北京市朝陽區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1北京市朝陽區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，易知，所以.故選：D.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A：因為的定義域為，所以不是奇函數(shù)，所以A錯誤；對于B：令，則，所以是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，B正確；對于C：在上遞減，在上遞增，所以C錯誤；對于D：因為，，所以是偶函數(shù)，所以D錯誤，故選：B.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故選：4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即.故選：A.5.函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】時，不是對稱軸；時，不是對稱軸；時，是對稱軸；時，不是對稱軸；故選：C.6.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】解不等式可得或；顯然是或的真子集，所以可得“”是“”的必要不充分條件.故選：B.7.已知平面內(nèi)四個不同的點滿足，則（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】,,即,.故選：D.8.已知一個圓錐的高與其底面圓的半徑相等，且體積為．在該圓錐內(nèi)有一個正方體，其下底面的四個頂點在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個頂點在圓錐的側(cè)面上，則該正方體的棱長為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】因為圓錐的高與其底面圓的半徑相等，設(shè)圓錐的高為，底面圓的半徑為，則，又因為圓錐的體積為，可得，解得，則，設(shè)圓錐的頂點為，底面圓心為，則高為，與正方體的上底面交點為,在該圓錐內(nèi)有一個正方體，其下底面的四個頂點在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個頂點在圓錐的側(cè)面上，取其軸截面，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為，可得，由，可得，即，解得，所以該正方體的棱長為.故選：D.9.已知函數(shù)，設(shè)，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，可函數(shù)的值域為，設(shè)，若存在，使得成立，即，只需，即對于，滿足成立，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.10.已知點集．設(shè)非空點集，若對中任意一點，在中存在一點（與不重合），使得線段上除了點外沒有中的點，則中的元素個數(shù)最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】對于整點的連線內(nèi)部沒有其它整點，當(dāng)且僅當(dāng)與互為素數(shù)，若只有一個點，取的點使和分別同奇偶，有公因子2（或重合），不合題意，故中元素不止一個，令，對于的點，當(dāng)或3時，取；當(dāng)或4時，取；由于、橫坐標之差為，故內(nèi)部無整點；當(dāng)，時，取，此時橫坐標之差為，縱坐標之差為奇數(shù)，二者互素；當(dāng)，時，取，此時橫坐標之差為，縱坐標之差為，二者互素；綜上，中的元素個數(shù)最小值是2.故選：B.第二部分（非選擇題）二、填空題11.已知函數(shù)，則最小正周期是__________．【答案】【解析】由函數(shù)，所以的最小正周期為.故答案為：.12.已知單位向量，滿足，則向量與向量的夾角的大小為__________．【答案】【解析】因為，均是單位向量，故可得，故可得，即，解得，又因為向量夾角的范圍為，故的夾角為.故答案為：.13.設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項和為，能說明“若，則數(shù)列是遞減數(shù)列”為假命題的一組的值依次為__________．【答案】，（答案不唯一）【解析】由，其對稱軸為，且，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，只需，即，此時不是遞減數(shù)列，如，，則，顯然.故答案為：，（答案不唯一）14.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻，他的《天文學(xué)大成》包含一張弦表（即不同圓心角的弦長表），這張表本質(zhì)上相當(dāng)于正弦三角函數(shù)表．托勒密把圓的半徑60等分，用圓的半徑長的作為單位來度量弦長．