新教材2024版高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4對數(shù)函數(shù)第3課時不同函數(shù)增長的差異課件新人教A版必修第一冊

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4對數(shù)函數(shù)第3課時不同函數(shù)增長的差異學習目標素養(yǎng)要求1．結合現(xiàn)實情境中的具體問題，通過計算比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異數(shù)學運算2．理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義以及三種函數(shù)模型性質的比較數(shù)學運算3．會分析具體的實際問題，能夠建模解決實際問題數(shù)學抽象數(shù)學建模|自學導引|

三類不同的函數(shù)模型增長的比較1．三類常見不同函數(shù)增長的差異性質函數(shù)y＝kx(k＞0)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)單調性遞增增長速度不變先慢后快先快后慢圖象變化隨x的增大，圖象均勻上升隨x的增大，圖象上升的速度逐漸變快，當x很大時，呈“爆炸式”增長隨x的增大，圖象上升的速度逐漸變慢2．函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)增長速度的對比(1)對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內，ax會小于xn，但由于__________快于__________，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有________．(2)對于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管在x的一定范圍內，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有__________．ax的增長xn的增長ax＞xn

logax＜xn

(3)在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都單調遞增，但它們的增長__________，而且不在同一個“檔次”上．隨著x的增大，總會存在一個x0，當x＞x0時，就會有______________．速度不同logax＜xn＜ax

在函數(shù)y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增長速度最快的是哪一個函數(shù)？【提示】y＝3x．【預習自測】|課堂互動|題型1幾類函數(shù)模型的增長差異

(1)下列函數(shù)中，增長速度最快的是 (

)A．y＝2023x B．y＝2023C．y＝log2023x D．y＝2023xA．f(x)遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度越來越慢B．f(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度越來越快C．f(x)遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度不變D．f(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度越來越快【答案】(1)A

(2)C常見的函數(shù)模型及增長特點(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k＞0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變．(2)指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0，b＞1)表達的函數(shù)模型，其增長特點是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增長的速度越來越快，常稱之為“指數(shù)爆炸”．(3)對數(shù)函數(shù)模型：能用對數(shù)型函數(shù)f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m＞0，x＞0，a＞1)表達的函數(shù)模型，其增長的特點是開始階段增長得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”．(4)冪函數(shù)模型：能用冪型函數(shù)f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1)表達的函數(shù)模型，其增長情況由a和α的取值確定．【答案】A【解析】指數(shù)函數(shù)y＝ax，在a＞1時呈爆炸式增長，并且a的值越大，增長速度越快．故選A．題型2函數(shù)增長速度的比較

(1)(多選)如圖，能使得不等式log2x＜x2＜2x成立的x的取值范圍是

(

)A．x＞2B．x＞4C．0＜x＜2D．2＜x＜4(2)已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝0.5x－1的圖象如圖所示．①指出圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數(shù)；②借助圖象，比較f(x)和g(x)的大?。敬鸢浮?1)BC【解析】結合圖象可知，當x∈(0，2)∪(4，＋∞)時，有l(wèi)og2x＜x2＜2x．故選BC．(2)解：①C1對應的函數(shù)為g(x)＝0.5x－1，C2對應的函數(shù)為f(x)＝lnx．②當x∈(0，x1)時，g(x)＞f(x)；當x∈(x1，x2)時，g(x)＜f(x)；當x∈(x2，＋∞)時，g(x)＞f(x)；當x＝x1或x＝x2時，g(x)＝f(x)．綜上，當x＝x1或x＝x2時，g(x)＝f(x)；當x∈(x1，x2)時，g(x)＜f(x)；當x∈(0，x1)或(x2，＋∞)時，g(x)＞f(x)．由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增長，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．2．函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝2x的圖象如圖所示，設兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數(shù)；題型3函數(shù)模型的選擇問題某化工廠開發(fā)研制了一種新產品，在前三個月的月生產量依次為100t，120t，130t．為了預測今后各個月的生產量，需要以這三個月的月產量為依據(jù)，用一個函數(shù)來模擬月產量y(t)與月序數(shù)x之間的關系．對此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均為待定系數(shù)，x∈N*)或函數(shù)y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均為待定系數(shù)，x∈N*)．現(xiàn)在已知該廠這種新產品在第四個月的月產量為137t，則選用這兩個函數(shù)中的哪一個作為模擬函數(shù)較好？所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70．①同理，y＝g(x)＝－80×0.5x＋140．②再將x＝4分別代入①②得，f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130，g(4)＝－80×0.54＋140＝135．與f(4)相比，g(4)在數(shù)值上更為接近第四個月的實際月產量，所以②式作為模擬函數(shù)比①式更好，故選用函數(shù)y＝g(x)＝pqx＋r作為模擬函數(shù)較好．建立函數(shù)模型應遵循的三個原則(1)簡化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡化，抓主要因素，主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型．(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正確結論．(3)反映性原則：建立模型，應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．3．某人對某種松樹的生長進行了研究，搜集了其高度h(米)與生長時間t(年)的相關數(shù)據(jù)如下表所示，選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來刻畫h與t的關系，你認為哪個符合，并預測第八年的松樹的高度．t/年123456h/米0.611.31.51.61.7解：由表可以看出增長速度越來越慢，用對數(shù)函數(shù)模型合理．把(2，1)代入h＝loga(t＋1)中，得a＝3．故h＝log3(t＋1)．當t＝8時，h＝2．故可預測第8年松樹高2米．|素養(yǎng)達成|三種函數(shù)模型的選取(體現(xiàn)了數(shù)學建模核心素養(yǎng))．(1)當增長速度變化很快時，常常選用指數(shù)函數(shù)模型．(2)當要求不斷增長，但又不會增長過快，也不會增長到很大時，常常選用對數(shù)函數(shù)模型．(3)冪函數(shù)模型y＝xn(n＞0)，則可以描述增長幅度不同的變化：n值較小(n≤1)時，增長較慢；n值較大(n＞1)時，增長較快．1．(題型2)如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型為

(

)A．一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型【答案】A【解析】隨著自變量每增加1，函數(shù)值增加2，函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型．故選A．x45678910y151719212325272．(題型1)當x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的應是

(

)A．y＝3x B．y＝log3xC．y＝x3 D．y＝3x【答案】D【解析】幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)增長最快．故選D．3．(題型3)某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是 (

)【答案】D【解析】設該林區(qū)的森林原有蓄積量為