電子工程數(shù)學(xué)方法-復(fù)變函數(shù)論緒論及第1章

電子工程數(shù)學(xué)方法任課教師：陳其科聯(lián)系方式：

E_mail：qkchen@

辦公電話：61830311總學(xué)時(shí):

48課時(shí)（3學(xué)分）教材：梁昆淼，《數(shù)學(xué)物理方程》（第四版）成績(jī)構(gòu)成：課堂測(cè)驗(yàn)(4次)40%+課程設(shè)計(jì)10%+平時(shí)（出勤，作業(yè)）10%+期末考試40%兩點(diǎn)期望：

1、按時(shí)出勤，請(qǐng)假須有請(qǐng)假條(上課前有效)；課堂測(cè)驗(yàn)不定期不預(yù)先通知，缺勤1次，直接從總分減10%(請(qǐng)假另計(jì))；

2、自己完成作業(yè)，并按時(shí)提交；電子科技大學(xué)微波工程系電子工程數(shù)學(xué)方法3（一）課程性質(zhì)

本課程是一門學(xué)科拓展課。其任務(wù)是在高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)在電磁場(chǎng)、信號(hào)系統(tǒng)、微波技術(shù)及天線中涉及到的復(fù)變函數(shù)、偏微分方程及其求解方法。（二）課程目標(biāo)

通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解和掌握復(fù)變函數(shù)理論的基本概念、性質(zhì)和應(yīng)用；了解定解問(wèn)題的分類，理解和掌握波動(dòng)方程、拉氏方程、傳導(dǎo)方程的分離變量法、掌握行波方法和格林函數(shù)法。課程性質(zhì)和目標(biāo)第一部分復(fù)變函數(shù)論（學(xué)時(shí)：24學(xué)時(shí)）5

復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本的分支學(xué)科；研究對(duì)象：變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)；

主要任務(wù)：研究復(fù)變函數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分；應(yīng)用領(lǐng)域：求解物理學(xué)上復(fù)雜場(chǎng)分布問(wèn)題，信號(hào)與系統(tǒng)中時(shí)-頻域變換分析等。復(fù)數(shù)：實(shí)數(shù)和虛數(shù)的總稱。復(fù)變函數(shù)內(nèi)容及意義6

復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。到十八世紀(jì)，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題，復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)論發(fā)展歷程7

復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。

A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映射性質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物。經(jīng)過(guò)他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)、流體力學(xué)和電磁學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。復(fù)變函數(shù)論發(fā)展歷程8復(fù)變函數(shù)的路徑積分方法復(fù)變函數(shù)核心內(nèi)容9

復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處，但又有不同之處。在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。學(xué)習(xí)方法101.2復(fù)變函數(shù)1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.4解析函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)第一章復(fù)變函數(shù)11對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y，稱為復(fù)數(shù)。其中：x稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部，

y稱為復(fù)數(shù)的虛部，

,稱為虛單位。（一）復(fù)數(shù)的概念§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算1、復(fù)數(shù)定義

全體復(fù)數(shù)在引入復(fù)數(shù)運(yùn)算法則后，構(gòu)成復(fù)數(shù)域。在復(fù)數(shù)域中，復(fù)數(shù)沒(méi)有大小的概念。注：12

