【江蘇專用】2021年人教A版高二數(shù)學(xué)必修三

6.3二項(xiàng)式定理（精練）

【題組一二項(xiàng)式定理展開式】

1.（2021?貴州黔東南苗族侗族自治州）計(jì)算2"一匕+2"-2￡；+2"-3端+~+禺等于（）

A.3"B.2x3"C.3"—1D.3"-2"

【答案】D

【解析】原式可變?yōu)椋?"C：+2nTC；+2n-2c；+2"Tc：+?..+C：）-2"。,；=（2+1）"-2"=3"-2"選項(xiàng)1）.

2.（2021?江蘇無錫市））設(shè)nGN*，化簡(jiǎn)l+C：?10+C>102+C"03+―+C；40"=.

【答案】11"

【解析】容易知1+C：?1（）+IO?+C；?IO,+…+C：?10"=（1+⑼”=11".故答案為：11":.

3.（2021?上海市）已知〃eN*，若C：+2C；++…+2”-2￡7+2”1=40,則"=_.

【答案】4

【解析】C：+2C；+2?C；+…+2'-2CT+2"T=；（端+2C：+2?C；+…+2"C：-1）

=；[（1+2）"-1]=；（3"—1）=40.?.〃=4故答案為：4

4.（2018?江蘇無錫市）求值22"T—C；,i2i+c；,i"心+……+（一1產(chǎn)-2c2+（—I）2"T=

【答案】1

【解析】通項(xiàng)展開式中C；"_「22"-3的b=-i,a=2,故

22"-,-C^,-22n-2+C^_,-22n-3+……+（-1廣2c丈12+（—1）21=（2—1嚴(yán)=1

【題組二二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)】

C1~3Y

1.（2020?湖北高二）——一六展開式中含涓的項(xiàng)是（）

I3X

A.第8項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第5項(xiàng)

【答案】C

任」、1、2(_1YI-

【解析】展開式的通項(xiàng)公式為:4s=C；.-XI.=(—lyji.C；?/二

、3G,(3JI)

73

令——r=——nr=5；故展開式中含的項(xiàng)是第6項(xiàng).故選：C.

22x

2.（2020?安徽合肥市）二項(xiàng)式（1-力2（）2°展開式中的第2020項(xiàng)是（）

A.1B.2O2O%2019C.-2020y9D.x2020

【答案】C

【解析】由二項(xiàng)展開式（1—x）2°2°,可得展開式的通項(xiàng)為7；+1=Go2o（-xy，

所以展開式中第2020項(xiàng)為Go=G胱（-6如9=一2020鏟19.故選：C.

3.（2020?常州市新橋高級(jí)中學(xué)高二期中）二項(xiàng)式（血]+!）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為,

【答案】40>/2

【解析】（0X+L）的展開式的通項(xiàng)公式為=。>（、舊廣'-6-2',

令6—2廠=0,可得r=3,所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為C。卜后丫=40底，故答案為：400.

4（2020?全國(guó)高二）已知，五一島=）在的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

（1）求“；

（2）求含/的項(xiàng)的系數(shù)；

（3）求展開式中所有的有理項(xiàng).

6345

【答案】(1)〃=10；(2)—；(3)—X2,

44~8，256/

n-rIY」(1A--

【解析】⑴卜五3

的展開式的通項(xiàng)為Tr+]=C：x丁XX3,因?yàn)榈?

項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r=5時(shí)，有------=0,解得〃=10.

3

（2）令與女=2,得r=；（“—6）=gx（10—6）=2,所以含產(chǎn)的項(xiàng)的系數(shù)為量卜=?

9紅eZ

(3)根據(jù)通項(xiàng)公式與題意得，令一^^=A(AeZ),則10—2廠=3左，即廠=5-/k.reZ，

；.女應(yīng)為偶數(shù).又OWrWIO,二女可取2,0,-2,即，可取2,5,8.所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有

45

2567

【題組三多項(xiàng)式指定項(xiàng)系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)】

1.(2021?鄭縣)在(1+2—])的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-50B.-30C.30D.50

【答案】B

【解析】(1+2—%)表示5個(gè)因式(1+|-的乘枳，在這5個(gè)因式中,

有2個(gè)因式都選一x,其余的3個(gè)因式都選1,相乘可得含爐的項(xiàng)；

或者有3個(gè)因式選一X,有1個(gè)因式選1個(gè)因式選1,相乘可得含爐的項(xiàng)，

X

故V項(xiàng)的系數(shù)為C；+(—(?；?《?2)=—30,故選B.

2.(2021?全國(guó))(/+3x+2)6展開式中x的系數(shù)為()

A.92B.576C.192D.384

【答案】B

【解析】卜2+3》+2)6展開式中含”的項(xiàng)為煤(3力屐-25=6X3》*32=576%，即x的系數(shù)為576；故

選B.

