電路上冊(王培峰主編)第六章

6正弦穩(wěn)態(tài)電路及其分析目錄正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率6-3正弦穩(wěn)態(tài)電路的最大功率傳輸6-4串聯(lián)諧振6-5并聯(lián)諧振6-6正弦穩(wěn)態(tài)電路的一般分析方法6-2阻抗和導(dǎo)納6-12.正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析3.正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率分析

重點(diǎn)：1.阻抗和導(dǎo)納4.正弦穩(wěn)態(tài)電路的串聯(lián)諧振5.正弦穩(wěn)態(tài)電路的并聯(lián)諧振6-1

阻抗和導(dǎo)納1.阻抗正弦穩(wěn)態(tài)情況下Z+-無源線性網(wǎng)絡(luò)+-阻抗模阻抗角歐姆定律的相量形式當(dāng)無源網(wǎng)絡(luò)內(nèi)為單個元件時有Z

可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)。C+-R+-表明L+-2.

RLC串聯(lián)電路KVL：R+-+-+-+-j

LLCRuuLuCi+-+-+-+-uRZ—復(fù)阻抗；|Z|—復(fù)阻抗的模；

Z

—阻抗角；R—電阻(阻抗的實(shí)部)；X—電抗(阻抗的虛部)。轉(zhuǎn)換關(guān)系：或R=|Z|cos

ZX=|Z|sin

Z阻抗三角形|Z|RXjZ分析R、L、C

串聯(lián)電路得出（2）wL>1/wC

，X>0，jZ>0，電路為感性，電壓超前電流。相量圖：一般選電流為參考相量，

Z電壓三角形j

Leq等效電路R+-+-+-（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|jZ

為復(fù)數(shù)，稱復(fù)阻抗。

X（3）wL<1/wC，

X<0，jZ

<0，電路為容性，電壓落后電流。

ZUX等效電路R+-+-+-（4）wL=1/wC

，X=0，j

Z=0，電路為電阻性，電壓與電流同相。R+-+-等效電路例1-1

已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求

i,uR,uL,uC。解畫出相量模型LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-j

L則UL=8.42>U=5，分電壓大于總電壓。相量圖注意

-3.4°3.導(dǎo)納正弦穩(wěn)態(tài)情況下導(dǎo)納模導(dǎo)納角Y+-無源線性網(wǎng)絡(luò)+-對同一二端網(wǎng)絡(luò):當(dāng)無源網(wǎng)絡(luò)內(nèi)為單個元件時有Y

可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)。表明C+-R+-L+-4.RLC并聯(lián)電路由KCL：iLCRuiLiC+-iRR+-

j

LY—復(fù)導(dǎo)納；|Y|—復(fù)導(dǎo)納的模；

Y—導(dǎo)納角；G—電導(dǎo)(導(dǎo)納的實(shí)部)；B—電納(導(dǎo)納的虛部)；轉(zhuǎn)換關(guān)系：或G=|Y|cos

YB=|Y|sin

Y導(dǎo)納三角形|Y|GB

Y（2）wC>1/wL，B>0，

Y>0，電路為容性，電流超前電壓。相量圖：選電壓為參考向量，

Y分析R、L、C

并聯(lián)電路得出：RLC并聯(lián)電路會出現(xiàn)分電流大于總電流的現(xiàn)象。IB注意（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|jY

為復(fù)數(shù)，稱復(fù)導(dǎo)納。（3）wC<1/wL，B<0，

Y<0，電路為感性，電流落后電壓。

Y等效電路R+-（4）wC=1/wL，B=0，

Y=0，電路為電阻性，電流與電壓同相。等效電路等效電路R+-+-j

LeqR+-5.

復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納的等效互換一般情況G

1/R，B

1/X。若Z為感性，X>0，則B<0，即仍為感性。ZRjXGjBY注意同樣，若由Y變?yōu)閆，則有GjBYZRjX例1-2RL串聯(lián)電路如圖，求在

＝106rad/s時的等效并聯(lián)電路。解RL串聯(lián)電路的阻抗為

L'R'0.06mH50

注意一端口N0的阻抗或?qū)Ъ{是由其內(nèi)部的參數(shù)、結(jié)構(gòu)和正弦電源的頻率決定的，在一般情況下，其每一部分都是頻率的函數(shù)，隨頻率而變。其實(shí)部將為負(fù)值，其等效電路要設(shè)定受控源來表示實(shí)部。一端口N0中如不含受控源，則有或但有受控源時，可能會出現(xiàn)或注意一端口N0的兩種參數(shù)Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互換，其極坐標(biāo)形式表示的互換條件為6.