復(fù)數(shù)幾何意義：實(shí)部與虛部可與平面坐標(biāo)內(nèi)的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所有復(fù)數(shù)表征的點(diǎn)構(gòu)成復(fù)平面。2、復(fù)數(shù)的模與幅角復(fù)數(shù)的模:復(fù)數(shù)的輻角:復(fù)平面復(fù)數(shù)的三角表示：§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（一）復(fù)數(shù)的概念注：131）當(dāng)z=0時(shí)，幅角無(wú)意義；其中，滿足注：關(guān)于復(fù)數(shù)幅角的幾點(diǎn)說(shuō)明：2）根據(jù)三角函數(shù)周期性，一個(gè)復(fù)數(shù)有無(wú)限多個(gè)幅角或的幅角稱為主幅角，記做：§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（一）復(fù)數(shù)的概念2、復(fù)數(shù)的模與幅角143、復(fù)數(shù)的指數(shù)表示歐拉公式：則：—復(fù)數(shù)的指數(shù)表示3）2）4）§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算注：1）（一）復(fù)數(shù)的概念15共軛復(fù)數(shù)：4、復(fù)數(shù)的共軛§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算注：（一）復(fù)數(shù)的概念16（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的加減法1）2）§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算注：172、復(fù)數(shù)的乘法利用復(fù)數(shù)指數(shù)形式進(jìn)行乘法運(yùn)算比較簡(jiǎn)單指數(shù)式：§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算注：183、復(fù)數(shù)的除法指數(shù)式：注：利用復(fù)數(shù)指數(shù)形式進(jìn)行除法運(yùn)算比較簡(jiǎn)單§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算191）2）3）§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算注：4)復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。20例：若，求w?！?.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算解：故的主幅角有n個(gè)，即對(duì)應(yīng)有n個(gè)值：它們?cè)谝宰鴺?biāo)原點(diǎn)為中心，半徑為的圓周上均勻分布——多值函數(shù)。21例：討論式子在復(fù)平面上的意義解：為圓上各點(diǎn)。令§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算22例：求方程sinz=2解：設(shè)§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算23或或（續(xù)上例）§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算24思考題在復(fù)平面上的意義？§1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算25實(shí)變函數(shù)復(fù)習(xí)：

實(shí)變函數(shù)中關(guān)于函數(shù)的定義：§1.2復(fù)變函數(shù)

設(shè)X、Y是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，f為X到Y(jié)的一個(gè)映射，則稱f為定義在數(shù)集X上的函數(shù)，記做：其中x稱為自變量，y稱為因變量，X稱為函數(shù)f的定義域。26（一）區(qū)域的概念由確定的平面點(diǎn)集，稱為定點(diǎn)z0的

鄰域：

內(nèi)點(diǎn)：若z0及其鄰域全含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱z0為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)

外點(diǎn)：若z0及其鄰域不含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱z0為點(diǎn)集E的外點(diǎn)1、幾個(gè)基本定義§1.2復(fù)變函數(shù)

邊界點(diǎn):若z0及其鄰域既有含于E內(nèi)，又有不含于E內(nèi)的點(diǎn)，稱z0為點(diǎn)集E的邊界點(diǎn)。

鄰域。27內(nèi)點(diǎn)邊界點(diǎn)外點(diǎn)（一）區(qū)域的概念§1.2復(fù)變函數(shù)282、區(qū)域A）全由內(nèi)點(diǎn)組成B）具連通性：點(diǎn)集中任何兩點(diǎn)都可以用一條折線連接，且折線上的點(diǎn)屬于該點(diǎn)集。

復(fù)變函數(shù)的宗量z在復(fù)平面上的滿足下述條件的定義域（點(diǎn)集），稱為區(qū)域：閉區(qū)域：

區(qū)域B連同它的邊界稱為閉區(qū)域，表示為表示以原點(diǎn)為圓心半徑為1的閉區(qū)域（一）區(qū)域的概念§1.2復(fù)變函數(shù)如：293、區(qū)域連通性的分類

設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD（一）區(qū)域的概念§1.2復(fù)變函數(shù)30

若復(fù)數(shù)平面中存在的點(diǎn)集E，對(duì)于E的每一個(gè)點(diǎn)（復(fù)數(shù)），均按照某種規(guī)律，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱為的復(fù)變函數(shù)。§1.2復(fù)變函數(shù)（二）復(fù)變函數(shù)的定義z稱為w的宗量，E稱為函數(shù)定義域其中：記做：二元實(shí)函數(shù)注：一個(gè)復(fù)變函數(shù)，包含兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)。31（三）初等復(fù)變函數(shù)例

將初等實(shí)變函數(shù)自變量x變成復(fù)變量z，即構(gòu)成初等復(fù)變函數(shù)。幾個(gè)常見初等復(fù)變函數(shù)定義式：§1.2復(fù)變函數(shù)指數(shù)函數(shù)：三角函數(shù)：雙曲函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：32常見初等復(fù)變函數(shù)的周期特性：（三）初等復(fù)變函數(shù)例§1.2復(fù)變函數(shù)33（一）復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性回顧：實(shí)變函數(shù)極限的定義§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)34（一）復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性