將圓心角所對的弦長記為．如圖，在圓中，的圓心角所對的弦長恰好等于圓的半徑，因此的圓心角所對的弦長為60個單位，即．若為圓心角，，則__________【答案】【解析】設(shè)圓的半徑為，時圓心角所對應(yīng)的弦長為，利用余弦定理可知，即可得又的圓心角所對的弦長恰好等于圓的半徑，的圓心角所對的弦長為60個單位，即與半徑等長的弦所對的圓弧長為60個單位，所以.故答案為：.15.如圖，在棱長為1的正方體中，點為的中點，點是側(cè)面上（包括邊界）的動點，且，給出下列四個結(jié)論：①動點的軌跡是一段圓?。虎趧狱c的軌跡與沒有公共點；③三棱錐的體積的最小值為；④平面截該正方體所得截面的面積的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】②③④【解析】取的中點分別為，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可知，又因為，，所以，又，平面，所以平面；又平面，所以；同理可得，因此平面，若，所以平面，又點是側(cè)面上（包括邊界）的動點；所以動點的軌跡是兩平面的交線在側(cè)面內(nèi)的線段，即，可知①錯誤；由于是的中點，所以，即動點的軌跡與沒有公共點；所以②正確；易知三棱錐的底面的面積為定值，即，當(dāng)點到平面的距離最小時，即與點重合時，距離最小為，此時體積值最小為，所以③正確；顯然當(dāng)點與點重合時，截面面積最大，此時截面即為四邊形，如下圖所示：易知，且，；即四邊形為等腰梯形，易知其高為，所以其面積為；即④正確.故答案為：②③④三、解答題16.已知是遞增的等比數(shù)列，其前項和為，滿足．（1）求的通項公式及；（2）若，求的最小值．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由數(shù)列是遞增數(shù)列，則，由，則，，由，整理可得，則，解得，易知，.（2）由（1）可得：，整理可得，，，故的最小值為.17.在中，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計分．（1）解：因為，由余弦定理得，又因為，所以.（2）解：由（1）知，若選①②：，，由，可得，由正弦定理，可得，解得，則，又由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），所以面積為.若選①③：且，由，可得，因為，可得，由正弦定理，可得，解得，所以的面積為.若選：②③：且，因為，可得，整理得，解得，不符合題意，（舍去）.18.如圖，在三棱錐中，平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的大小；（3）求點到平面的距離．（1）證明：因為平面，平面，平面，所以，又，所以，又因為，，所以，因為平面,平面，且，所以平面；（2）解：過作//，則平面，又由（1）知，所以以為軸建立空間直角坐標系，如下圖，則，設(shè)平面的法向量為，又，所以令，則，則，設(shè)平面的法向量為，又，所以，令，則，則，令二面角的平面角為，則，由圖知此二面角為銳二面角，所以，故二面角為；（3）解：設(shè)點到平面的距離為，，所以，又，所以，解得，所以點到平面的距離為.19.已知函數(shù)．（1）若，求在區(qū)間上最小值和最大值；（2）若，求證：在處取得極小值．（1）解：由題設(shè)，則，在上，即遞增，所以最小值為，最大值為.（2）證明：由題意，則，令，則，且.所以，即在處有遞增趨勢，綜上，若且無限趨向于0，在上，遞減，在上，遞增，所以處取得極小值．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）試比較與的大小，并說明理由．解：（1）當(dāng)時，，，所以曲線在點處切線的斜率，又，所以曲線在點處切線的方程為即.（2）在區(qū)間上恒成立，即，對，即，對，令，只需，，，當(dāng)時，有，則，在上單調(diào)遞減，符合題意，當(dāng)時，令，其對應(yīng)方程的判別式，若即時，有，即，在上單調(diào)遞減，符合題意，若即時，，對稱軸，又，方程大于1的根為，，，即，，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不合題意.綜上，在區(qū)間上恒成立，實數(shù)的取值范圍為.（3）由（2）知，當(dāng)時，，在區(qū)間上恒成立，即，對，取代入上式得，化簡得.21.已知是個正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當(dāng)時，記．設(shè)，若滿足如下兩個性質(zhì)：①；②對任意，存在，使得，則稱為數(shù)表．（1）判斷是否為數(shù)表，并求的值；（2）若數(shù)表滿足，求中各數(shù)之和的最小值；（3）證明：對任意數(shù)表，存在，使得．（1）解：是數(shù)表，（2）解：由題可知.當(dāng)時，有，所以.當(dāng)時，有，所以.所以所以或者，或者，或，或，故各數(shù)之和，當(dāng)時，各數(shù)之和取得最小值.（3）證明：由于