阻抗（導(dǎo)納）的串聯(lián)和并聯(lián)分壓公式阻抗的串聯(lián)Z1+Z2Zn－Z+-分流公式導(dǎo)納的并聯(lián)兩個阻抗Z1、Z2的并聯(lián)等效阻抗為Y+-Y1+Y2Yn－（1）對于不含受控源的一端口，可以去掉一端口內(nèi)部的獨(dú)立源，直接使用阻抗串、并聯(lián)、Y-△等效變換的方法7.

一端口電路等效阻抗（導(dǎo)納）的計(jì)算（2）對于含有受控源的一端口，可以去掉一端口內(nèi)部的獨(dú)立源，使用外加電源法（3）對于含有受控源的一端口，也可以保留一端口內(nèi)部的獨(dú)立源，使用開路、短路法例1-3求圖示電路的等效阻抗，

＝105rad/s

。解感抗和容抗為1mH30

100

0.1FR1R26-2

正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析電阻電路與正弦電流電路的分析比較下頁上頁返回1.引入相量法，電阻電路和正弦電流電路依據(jù)的電路定律是相似的。下頁上頁結(jié)論2.引入電路的相量模型，把列寫時域微分方程轉(zhuǎn)為直接列寫相量形式的代數(shù)方程。3.引入阻抗以后，可將電阻電路中討論的所有網(wǎng)絡(luò)定理和分析方法都推廣應(yīng)用于正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。直流（f=0)是一個特例。返回應(yīng)用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的一般步驟畫出電路的相量模型必要時采用等效變換的方法簡化相量模型選擇一種適當(dāng)?shù)那蠼夥椒?，列出電路的相量方程解方程，求得所需的電流或電壓相量必要時，將求得的電流、電壓相量表示為瞬時值表達(dá)式例3-1畫出電路的相量模型求各支路電流。已知：解R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1Z1Z2R2+_R1Z1Z2R2+_R1列寫電路的回路電流方程和結(jié)點(diǎn)電壓方程。例3-2

解回路方程+_LR1R2R3R4C+_R1R2R3R4結(jié)點(diǎn)方程+_R1R2R3R4方法1：電源變換解例3-3Z2Z1

Z3Z+-Z2Z1ZZ3方法2：戴維南等效變換求開路電壓：求等效電阻：ZeqZ+-+-Z2Z1Z3例3-4求圖示電路的戴維南等效電路。解求開路電壓：j300

+_+_50

50

+_j300

+_+_100

求短路電流：+_100

+_j300

+_+_100

例3-5

解Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3用疊加定理計(jì)算電流,Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3+-已知平衡電橋Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

求：Zx=Rx+jwLx。平衡條件：Z1Z3=

Z2Zx

得R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例3-6解

|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+

3

=

2

+

x

Z1Z2ZxZ3

|Z1|

1

?|Z3|

3

=|Z2|

2

?|Zx|

x

已知：Z=（10+j50）W,Z1=（400+j1000）W。例3-7解ZZ1+_

已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,

f=50Hz。

求：線圈的電阻R2和電感L2

。畫相量圖分析。例3-8解法1q2qR1R2L2+_+_+_q2q其余步驟同解法1。解法2R1R2L2+_+_+_用相量圖分析例3-9移相橋電路。當(dāng)R2由0∞時，解當(dāng)R2=0，q=180°；當(dāng)R2

∞，q=0°。abbabR2R1R1+_+-+-+-+-例3-10圖示電路，解R1R2jXL+_+_jXC6-3

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率1.瞬時功率第一種分解方法第二種分解方法無源網(wǎng)絡(luò)+ui_第一種分解方法：p

有時為正,有時為負(fù)。p>0,電路吸收功率。p<0，電路發(fā)出功率。

t

iOuUIcos

恒定分量UIcos

(2t－)為正弦分量p

tO第二種分解方法：UIcos

[1-cos

(2t)]為不可逆分量UIsin

sin2t為可逆分量

部分能量在電源和一端口之間來回交換。2.平均功率

P

=

u-

i：功率因數(shù)角。對無源網(wǎng)絡(luò)，為

其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因數(shù)。P

的單位：W（瓦）X>0,j>0,

感性;X<0,j<0,

容性。cosj

1,純電阻0，純電抗平均功率實(shí)際上是電阻消耗的功率，亦稱為有功功率。表示電路實(shí)際消耗的功率，它不僅與電壓、電流有效值有關(guān)，而且與cos

