的乘除都要“轉(zhuǎn)化”為單項(xiàng)式的乘除。

整式四則運(yùn)算的主要題型有：

（1）單項(xiàng)式的四則運(yùn)算

此類題目多以選擇題和應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，其特點(diǎn)是考查單項(xiàng)式的四則運(yùn)算。

（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的運(yùn)算

此類題目多以解答題的形式出現(xiàn)，技巧性強(qiáng)，其特點(diǎn)為考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的四則運(yùn)算。

二、因式分解

難點(diǎn)是因式分解的四種基本方法(提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法）。因式分解是整式乘法的逆向變形，因式分解的方法的引入要緊緊抓住這一點(diǎn)。單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式,簡(jiǎn)單說(shuō)就是分?jǐn)?shù)線下沒(méi)有未知數(shù).

一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式,分?jǐn)?shù)線下有未知數(shù)。

區(qū)別：分式有分?jǐn)?shù)線并且分母中有字母，而整式即使有分?jǐn)?shù)線，分母中也沒(méi)有字母十字相乘法“十字相乘法”雖然比較難學(xué),但是學(xué)會(huì)了它,用十字相乘法來(lái)解題的速度比較快，能夠節(jié)約時(shí)間，而且運(yùn)算量不大，不容易出錯(cuò)。它在分解因式/解一元二次方程中有廣泛的應(yīng)用：十字相乘法的方法：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)。例1

把m2+4m-12分解因式分析：本題中常數(shù)項(xiàng)-12可以分為-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1當(dāng)-12分成-2×6時(shí)，才符合本題解：因?yàn)?-2

1╳6

所以m2+4m-12=(m-2)(m+6)例2

把5x2+6x-8分解因式分析：本題中的5可分為1×5,-8可分為-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)分為1×5，常數(shù)項(xiàng)分為-4×2時(shí)，才符合本題解：因?yàn)?2

5╳-4

所以5x2+6x-8=(x+2)(5x-4)例3

解方程x2-8x+15=0分析：把x2-8x+15看成關(guān)于x的一個(gè)二次三項(xiàng)式，則15可分成1×15，3×5。解：因?yàn)?-3

1╳-5

所以原方程可變形(x-3)(x-5)=0

所以x1=3x2=5例4、解方程6x2-5x-25=0分析：把6x2-5x-25看成一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，則6可以分為1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因?yàn)?-5

3╳5

所以原方程可變形成(2x-5)(3x+5)=0

所以x1=5/2x2=-5/3用十字相乘法解一些比較難的題目：例5

把14x2-67xy+18y2分解因式分析：把14x2-67xy+18y2看成是一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式,則14可分為1×14,2×7,18y2可分為y.18y,2y.9y,3y.6y解:因?yàn)?-9y

7╳-2y

所以14x2-67xy+18y2=(2x-9y)(7x-2y)例6

把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式分析：在本題中，要把這個(gè)多項(xiàng)式整理成二次三項(xiàng)式的形式解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3=10x2-(27y+1)x-(28y2-25y+3)

4y-3

7y╳-1=10x2-(27y+1)x-(4y-3)(7y-1)

2-(7y–1)

5╳4y-3=[2x-(7y-1)][5x+(4y-3)]=(2x-7y+1)(5x+4y-3)說(shuō)明：在本題中先把28y2-25y+3用十字相乘法分解為(4y-3)(7y-1)，再用十字相乘法把10x2-(27y+1)x-(4y-3)(7y-1)分解為：[2x-(7y-1)][5x+(4y-3)]解法二、10x2-27xy-28y2-x+25y-3

2-7y

5╳4y

=(2x-7y)(5