3.(2020?河南鶴壁市)(x—y)(x+2y+z)6的展開式中，的系數(shù)為()

A.-30B.120C.240D.420

【答案】B

【解析】[(x+2y)+z]2展開式中含z2項(xiàng)為Cl(%+2>-)4z2,(x+2y『展開式中孫?項(xiàng)的系數(shù)為

C：X23,*2y2項(xiàng)的系數(shù)為c：x22,.?.(x—y)(x+2y+z)6展開式中/y3z2的系數(shù)為

C：C：X23_C；C：X22=480-360=120,故選B.

,1?

4.（2020?新疆高二期末）代數(shù)式（/+2）（--1）5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）

x

【答案】3

【解析】已一”的通項(xiàng)公式為&|=。6尸（一1）「=（一1）匕”.

令2r—10=—2,得廠=4；令2r—10=0,得r=5.

4

常數(shù)項(xiàng)為（-1）C：+2（7）5C；=5-2=3故答案為3

5.（2020?民勤縣第一中學(xué)高二期末）（/-1）（五+彳）6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

【答案】180

【解析】（4+2）的展開式中的通項(xiàng)公式￡+1=以（4廣|2）=以.2-/考，

而（V一+=%3（?+2）_（?+2））分別令3—與=一3,3—當(dāng)=0,解得攵=4,或左=2.

??.（d-l）［五+2）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)24。：—22。：=18（）.故答案為：180.

6.（2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）求（l+x）6（2y+l）5的展開式中公＞2的系數(shù)

【答案】600

【解析】因?yàn)椋╨+x）6（2y+l）5的展開式中含x、2的項(xiàng)為c：%4c；（2y）2,所以其系數(shù)為2?=600.故

答案為：600

7.（2020?江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)高二期中）（f+3x+2）5的展開式中V的項(xiàng)的系數(shù)是.

【答案】1560

【解析】由題意，（f+3x+2）5=（l+x）5（2+x）5,

因?yàn)椋?+X）5的展開式的通項(xiàng)公式為=qx1-,（2+4的展開式的通項(xiàng)公式為a=C；25Yf,

所以（/+3X+2）5的展開式中X3的項(xiàng)的系數(shù)是C；C；25+C；C；24+C；C；23+

320+800+400+40=1560.故答案為：1560.

6

己知（2/+。）卜―

8.（2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中V的系數(shù)是-10,求實(shí)數(shù)a的值

【答案】2

【解析】由（x—的展開式的通項(xiàng)公式為（+1=C；x6-（一=（—iyc；x6-2,（r=o,],2,...,6），

令6—2廠=0,可得r=3，令6—2廠=2,可得r=2，

所以（2尤2+力卜」）的展開式中/的系數(shù)為2x（-1）3XC：+“X（—1）2XC；=T0,

解得a=2.故答案為：2.

【題組四二項(xiàng)式定理的性質(zhì)】

1.（2020?安徽省六安中學(xué)高二期中）的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開

式中%5的系數(shù)為（）

【答案】D

【解析】因?yàn)樵诘恼归_式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大所以”=8所以

(1(1\r8+r8+廣

式的通項(xiàng)(+i=C；(?)81—--x〒，r=0,l,2,…,8令丁=5,得r=2

\2/\2/2

所以展開式中d的系數(shù)為=7故選：D

（1V

2.（2020?利川市第五中學(xué)高二期末）若上的展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中

kx）

含f項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.132B.-132C.-66D.66

【答案】D

【解析】因?yàn)椋▁—'

展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,

所以〃為偶數(shù)，展開式有13項(xiàng)，〃=12,

所以二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（+1=G2M2-rj—=C；2（—

由12—2r=8得r=2,所以展開式中含f項(xiàng)的系數(shù)為=66.故選：D

3.（2020?銀川市?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）（五一展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則

展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）

A.180B.90C.-180D.-90

【答案】A

【解析】馬］展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，.?.〃=io,

故（4一4）展開式的通項(xiàng)公式為C；o（△>'1_=/（-2）";母，令5-全=0,解得

r=2,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為Gjx2?=18（）.故選：A

4.（多選）（2020?江蘇泰州市?高二期末）在的展開式中，下列說法正確的有（）

1X）

A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為0

C.常數(shù)項(xiàng)為20D.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)

【答案】ABD

【解析】的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為26=64,A正確；

IX）

令x=l可得（x—L）的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1—1）6=0,B正確：

通項(xiàng)為（；（一1）'產(chǎn)2，，令6-2r=0nr=3,所以「一口的展開式中常數(shù)項(xiàng)為《（—=—20,C錯(cuò)誤；