有關(guān)，這是交流和直流的很大區(qū)別,主要由于電壓、電流存在相位差。結(jié)論一般地,有：0<

cos

<14.視在功率S3.無功功率

Q單位：var

(乏)Q>0，表示網(wǎng)絡(luò)吸收無功功率。Q<0，表示網(wǎng)絡(luò)發(fā)出無功功率。Q

的大小反映網(wǎng)絡(luò)與外電路交換功率的速率。是由儲能元件L、C的性質(zhì)決定的電氣設(shè)備的容量有功，無功，視在功率的關(guān)系：有功功率:

P=UIcos

單位：W無功功率:

Q=UIsinj

單位：var視在功率:

S=UI

單位：V·AjSPQ功率三角形5.R、L、C元件的有功功率和無功功率uiR+-PR=UIcos

=UIcos0

=UI=I2R=U2/RQR=UIsin

=UIsin0

=0PL=UIcos

=UIcos90

=0QL=UIsin

=UIsin90

=UI=I2XLiuC+-PC=UIcos

=UIcos(-90

)=0QC=UIsin

=UIsin(-90

)=-UI=

I2XCiuL+-6.

任意阻抗的功率計(jì)算PZ=UIcos

=I2|Z|cos

=I2RQZ=UIsin

=I2|Z|sin

=I2X

＝I2(XL＋XC)=QL＋QCjSPQjZRX相似三角形(發(fā)出無功)uiZ+-電感、電容的無功補(bǔ)償作用

t

iOuLL發(fā)出功率時，C剛好吸收功率，與外電路交換功率為pL+pC。L、C的無功功率具有互相補(bǔ)償?shù)淖饔谩?/p>

t

iOuCpLpCLCRuuLuCi+-+-+-電壓、電流的有功分量和無功分量：以感性負(fù)載為例

RX+_+_+_GB+_jSPQjZRX相似三角形jIIGIBjUURUX反映電源和負(fù)載之間交換能量的速率。無功功率的物理意義:例3-1三表法測線圈參數(shù)。已知：f=50Hz，且測得U=50V，I=1A，P=30W。解法1RL+_ZWAV**解法2又解法37.

功率因數(shù)的提高設(shè)備容量

S

(額定)向負(fù)載送多少有功功率要由負(fù)載的阻抗角決定。P=UIcos

=Scos

jcos

j=1,P=S=75kWcos

j=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用戶：異步電機(jī)

空載cos

j

=0.2~0.3

滿載

cos

j=0.7~0.85熒光燈

cos

j=0.45~0.6設(shè)備不能充分利用，電流到了額定值，但功率容量還有。功率因數(shù)低帶來的問題：S75kVA負(fù)載當(dāng)輸出相同的有功功率時，線路上電流大，I=P/(Ucos

)，線路壓降損耗大。j1j2解決辦法：（1）高壓傳輸。（2）改進(jìn)自身設(shè)備。（3）并聯(lián)電容，提高功率因數(shù)。i+-uZ分析j1j2并聯(lián)電容后，原負(fù)載的電壓和電流不變，吸收的有功功率和無功功率不變，即：負(fù)載的工作狀態(tài)不變。但電路的功率因數(shù)提高了。特點(diǎn)：LRC+_并聯(lián)電容的確定：補(bǔ)償容量不同全——不要求(電容設(shè)備投資增加,經(jīng)濟(jì)效果不明顯)欠過——功率因數(shù)又由高變低(性質(zhì)不同)j1j2并聯(lián)電容也可以用功率三角形確定：j1j2PQCQLQ從功率角度看:并聯(lián)電容后，電源向負(fù)載輸送的有功功率UILcos

1=UIcos

2不變，但是電源向負(fù)載輸送的無功UIsin

2<UILsin

1減少了，減少的這部分無功功率由電容“產(chǎn)生”來補(bǔ)償，使感性負(fù)載吸收的無功功率不變，而功率因數(shù)得到改善。8.復(fù)功率負(fù)載+_定義：也可表示為結(jié)論是復(fù)數(shù)，而不是相量，它不對應(yīng)任意正弦量。注意把P、Q、S