設(shè)w=f(z)在z0點(diǎn)的某鄰域

有定義，對(duì)于任意

>0，若存在>0，使得時(shí)，有則稱w0為z→z0時(shí)極限，記為1)z在全平面，z→z0的方式是任意的1、復(fù)變函數(shù)的極限2)w0是復(fù)數(shù).3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的注：§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)35若在處連續(xù)，則有（一）復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性若時(shí)，有

，稱f(z)在z0點(diǎn)連續(xù)2、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性若f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注：36（二）導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)復(fù)習(xí)：實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)37（二）導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)設(shè)w=f(z)是在z點(diǎn)及其鄰域定義的單值函數(shù)，如果極限存在，并且與Δz→0的方式無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z處可導(dǎo)，該極限值稱為函數(shù)f(z)在點(diǎn)z處的導(dǎo)數(shù)，即1、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)38（二）導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)中的求導(dǎo)公式和法則與實(shí)變函數(shù)相同。2、復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則39（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)假設(shè)A是條件，B是結(jié)論（1）由A可以推出B，由B可以推出A，則A是B的充分必要條件(A=B)（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，則A是B的充分不必要條件(A?B)（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，則A是B的必要不充分條件(B?A)（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，則A是B的既不充分也不必要條件(A￠B且B￠A)知識(shí)回顧：充要條件定義40（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實(shí)變函數(shù)求導(dǎo)：Δx沿實(shí)數(shù)軸趨近0復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)：Δz沿實(shí)平面任一曲線趨近0復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的要求條件遠(yuǎn)比實(shí)變函數(shù)可導(dǎo)嚴(yán)格。注：41（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、柯西-黎曼條件（C-R條件）

若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z可導(dǎo)，則Δz沿實(shí)軸(x軸)和虛軸(y軸)趨近于0應(yīng)相等，即：==沿x軸：沿y軸：柯西-黎曼條件（C-R條件）——必要條件42（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

柯西-黎曼條件不是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分條件。例：證明在z=0處滿足C.R.條件，但在z=0處不可導(dǎo)。證：滿足C.R.條件而令，則隨而變，極限不存在?！趜=0處不可導(dǎo)注：43（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件

函數(shù)f(z)在點(diǎn)

z可導(dǎo)的充要條件是：

1）在點(diǎn)z處存在且連續(xù)；

2）滿足柯西-黎曼條件。證明：44（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件(續(xù)）由C-R條件

該極限為有限值且與Δz->0的方式無(wú)關(guān)——可導(dǎo)。45（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式461）可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系。當(dāng)函數(shù)可導(dǎo)時(shí)，僅由其實(shí)部或虛部即可求得導(dǎo)數(shù)。（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2）利用該條件可以判斷函數(shù)是否可導(dǎo)。注：3）復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解步驟：I)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性II)驗(yàn)證C-R條件III)由實(shí)部或虛部求導(dǎo)數(shù)：3、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式（續(xù)）47（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4、極坐標(biāo)系中的柯西-黎曼條件

復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示應(yīng)用廣泛，極坐標(biāo)系中的柯西-黎曼條件也有應(yīng)用價(jià)值。48（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4、極坐標(biāo)系中的柯西-黎曼條件（續(xù)）49例：判定函數(shù)平面上何處可導(dǎo)？（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：由柯西-黎曼條件：

可知：在曲線上函數(shù)可導(dǎo)。50（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)1、解析函數(shù)的定義若w=f(z)在z0點(diǎn)及其鄰域上處處可導(dǎo)，稱f(z)在點(diǎn)z0解析若w=f(z)是在區(qū)域