IX）

（尤-工）的展開式共有7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大為第4項(xiàng)，D正確.故選：ABD

5.（多選）（2020?蘇州市第四中學(xué)校高二期中）已知（?+也）"（其中〃<15）的展開式中第9項(xiàng)，第

10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.則下列結(jié)論正確的是（）

A.〃的值為14B.展開式中常數(shù)項(xiàng)為第8項(xiàng)

C.展開式中有理項(xiàng)有3項(xiàng)D.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第7項(xiàng)

【答案】AC

【解析】由題意2C：=C：+C；°,化簡(jiǎn)得（〃-14）（〃一23）=0,."=14.A正確;

42-r

展開式通項(xiàng)為Tr+l=（6）g（孤）=C：x〒（0<r<14,re^）,

顯然其中無常數(shù)項(xiàng)，B錯(cuò)誤；

42—r

當(dāng)廠=0,6,12時(shí)，-----=7,6,5為整數(shù)，因此展開式中有3項(xiàng)為有理項(xiàng)，C正確；

6

展開式有15項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第8項(xiàng)，D錯(cuò)誤.故選：AC.

6.（2020?山東濰坊市?壽光現(xiàn)代中學(xué)高二期中）關(guān)于的說法，正確的是（）

A.展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2048

B.展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

C.展開式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

D.展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大

【答案】AC

【解析】的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=2048,所以A正確；

因?yàn)椤?11為奇數(shù)，所以展開式中有12項(xiàng)，中間兩項(xiàng)（第6項(xiàng)和第7項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，所以5

不正確，C正確；展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，不是最大值，所以0不正確.故選：AC

/2丫

7.（2020?河北石家莊市?石家莊二中高二期中）（多選題）已知一+3/展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和比

I7

它的二項(xiàng)式系數(shù)的和大992,則下列結(jié)論正確的為（）

A.展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為B.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第三項(xiàng)

C.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)只有第五項(xiàng)D.展開式中有理項(xiàng)為第三項(xiàng)、第六項(xiàng)

【答案】CD

【解析】令x=l,可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4"，又二項(xiàng)式系數(shù)的和2"，

因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)的和比它的二項(xiàng)式系數(shù)的和大992,所以4"-2"=992,解得〃=5,

對(duì)A：因?yàn)槎?xiàng)式展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，

25

所以展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為二=2",故A錯(cuò)誤；

2

對(duì)B：因?yàn)椤?5,所以第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故B錯(cuò)誤；

210+4r

對(duì)C：j1=Cj')5-r-(3x2)r=C5-3r-x3，設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng)，

c-y>c'~'-3r-179

則｛rLi川，解得一WrW-，又rwN，所以r=4，

C；-3r>C；+1-3r+122

所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)只有第五項(xiàng)，故C正確；

10+4〃

對(duì)D：若Zs是有理項(xiàng)，則當(dāng)且二一為整數(shù)，又0KrW5,reN,

所以r=2,5,所以展開式中有理項(xiàng)為第三項(xiàng)、第六項(xiàng)，故D正確.故選：CD

【題組五二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)和】

1.(2020?浙江臺(tái)州市?高二期中)若(l+x)3(l-2x)4=%+++…+%/,則/+。2+%+。6=

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】令x=l可得：%+4+%+…+%=(1+1)3(1-2)4=8,

令尤=—1可得:<20—<21+<224----%=(1—1)3(1+2)4=0,兩式相加可得:2(q)+。2+4+。6)=8,

所以4+4+4+46=4，故選：B

2.(2020徐曼旗實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)已知(1+x)"=%+4%+4乂2+…+a,X',4+4+4+…+%=16,

則自然數(shù)〃等于()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】由題意，令x=l,則(1+1)"=4+4+%■1--->■—2,!)

因?yàn)?+弓+%-1---=16,所以2"=16，解得〃=4.故選：C.

3.(2020?河北石家莊市?石家莊二中高二期中)若

20M2019aJl822020

a0x+a1x(l-x)+a2x(l-x)+...+a2020(l-x)=l,則,+4+…+囁。=()

A.1B.0C.22020D.22021

【答案】C

2<，2(，202020192OI822020

【解析】Q[x+(1-x)]=aox+a,x(l-x)+?2X(1-x)+L+?2020(l-x)=1,

當(dāng)0WZW2020且&eN時(shí)，ak=C*020,

因此，“o+q+a2H-----“202。=。力。+Go2o+C；o2o+L+C；：；；=2"~°.故選：C.