聯(lián)系在一起，它的實(shí)部是平均功率，虛部是無功功率，模是視在功率。

復(fù)功率滿足守恒定理：在正弦穩(wěn)態(tài)下，任一電路的所有支路吸收的復(fù)功率之和為零。即

復(fù)功率守恒，視在功率不守恒。求電路各支路的復(fù)功率。例3-2解1+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解26-4

正弦穩(wěn)態(tài)電路的最大功率傳輸Zeq

=Req+jXeq，

ZL=RL+jXL負(fù)載有源網(wǎng)絡(luò)等效電路ZLZeq+-正弦電路中負(fù)載獲得最大功率Pmax的條件。若ZL=RL+jXL可任意改變

(a)先設(shè)RL不變，XL改變顯然，當(dāng)Xeq+XL=0，即XL=-Xeq時，P獲得最大值。(b)再討論

RL改變時，P的最大值。討論當(dāng)RL=Req

時，P獲得最大值RL=Req

XL=-XeqZL=Zeq*最佳匹配條件若ZL=RL+jXL只允許XL改變

獲得最大功率的條件是：Xeq+XL=0，即

XL=-Xeq

最大功率為若ZL=RL為純電阻負(fù)載獲得的功率為電路中的電流為模匹配電路如圖。求：1.RL=5

時其消耗的功率；2.RL=?能獲得最大功率，并求最大功率；3.在RL兩端并聯(lián)一電容，問RL和C為多大時能與內(nèi)阻抗最佳匹配，并求最大功率。例4-1

解+_10∠0°

V50HRL5W

=105

rad/s+_10∠0°V50HRL5WC+_10∠0°V50HRL5W6-5

串聯(lián)諧振諧振是正弦電路在特定條件下產(chǎn)生的一種特殊物理現(xiàn)象。諧振現(xiàn)象在無線電和電工技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用，研究電路中的諧振現(xiàn)象有重要實(shí)際意義。

含R、L、C的一端口電路，在特定條件下出現(xiàn)端口電壓、電流同相位的現(xiàn)象時，稱電路發(fā)生了諧振。1.諧振的定義發(fā)生諧振RLC電路+-2.串聯(lián)諧振的條件諧振角頻率諧振頻率諧振條件僅與電路參數(shù)有關(guān)Rj

L+_串聯(lián)電路實(shí)現(xiàn)諧振的方式：(1)

LC

不變，改變

w(2)電源頻率不變，改變

L

或C

(常改變C

)

0由電路參數(shù)決定，一個RLC串聯(lián)電路只有一個對應(yīng)的

0

,當(dāng)外加電源頻率等于諧振頻率時，電路發(fā)生諧振。3.RLC串聯(lián)電路諧振時的特點(diǎn)阻抗的頻率特性幅頻特性相頻特性X(

)|Z(

)|XL(

)XC(

)R

0

Z(

)OZ(j

)頻響曲線

(

)

0

O–/2

/2Z(j

)頻響曲線表明阻抗特性可分三個區(qū)域描述：容性區(qū)感性區(qū)電阻性輸入阻抗為純電阻，即Z=R，阻抗值|Z|最小。電流I

和電阻電壓UR達(dá)到最大值I0=U/R(U一定)。+++___Rj

L+_(2)L、C上的電壓大小相等，相位相反，串聯(lián)總電壓為零，也稱電壓諧振，即特性阻抗品質(zhì)因數(shù)當(dāng)

＝w0L=1/(w0C)>>R

時，Q>>1

UL=UC=QU

>>U(3)諧振時出現(xiàn)過電壓例2-1某收音機(jī)輸入回路

L=0.3mH，R=10

，為收到中央電臺560kHz信號，求：(1)調(diào)諧電容C值；(2)如輸入電壓為1.5V,求諧振電流和此時的電容電壓。解或+_LCRuI0(4)諧振時的功率

P=UIcos

＝UI＝RI02=U2/R電源向電路輸送電阻消耗的功率，電阻功率達(dá)最大。電源不向電路輸送無功功率。電感中的無功功率與電容中的無功功率大小相等，互相補(bǔ)償，彼此進(jìn)行能量交換。注意+_PQLCR(5)諧振時的能量關(guān)系設(shè)則電場能量磁場能量電感和電容能量按正弦規(guī)律變化，最大值相等