B上任意點(diǎn)可導(dǎo)，稱f(z)在區(qū)域B

解析1）在某個(gè)區(qū)域上，函數(shù)可導(dǎo)與解析是等價(jià)的。注：2）函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)解析的充要條件是：

a）在區(qū)域B內(nèi)可導(dǎo)且連續(xù)；

b）滿足柯西-黎曼條件。3）某區(qū)域內(nèi)解析函數(shù)在該區(qū)域必有任意階導(dǎo)數(shù)51例：判定函數(shù)在z平面上何處解析？（三）復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件§1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：函數(shù)在曲線上可導(dǎo)。在z平面內(nèi)處處不解析。52例：證明：f(z)=ex(cosy+isiny)在復(fù)平面上解析，且f’(z)=f(z)。證：在復(fù)平面上均一階偏導(dǎo)連續(xù)且滿足C.R.條件——解析（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)53定義1：在某區(qū)域上有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯方程的函數(shù)，稱為調(diào)和函數(shù)。（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)2、解析函數(shù)的性質(zhì)由C.R.條件前一式對(duì)x

求導(dǎo)，后式對(duì)y

求導(dǎo)，相加同理共軛調(diào)和函數(shù)定義2：若兩調(diào)和函數(shù)分別為同一復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部，則稱為共軛調(diào)和函數(shù)。54（一）解析函數(shù)及其性質(zhì)§1.4解析函數(shù)性質(zhì)一：若函數(shù)在區(qū)域B上解析，則為區(qū)域B上的共軛調(diào)和函數(shù)。2、解析函數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）性質(zhì)二：若函數(shù)在區(qū)域B上解析，則是相互正交的兩組曲線.證：55（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)

問(wèn)題：若只給定解析函數(shù)的實(shí)部u(x,y)或虛部v(x,y)，如何確定完整的解析函數(shù)？方法：具體步驟：設(shè)已知u(x,y)，求v(x,y)全微分式利用C.R.條件，求其共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)或u(x,y)。56（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)求解方法：方法一：曲線積分法（全微分的積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)）方法二：湊全微分顯式法方法三：不定積分法57例：已知解析函數(shù)實(shí)部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：故u為調(diào)和函數(shù)（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)方法一、曲線積分法58例：已知解析函數(shù)實(shí)部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)方法二、湊全微分顯式法59例：已知解析函數(shù)實(shí)部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)方法三、不定積分法對(duì)第二式對(duì)y積分，視x為參數(shù)，則有：60例：已知解析函數(shù)f(z)實(shí)部,求v(x,y)解：化為極坐標(biāo)求解（二）解析函數(shù)的確定§1.4解析函數(shù)61§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)單值函數(shù)：復(fù)數(shù)平面上點(diǎn)集E中的每一個(gè)點(diǎn),均按照某種映射關(guān)系，與一個(gè)復(fù)數(shù)值對(duì)應(yīng)，單值復(fù)變函數(shù)。多值函數(shù)：復(fù)數(shù)平面上點(diǎn)集E中的每一個(gè)點(diǎn),均按照某種映射關(guān)系，與多個(gè)復(fù)數(shù)值對(duì)應(yīng)，單值復(fù)變函數(shù)。62§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)（一）常見初等單值函數(shù)1、冪函數(shù)

當(dāng)n是正整數(shù)或0時(shí)在復(fù)平面上解析。2、多項(xiàng)式函數(shù)在復(fù)平面上解析.3、有理函數(shù)在復(fù)平面上除使Q(z)=0的點(diǎn)外解析63§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)（一）常見初等單值函數(shù)4、指數(shù)函數(shù)(ⅰ)ez≠0,因?yàn)閨ez|=|ex·eiy|=ex>0.(ⅱ)當(dāng)z=x(y=0)時(shí)，與實(shí)指數(shù)函數(shù)的定義一致.(ⅲ)ez1·ez2=ez1+z2.(ⅳ)w=ez在復(fù)平面上解析,且(ⅴ)64由歐拉公式:由此可得正弦函數(shù)、余弦函數(shù):（一）常見初等單值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)5、正、余弦函數(shù)有:65（一）初等單值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)性質(zhì)1:在復(fù)平面上解析,且性質(zhì)2：sinz是奇函數(shù),cosz是偶函數(shù),它們遵從三角公式性質(zhì)3：sinz及cosz以為周期.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)：66性質(zhì)4：sinz=0必須且只須cosz=0必須且只須（一）初等單值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)（續(xù)）：性質(zhì)5：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不再能斷定

