山東省聊城市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1山東省聊城市2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題第I卷選擇題一、單項選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由不等式，則等價于，解得，所以，由，則.故選：D.2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的始邊是軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為終邊經(jīng)過點，所以，故，所以，故選：A.3.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，整理得，所以，所以，所以，所以.故選：C4.定義在上的函數(shù)，滿足，且在為增函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，，，，即是偶函數(shù)，，，在是遞增，則在上遞減，又，所以，即，故選：B．5.已知命題，，則為假命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】命題的否定為，由命題為假命題，則命題為真命題，由不等式，整理可得，令，由函數(shù)和在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，則，由是的一個真子集，故選：D.6.函數(shù)向右平移個單位后，所得函數(shù)是偶函數(shù)，則最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)向右平移個單位后，得，其為偶函數(shù)，即圖像關(guān)于軸對稱，即當(dāng)時，取得最值，則，即，即，當(dāng)時，取得最小正數(shù)，則的最小值是.故選：C7.已知，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：A8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，得①，由，得，得②，①②得：，即，.故選：B.二、多項選擇題9.已知向量，，且，則下列說法正確的是（）A. B.C.向量與夾角是 D.【答案】BCD【解析】因為向量，，則，且，則，解得，故A錯誤；因為，，則，故B正確；因為，則，故C正確；因為，則，故D正確；故選：BCD10.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于選項A，因為，得，所以，即，則，故選項A正確；對于選項B，因為，，所以，故選項B不正確；對于選項C，因為，所以，所以，即，所以，故選項C正確；對于選項D，因為，所以，從而，即，因為，所以，所以，故選項D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列的前項和為，，，，下列說法正確的是（）A. B.為常數(shù)列C. D.【答案】ABD【解析】，則，整理得，即，故是常數(shù)列，所以，即，故D選項正確.當(dāng)時，，經(jīng)檢驗時滿足，故.對于A選項，由，知，故A選項正確.對于B選項，由，知，所以為常數(shù)列，故B選項正確.對于C選項，由，知，故C選項錯誤.故選:ABD.12.已知，函數(shù)，，若則下列成立的是（）A.， B.C. D.【答案】ABD【解析】設(shè)分別是，的零點，則是方程的解，是方程的解，所以分別是函數(shù)的圖像與函數(shù)和，，的圖像交點的橫坐標(biāo)，設(shè)交點分別為，，由可知，，故A正確；又因為和以及的圖像均關(guān)于對稱，所以兩交點一定關(guān)于對稱，且關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為，所以，即，故B正確；因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，且，所以，故C錯誤；因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，且，所以，即，故D正確；故選：ABD.第II卷非選擇題三、填空題13.已知一扇形的圓心角為，弧長為7，則該扇形的面積為__________．【答案】【解析】設(shè)扇形的半徑為，則，所以所以該扇形的面積為.故答案為：.14.已知直線是函數(shù)在點處的切線，則__________．【答案】4【解析】因為，，所以，因為直線是函數(shù)在點處的切線，所以，解得，所以，故答案為：4.15.古希臘數(shù)學(xué)家海倫在其所著的《度量論》或稱《測地術(shù)》中給出了用三角形的三邊長表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長分別為，，則它的面積為，其中，這個公式稱之為海倫公式，形式優(yōu)美，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.已知的周長是18，且滿足，則的面積為__________．【答案】【解析】因為的周長是18，且，所以，因為，根據(jù)正弦定理可知，，又的周長是18，所以，，，所以.故答案為：.16.已知是的內(nèi)心，，，，則__________．【答案】36【解析】如圖所示：以為圓心作的內(nèi)切圓，分別與、、相切于點、、，設(shè)，根據(jù)切線長定理得，,,所以，即，解得，即，由題意可得所以，所以,.故答案為：36.四、解答題17.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）已知求數(shù)列，求的前項和．解：（1）為等差數(shù)列，設(shè)出公差為，因為，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以；（2）由（1）知，所以，所以，，所以，所以，所以.18.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求使成立的的取值集合．解：（1），，，的最大值為，，，由，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為（2），即，所以所以，故的取值集合為19.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)，．（1）解：的定義域為，①若，則所以在單調(diào)遞減②若，由得當(dāng)時，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增綜上：時，在單調(diào)遞減；時，在單調(diào)遞減；單調(diào)遞增．（2）證明：法一：當(dāng)時，設(shè)，由得當(dāng)時，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以所以，當(dāng)法二：由（1）知，時，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增．，又易知單調(diào)遞增，故時，．20.在數(shù)列中，且（1）求數(shù)列的前項和；（2）設(shè)是滿足不等式的所有的個數(shù)，數(shù)列的前項和為，求．解：（1）由，則，因為，所以，即，所以是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以.21.在中，為上一點，滿足，且．（1）證明：．（2）若，求．（1）證明：因為為上一點，滿足，所以，所以，因為，所以，所以；（2）解：由（1）知，設(shè)，則，又因為，為上一點，，設(shè)，則，，在中，，在中，，所以，所以，在中，.22.設(shè)函數(shù)；．（1），,恒成立，求的取值范圍；（2）設(shè)，若方程的兩根為，，且，求證：．（1）解：因為，,所以由得，設(shè)，則令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