WLm=WCm。L、C的電場能量和磁場能量作周期振蕩性的交換，而不與電源進(jìn)行能量交換。表明

總能量是不隨時間變化的常量，且等于最大值。電感、電容儲能的總值與品質(zhì)因數(shù)的關(guān)系：Q是反映諧振回路中電磁振蕩程度的量，Q越大，總能量就越大，維持振蕩所消耗的能量愈小，振蕩程度越劇烈。則振蕩電路的“品質(zhì)”愈好。一般在要求發(fā)生諧振的回路中希望盡可能提高Q值。諧振時電路中電磁場的總儲能諧振時一周期內(nèi)電路消耗的能量例2-2

一接收器的電路參數(shù)為：

=5

103

rad/s,U=10V，調(diào)C使電路中的電流最大，Imax=200mA，測得電容電壓為600V，求R、L、C及Q。解+_LCRuV（6）頻率特性為了分析RLC串聯(lián)電路的諧振性能，需要研究電路中的電流、電壓、阻抗和阻抗角等各量隨頻率變化的情況，稱為頻率特性。描述明電壓、電流與頻率變化關(guān)系的圖形稱為諧振曲線。當(dāng)電壓源的電壓不變，而頻率改變時，電流的頻率特性為Q=10Q=1Q=0.51O

在諧振點(diǎn)響應(yīng)出現(xiàn)峰值，當(dāng)

偏離

0時，輸出下降。即串聯(lián)諧振電路對不同頻率信號有不同的響應(yīng)，對諧振信號最突出(響應(yīng)最大)，而對遠(yuǎn)離諧振頻率的信號具有抑制能力。這種對不同輸入信號的選擇能力稱為“選擇性”。諧振電路具有選擇性

表明諧振電路的選擇性與Q成正比

Q越大，諧振曲線越陡，電路對非諧振頻率的信號具有越強(qiáng)的抑制能力，所以選擇性越好。因此Q是反映諧振電路性質(zhì)的一個重要指標(biāo)。通頻帶及其帶寬

工程中為了定量地衡量選擇性，通常將電流通過曲線上，即的點(diǎn)所對應(yīng)的兩個頻率、（或、）之間的范圍稱為通頻帶，其寬度稱為通頻帶的帶寬，用表示，即

0

2

10.707I0Q=10Q=1Q=0.5O

或可以證明：例3-1

討論一接收器的輸出電壓UR，參數(shù)為

U1=U2=U3=10mV,當(dāng)電容調(diào)至

C=150pF時諧振。

w0=5.5

106rad/s,f0=820kHzf(kHz)北京臺中央臺北京經(jīng)濟(jì)臺

L8206401026X-1290–1660-10340–660577129010001611UR0=10UR1=0.304UR2=0.346UR=UR/|Z|下頁上頁返回+_+_+LCRu1u2u3_L=250mH,R=20W,解UR0=10UR1=0.304UR2=0.346UR=UR/|Z|(mA)收到北京臺820kHz的節(jié)目。8206401200UR(f

)f/kHzO下頁上頁返回例3-2一信號源與R、L、C電路串聯(lián)，要求

f0=104Hz，△f=100Hz，R=15

，請?jiān)O(shè)計(jì)一個線性電路。解下頁上頁返回+_LCRu10

1.GCL

并聯(lián)諧振6-6并聯(lián)諧振諧振角頻率|Y|ww0oG諧振特點(diǎn)：輸入導(dǎo)納為純電導(dǎo)，導(dǎo)納值|Y|最小，端電壓達(dá)最大。下頁上頁返回+_GCL

0

OU(

)Is/G

L、C上的電流大小相等，相位相反，并聯(lián)總電流為零，也稱電流諧振，即IL(w0)

=IC(w0)

=QIs

下頁上頁返回+_GCL諧振時的功率諧振時的能量品質(zhì)因數(shù)下頁上頁返回2.電感線圈與電容器的并聯(lián)諧振實(shí)際的電感線圈總是存在電阻，因此當(dāng)電感線圈與電容器并聯(lián)時，電路如圖所示。（1）諧振條件下頁上頁返回CLR電路發(fā)生諧振是有條件的，在電路參數(shù)一定時，滿足注意一般線圈電阻R<<

L，則等效導(dǎo)納為諧振角頻率下頁上頁返回等效電路品質(zhì)因數(shù)線圈的品質(zhì)因數(shù)（