通過(guò)sinz,cosz我們可以依照三角函數(shù)關(guān)系定義正切、余切、正割、余割.67（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)根式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等均為多值函數(shù)。1、根式函數(shù)即：多值函數(shù)68造成根式函數(shù)多值的原因：（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)考察z的連續(xù)變化：(1)z從給定點(diǎn)z0

出發(fā)，對(duì)應(yīng)的值w從w0出發(fā)；z環(huán)繞原點(diǎn)(z=0)轉(zhuǎn)一圈回到原處，輻角變?yōu)棣?+2π，而w由w0變?yōu)閣1，即w從一個(gè)單值分支變到另一個(gè)單值分支；繼續(xù)沿逆時(shí)針?lè)较蚶@z=0轉(zhuǎn)一圈，z再次回到原處，輻角變?yōu)棣?+4π，而w由w1

變?yōu)閣0。如路徑未包圍原點(diǎn)(z=0),則w始終在同一單值分支中變化，不會(huì)變化到另一分支z的輻角的多值性，即692、幾個(gè)概念定義：設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義,且對(duì)D內(nèi)任意不同的兩點(diǎn)z1及z2都有f(z1)≠f(z2)，則稱函數(shù)f(z)在D內(nèi)是單葉的，并且稱區(qū)域D為f(z)的單葉性區(qū)域。（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)例如：有兩個(gè)單葉性區(qū)域：

單值分支（單葉區(qū)域）703)所有值域分支合起來(lái)覆蓋整個(gè)w平面（值域平面）。（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)2)單值分支間互不交迭。注：1)自變量z幅角變化2π，對(duì)應(yīng)一個(gè)單值分值；2、幾個(gè)概念

單值分支（單葉區(qū)域）71（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)

如果讓z沿閉曲線C繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)一周回到z，則z的輻角就從θ變成θ±2π

(其中“+”號(hào)對(duì)應(yīng)于逆時(shí)針繞行，“-

”

號(hào)對(duì)應(yīng)于順時(shí)針繞行)，函數(shù)值也就從w1變成w2.

如果z繞其它點(diǎn)轉(zhuǎn)一周，而所沿曲線不包圍原點(diǎn)，則z的輻角不變，因而函數(shù)值也不變．

可見原點(diǎn)具有特殊地位，這樣的點(diǎn)稱為多值函數(shù)的支點(diǎn)．函數(shù)只有一個(gè)有限支點(diǎn)z=0．另一個(gè)支點(diǎn)為z=∞.2、幾個(gè)概念

支點(diǎn)72（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)支點(diǎn)特性:

當(dāng)z繞任意包圍它的路徑一周并回到原處時(shí),函數(shù)值不復(fù)原，多值函數(shù)值由一個(gè)分支變到另一個(gè)分支，具有這種性質(zhì)的點(diǎn)稱為多值函數(shù)的支點(diǎn)。

若z繞支點(diǎn)n周后，函數(shù)值w復(fù)原，則稱該支點(diǎn)為n-1階支點(diǎn)。注：2、幾個(gè)概念

支點(diǎn)73例：的割縫：其支點(diǎn)為z=0，z=∞（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)

從z=0出發(fā)，沿x軸正方向作一割縫至z=∞。此時(shí)，z無(wú)論在平面上怎樣變化都不可能繞z=0或z=∞轉(zhuǎn)一圈，則輻角的變化范圍在2π之內(nèi)，由此可知，w的值必在一個(gè)單值分支之內(nèi)。

從原點(diǎn)O起到點(diǎn)∞任意引一條射線將z平面割破，該射線稱為割線。在割破了的平面上，可認(rèn)為z在連續(xù)變化的過(guò)程中不能跨越割縫，即幅角該變量

argz<2

，此時(shí)函數(shù)值將只在一個(gè)單葉區(qū)域內(nèi)，可視作單值函數(shù)來(lái)研究。2、幾個(gè)概念

割線74（二）初等多值函數(shù)§1.5單值函數(shù)與多值函數(shù)

中，z的第一圈和第二圈分別在“不同