4.（2020?古丈縣第一中學(xué)高二月考）已知多項(xiàng)式

（2x—l）、5（2x—l）4+10（2x—l）3—10（2x—I）?+5（2x—l）—1可以寫成

234

a0+a.x+a2x+a3x+a4x+,則4+02+%=（）

A.0B.-1024C.-512D.-256

【答案】C

【解析】由題意，多項(xiàng)式（2x—l）s—5（2x—l）4+10（2x—l）3—10（2x—1F+5（2X—1）—1

=[（2X-1）-1]5=（2X-2）5,

2345

即（2x-2y'=%+qx+a2x+a3x+a4x+a5x,

令X=l,可得/+4+/+/+%+。5=0，

令x=_1,口J"得a?！猶+a,-a?+4一出=（一4），———1024,

兩式相加，可得2（4+/+%）=-1°24,可得/+%+。4=-512.

故選：C.

%21）

5.（2020請(qǐng)海高二期末）已知萬一弁的展開式中第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為（）

11

A-環(huán)B.---7TC.210D.-210

210

【答案】A

（2、"-8/、8

【解析】y1--y=J=28-，，Cy-2°,所以2〃—20=0,則〃=1（）,

什1=4r＞所以展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為』.故選：A.

令X=l,可得

21。21。

6.（2020?寧夏吳忠市?吳忠中學(xué)）設(shè)復(fù)數(shù)尤=」（i是虛數(shù)單位），則

1-z

2

Cj0|9X+C；O|9X+C短%3+…+砥：＞；；/19=（）

A.iB.-iC.-1+zD.-1-z

【答案】D

2i2z(l+f)

【解析】》=口==-1+i,

(1-D(1+O

C；019%++6019%3+…+=C；Z9+G019X++。之次丁+…+'—1

=(l+x)2019-l=i20l9-l=i3-l=-i-l,故選D.

7.（2020?宜昌天問教育集團(tuán)高二期末）已知（1+/U）"展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系

ax

數(shù)相等，（1+Ax'）"=a（}+a}x+a2x~H---F?",若—4=242,則%—%+4----+（—1）”凡的

值為（）

A.1B.-1C.81D.-81

【答案】B

【解析】因?yàn)椋?+/U）"展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

故可得〃=5,令x=0,故可得1=。。，

又因?yàn)?+。2^---Fq；=242,令x=l,則（1+4）5=%+4+4,_）---p=243?

解得2=2令x=—l，則（1—2）5=4—4+4—…+（T）%5=T-故選：B.

a

8.（2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)（理））已知（x+1）‘°=囪+32矛+金埼3---\-aux.若數(shù)列a”a2,a”…，a*（l

WAW11,衣e"）是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則〃的最大值是（）

A.5B.6

C.7D.8

【答案】B

【解析】由二項(xiàng)式定理知&=G'；「（〃=1,2,3,11）.又（x+l）i°展開式中二項(xiàng)式系數(shù)具有對(duì)稱性，

且最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，且從第1項(xiàng)到第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大，第6項(xiàng)到底11項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小,

二）的最大值為6.故選:B.

【題組六二項(xiàng)式定理的運(yùn)用】

1.（2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）1-90。：0+9。2（4—9。3。力+…+9。|℃；除以88的余數(shù)是（）

A.2B.1C.86D.87

【答案】B

【解析】因?yàn)?一90co+9024-903C^+...+90'°C；°=(1-90)'°=(l+88)'°

23

=1+88C'O+88C,；+88C,o+???+88'°C'o

=1+88(C；0+88Gz+88?%+…+889%,

2

所以1一9OC；o+90C-o一9()3G；+…+90'°端：除以88的余數(shù)是1.故選：B.

2.(2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))設(shè)aeZ,且OWaW13,若5尸帽能被13整除，則。=()

A.0B.1C.11D.12

【答案】D

【解析】由題意，因?yàn)?1=52—1,

所以5儼°|2=(52-1產(chǎn)2=或12522°|2_4I2522°"+…-C器521+1,

又因?yàn)?2能被13整除，所以只需1+。能被13整除，

因?yàn)閍eZ,0<a<13.所以a=12.

故選：D.

3.(2020?江蘇省如東高級(jí)中學(xué)高二期中)已知相>0,且恰能被14整除，則〃？的取值可以是

()

A.-1B.1C.7D.13

【答案】D

0220202019

【解析】因?yàn)?52必XM+iy。=C^2014+C^2()14+...+C瓢14+1

tH

其中或201429+...+C嬲14能被［4整除，所以加的取值可以是13.故選：D.

4.(2020?全國(guó)高二單元測(cè)試)設(shè)aGZ,且0Wa<13,若5/儂+@能被13整除，則a=()

A.0B.1C.11D.12

【答案】D

【解析】512020=(52-1)的=(1-52)2020

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